Řešení obtížných případů problému splnitelnosti Booleovských formulí Pavel Surynek Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova, Praha

O čem to je ?  Řešení obtížných případů SAT pro dnešní SAT řešící systémy  Konzistenční technika formule interpretována jako graf hledání struktur v grafu - kliky zjednodušení nebo rozhodnutí původní formule  Srovnání s nejlepšími SAT řešícími systémy Pavel Surynek, STTI 2007

Původně neúspěch  Úryvek z recenze „... the last section investigates the idea of exploiting the consistency for solving SAT. In my opinion, this is somewhat (too) optimistic. The graph structure is already very well exploited by SAT algorithms...“  Pokusili jsme se tento názor vyvrátit (podpořit náš optimismus) Pavel Surynek, STTI 2007

Obtížné SAT problémy  Obtížné problémy pro dnešní SAT řešící systémy nelze (heuristicky) uhádnout řešení heuristiky neuspějí ►► prohledávání  Typicky nesplnitelné SAT problémy kódující Dirichletův princip (Pigeon-hole principle)  Ohodnocení = svědek  Nesplnitelnost žádný svědek Pavel Surynek, STTI 2007

Náš přístup  Vstup - Booleovská formule v CNF  Interpretujeme jako graf konfliktů vrcholy - literály hrany - konflikty mezi literály například: x a ¬x jsou v konfliktu (nemohou být splněny zároveň)  Aplikujeme konzistenci ►► nové konflikty  Výstup - ekvivalentní (jednodušší) formule nebo odpověď „nesplnitelná“ Pavel Surynek, STTI 2007

Detaily konzistence  Zahuštění grafu konfliktů aplikujeme bodovou hranovou konzistenci hustější graf = vhodnější pro další krok  Najdeme (hladově) kliky nejvýše jeden literál z kliky může být splněn příspěvek literálu x...c(x) = počet klauzulí s x příspěvek kliky K...c(K) = max xK c(x) když například ∑ Kkliky c(K)<počet klauzulí ►► nesplnitelná formule  Zobecnění = kliková konzistence podformule a bodově Pavel Surynek, STTI 2007

Kliková konzistence  Zvolíme podformuli B = podmnožina klauzulí příspěvek literálu x k podformuli B......c(x,B) = počet klauzulí v B s obsahující x příspěvek kliky K k podformuli B......c(K,B) = max xK c(x,B) když ∑ Kkliky c(K,B)<počet klauzulí B ►► nesplnitelná formule  Bodový přístup... literál x nekonzistentní ∑ Kkliky bez x c(K,B)<počet klauzulí B-c(x,B) Pavel Surynek, STTI 2007

Jak to vypadá vizuálně (1)  „Vložte 7 holubů do 6-ti děr“ Pavel Surynek, STTI 2007

Jak to vypadá vizuálně (2)  Po odvození nových konfliktů - SAC Pavel Surynek, STTI 2007

Jak to vypadá vizuálně (3)  Po aplikaci klikové konzistence - unSAT Pavel Surynek, STTI 2007

Složitost  Konstrukce grafu konfliktů polynomiální  Bodová hranová konzistence polynomiální (ale pro reálné problémy časově náročné)  Kliková konzistence vzhledem k jedné podformuli polynomiální  Problém: konzistence vzhledem k více podformulím (polynomiálně mnoho podformulí) Pavel Surynek, STTI 2007

 Testované SAT řešící systémy MiniSAT zChaff HaifaSAT kritérium výběru: poskytován zdrojový kód  Testované problémy (Fadi Aloul) Pigeon Hole Urquhart Field Programmable Gate Array Soutěživé srovnání Pavel Surynek, STTI 2007 vítězové podle SAT Competition 2005 a SAT Race 2006

Výsledky experimentů Pavel Surynek, STTI 2007 Instance Decision (seconds) Speedup ratio w.r.t. MiniSAT Speedup ratio w.r.t zChaff Speedup ratio w.r.t HaifaSAT chnl10_ > chnl10_ > chnl10_ > chnl11_120.70> > urq3_ N/A urq4_5> N/A urq5_5> N/A urq6_5> N/A hole hole > hole110.20> > hole120.30> > fpga10_ > fpga10_ > fpga10_ > fpga10_151.39> > Opteron 1600 MHz, Mandriva Linux 10.1

Shrnutí a závěr  Zpracování SAT problému pomocí klikové konzistence formule interpretována jako graf konfliktů hladové nalezení klik odvození nových konfliktů výstup: ekvivalentní formule nebo rozhodnutí  Experimenty mnohanásobné urychlení oproti nejlepším SAT řešícím systémům  Chcete vědět víc ? ITI Série Pavel Surynek, STTI 2007