V ekonomice a politice Ing. Václav Janoušek Aplikace teorie her V ekonomice a politice Ing. Václav Janoušek

Co je teorie her a její využití Teorie her – obor aplikované matematiky a operační analýzy, sloužící k analýze konfliktních a strategických situací, tj. situací, v nichž výsledek závisí na jednaní a interakci dalších subjektů Využití – psychologie, sociální psychologie, ekonomika, politika, politologie, vojenství, historie, biologie, mezinárodní vztahy

2 inteligentní účastníci Antagonistic-ký konflikt Rozhodovací situace Nekonfliktní Konfliktní 2 inteligentní účastníci Antagonistic-ký konflikt Neantagonistický konflikt Nekooperativní teorie kooperativní teorie Přenosná výhra Nepřenosná výhra Více inteligent. účastníků Kooperativní teorie Neinteligentní účastníci Rozhodování při riziku Rozhodování při neurčitosti

Rozdělení her Podle počtu účastníků – 2 hráči, více hráčů Podle výsledku – hry s nulovým, nenulovým součtem Podle možnosti kooperace – nekooperativní, kooperativní Podle inteligence dalšího účastníka – proti inteligentním hráčům, proti přírodě Podle doby akcí – simultánní, sekvenční Podle informovanosti účastníků – s úplnou, neúplnou informací

Řešení her Hry s nulovým součtem – simplexová metoda lineárního programování Hry s nenulovým součtem – Wolfeho algoritmus kvadratického programování (rovnovážné body)

Důležité pojmy maticových her Výplatní matice Sedlový bod – řešení v čistých strategiích Dominance jedné strategie nad druhou Čisté strategie vs. Smíšené strategie Každá hra má řešení ve smíšených strategiích Optimální strategie se nezmění, přičteme-li ke všem prvkům matice libovolné reálné číslo

Příklady maticových her Dominování strategií a sedlový bod 2 4

Sedlovým bodem je bod A(2,2), cena hry je 2 Strategie 2 hráče A dominuje strategii 1 Strategie 2 hráče B dominuje strategii 1

Příklady maticových her Kámen – papír – nůžky Kámen Papír Nůžky -1 1

Prsty 1 2 -3 4

Formulace hry prsty jako úlohy LP Je třeba, aby všechny prvky výplatní matice byly kladné Úloha LP má potom tvar (z pozice hráče B): maximalizovat 1y1’ + 1y2’ kde y1’, y2’ =y1/v , y2/v Za podmínek 6y1’ + 1y2’ <= 1 1y1’ + 8y2’ <= 1

Hry kámen – papír – nůžky i prsty mají řešení ve smíšených strategiích – nemají sedlový bod Při řešení maticových her lze využít analytický doplněk „Řešitel“ v MS Excelu

Řešení hry 2x2 ve smíšených strategiích Prsty – sestavíme 2 rovnice o 2 neznámých Máme strategie hráče A – x1 a x2 Chceme, aby výsledek byl stejný pro obě strategie protihráče Sestavíme 2 rovnice o 2 neznámých: 2x1 – 3x2 = -3x1 + 4x2 x1 + x2 = 1

Řešení maticové hry 2x2 pokračování Pro hráče 2 analogicky 2y1 – 3y2 = -3y1 + 4y2 y1 + y2 = 1

Dvojmaticové hry t1 t2 s1 2; 0 2; -1 s2 1, 1 3; -2

V dvojmaticových hrách hledáme rovnovážné body V čistých strategiích Ve smíšených strategiích Jedná se o tzv. Nashovu rovnováhu Bod (s1, t1) je rovnovážný, protože pokud by druhý hráč zvolil svou první strategii t1 a první hráč se od strategie s1 odchýlil, tj. zvolil by strategii s2, pak by si nepolepšil: získal by 1 místo 2. Pokud by naopak první hráč zvolil strategii s1 a druhý hráč se od t1 odchýlil, pak by si nepolepšil: obdržel by −1 místo 0.

Hledání rovnovážného bodu ve smíšených strategiích ve hře 2x2 Analogie s jednomaticovou hrou Mějme hru s výplatní maticí: -2, 2 0, -1 -1, 0 -2, 2

Rovnovážný bod, smíšené strategie, pokračování Hra nemá rovnovážný bod v čistých strategiích Sestavíme soustavu rovnic o 2 neznámých pro hráče A: -2x1 – x2 = 0x1 – 2x2 x1 + x2 = 1 Výsledek: x1 = 0,3333, x2 = 0,666666 Va = -1,3333

Rovnovážný bod, smíšené strategie, pokračování Sestavení rovnic pro hráče B: 2y1 – y2 = 2y2 y1 + y2 = 1 Řešení: y1 = 0,6 y2 = 0,4 vb = 0,8

Vězňovo dilema kooperovat nekooperovat 3, 3 -10, 10 10, -10 0, 0

Vězňovo dilema – řešení. Vězňovo dilema má 1 rovnovážný bod – nekooperovat - nekooperovat Hraje se jednou nebo se známým počtem tahů– vždy volit nekooperativní strategii Při opakované hře s neznámým počtem tahů – je přijatelná možnost se sejít na vzájemné kooperaci, volbou nekooperativní strategie je možné přimět partnera ke kooperaci

Vězňovo dilema – možné strategie Vždy kooperovat V prvním tahu kooperovat, později hrát tak, jak hrál protihráč v předchozím tahu V prvním tahu kooperovat, později hrát tak, jak hrál protihráč v předchozím tahu, ale občas „trest odpustit“ – nabídnout ruku ke smíru V zásadě kooperovat, občas si risknout nekooperaci – machiavellistický přístup Nikdy nekooperovat A další -

Vězňovo dilema – aplikace v praxi Jednání o odzbrojení Konflikt Izrael – Hamas Pronikání cizích vlivů do Evropy (Evropané volí sebevražednou kooperativní strategii) Ekonomické aplikace – investice do reklamy Kartelové dohody vs. cenové války (udržet ceny na určité úrovni) - duopoly Právo – přiznání viny výměnou na nižší trest

Příklad - podniky Viz. Dokument Word

Další dvojmaticové hry Kuře (zbabělec) kooperovat nekooperovat 3, 3 -5, 10 10, -5 -100, -100

Souboj pohlaví Ž, Fotbal Ž, Divadlo M, Fotbal 2, 1 0, 0 M, Divadlo 1, 2

Tragédie společného vlastnictví Skupina kooperuje Skupina nekooperuje Jednotlivec kooperuje 5, 5 1, 2 Jednotlivec nekooperuje 10, 5 2, 2

Lov na jelena Lov na jelena Lov na zajíce 10, 10 0, 0 2, 2

Černý pasažér Více, než 1000 spolupracuje 999 spolupracuje Méně než 999 spolupracuje Jednotlivec spolupracuje 1000, 1000 -1000 Jednotlivec nespolupracuje 2000

Oceňování výsledků her Oceňování v absolutní výši – nesprávné a často nemožné Nutno oceňovat pomocí teorie užitku Kardinalistická teorie – mezní užitek Ordinalistická teorie (Pareto) – seřazení výsledků a jejich ocenění podle pořadí (0 – 3)

Kooperativní hra 2 hráčů – jádro hry Viz. příklad Podniky

Kooperativní hry – tvorba koalic Příklad – tři účastníci projektu Celkový zisk projektu 12 Přínos účastníka A = 6, účastníka B = 4, účastníka C = 2 2 hráči mohou uzavřít koalici a dohodnout se na redistribuci výplat Jací dva hráči se pravděpodobně spojí?

Tvorba koalic - pokračování Spojí se hráči B a C – mohou si nejvíce polepšit a rozdělit se o přínos hráče A Toto je matematický důkaz proč často dochází ke spiknutí průměrných a podprůměrných proti těm nejlepším Prostor pro vyjednávání formou podbízení Vede v případě úplné racionality k vytvoření Nashovy rovnováhy

Příklad – příběh bitvy o Eger Bitva o Eger - 1552 tureckou ofenzívu a obléhání města odrazil István Dobó Po svém vítězství byl obviněn z překročení čerpání denních limitů zásob (!) Poté obviněn z vlastizrady, rok ve vězení Proč byl obviněn? Maďarská elita se dohodla s Turky na ústupcích výměnou za zachování alespoň části majetku a vlivu Dobó ukázal, že turecká armáda je k poražení a že je nutné se opřít o prosté lidi Stal se tudíž nebezpečím pro vládnoucí elitu – vstoupil do vyššího levelu mocenské hry Analogie se situacemi z běžného života je zřejmá

Nashova rovnováha Dominantní strategie je pro agenta nejlepší strategie nezávisle na zvolených strategiích ostatních účastníků. Racionální účastník pak volí vždy dominantní strategii. Nashova rovnováha Strategií skupiny je tzv. Nashova rovnováha, pokud každá ze strategií je nejlepší individuální strategií příslušného účastníka vzhledem ke strategiím zvoleným ostatními účastníky. Nashova rovnováha ve vězňově dilematu N – N (při jedné nebo konečném počtu opakování K – K při nekonečném počtu opakování

Dělení dědictví 5 bratrů dělí dědictví podle následujícího schématu: Nejprve navrhuje způsob dělení nejstarší bratr (A1) Bratři potom hlasují Schválí – li mu daný způsob nadpoloviční většina hlasů, je rozhodnuto Ne-li, je nejstarší bratr zabit a na stejném principu navrhuje další dělení bratr A2 Preference bratrů jsou: Přežít Získat co největší podíl na dědictví Zabít co nejvíce bratrů Jak dopadne dělení?

Kurasův problém padouchů Rozdělení společnosti na třídy: Všemocní – třída kněží (padouši) Velemocní – vládci zmocňující se vlády a vládnoucí za pomoci všemocných s podporou pečlivě zvolené ideologie - padouši Polomocní – hlídací psi (watchdogs), v očích malomocných a bezmocných se jedná o hlavní příčinu jejich trápení - padouši Bezmocní – otroci a nevolníci, rádi by se padouchy stali, kdyby k tomu byli připuštěni Malomocní – střední třída (pracující inteligence, řemeslníci) – hlavní objekt zájmu padouchů. Lze si přivlastnit výsledky její práce (viz. Tvorba koalic). Rádi by se stali padouchy, kdyby věděli jak se mezi ně dostat. Dynamika společnosti: pokud se malomocným podaří zvítězit, je to proto, že mezi ně proniknou jako jejich vůdci padouši, s jejich pomocí svrhnou stávající režim a dohodnou se s dosavadními poraženými špičkami na nějakém konsensu (nejsme jako oni). Padouch se s padouchem vždy domluví (až na určité výjimky – nedůvěra vítěze vůči poraženému a vice versa, poražený padouch byl příliš velký zloduch, takže by spolupráce s ním kompromitovala vítěze apod.)

Janousek.vaclav@seznam.cz 721 644 636 n8pvsmo@seznam.cz