Mechanika Gravitační pole

Úvod Z běžného života víme, že všechna tělesa jsou přitahována k Zemi. Příčinou tohoto jevu je gravitační síla, kterou Země působí na tělesa (z latiny gravis  těžký). Gravitační silové působení zprostředkuje gravitační pole, které existuje v okolí Země. Silové působení těles se obecně nazývá gravitace. Gravitační pole existuje v okolí každého tělesa ve vesmíru. Toto působení je vzájemné (zákon akce a reakce), ale projevuje se u hmotnějších těles.

Newtonův gravitační zákon 17. stol. – Isaac Newton vyslovil, na základě pozorování pohybu planet a měsíců vztah pro velikost gravitační síly. Newtonův gravitační zákon: Každá dvě tělesa se navzájem přitahují stejně velkými gravitačními silami opačného směru. Velikost gravitační síly je přímo úměrná součinu jejich hmotnosti a nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti jejich středů. Fg  m1m2 Fg  1/r2 Fg =  m1m2  … gravitační konstanta, 6,67*10-11 Nm2kg-2 r2 Fg  m1m2 r2

Newtonův gravitační zákon platí pro dvě stejnorodá tělesa tvaru koule, ale můžeme ho zobecnit také pro nestejnorodá tělesa jiných tvarů, pokud jsou rozměry těles vzhledem k jejich vzdálenosti zanedbatelné. m1 Fg - Fg m2 r

Intenzita gravitačního pole Vektorová fyzikální veličina, která popisuje silové účinky gravitační síly. Značka: K Jednotka: N kg-1 Definice: K = Fg m Podle intenzity dělíme pole na homogenní (má v každém bodě stejně velkou intenzitu, vektory intenzity mají stejný směr) a nehomogenní (gravitační pole okolo Země je centrální, vektor intenzity směřuje do středu Země).

K Země K Homogenní gravitační pole – př. malá oblast na Zemi Nehomogenní gravitační pole – př. centrální pole v okolí Země K Země K

Gravitační zrychlení m r r2 Fg Rz Mz Uvažujeme těleso o hmotnosti m, které se nachází ve vzdálenosti r od středu Země. Podle gravitačního zákona působí Země na těleso gravitační silou o velikosti: Fg =  m Mz r2 Z druhého Newtonova zákona víme, že síla uděluje tělesu zrychlení. Velikost gravitační síly lze vyjádřit:: Fg = mg m r Fg Rz Mz

Porovnáním obou vztahů dostaneme pro velikost gravitačního zrychlení: g =  Mz r2 Dosazením hodnot dostaneme velikost gravitačního zrychlení při povrchu Země, g = 9,83 ms-2. Vztah ukazuje, že velikost gravitačního zrychlení je nepřímo úměrné druhé mocnině vzdálenosti, to znamená, že gravitační zrychlení se s rostoucí nadmořskou výškou zmenšuje.

Tíhová síla Pro pozorovatele, který se nachází mimo Zemi, je Země neinerciální systém, jelikož se otáčí kolem své osy. Na tělesa při povrchu Země, která neleží na ose otáčení, působí setrvačná odstředivá síla Fs. Tíhová síla je vektorovým součtem gravitační síly a setrvačné odstředivé síly. FG = Fg + Fs Vektor gravitační síly směřuje do středu Země, vektor setrvačné odstředivé síly směřuje kolmo od osy otáčení a vektor tíhové síly směřuje k povrchu Země.

Tíhová síla nemá na všech místech zemského povrchu stejnou velikost, což způsobuje proměnlivá velikost setrvačné odstředivé síly. Tato síla je největší v oblasti rovníku a nulová je na zeměpisných pólech. Vlivem změny velikosti tíhové síly se mění i velikost tíhového zrychlení g. Na rovníku má hodnotu 9,78 ms-2, na pólech 9,83 ms-2. Dohodnutá normální hodnota tíhového zrychlení gn = 9,80665 ms-2.  Fs Fg FG Rz Země

na rovníku:  Fg Fs FG FG = Fg - Fs na pólu:  Fg = FG FG = Fg Fs = 0

Tíha tělesa Od veličiny tíhová síla odlišujeme veličinu tíha tělesa G. Tíhová síla vzniká působením tíhového pole Země. Tíha vyjadřuje působení tělesa, které se nachází v tíhovém poli Země, na jiná tělesa. Veličiny se liší také polohou působiště. Působiště tíhové síly klademe do těžiště tělesa, polohu působiště tíhy mezi stykové plochy dvou těles nebo v bodě závěsu. Vektory těchto fyzikálních veličin mají stejný směr a velikost. Rozdíl nastane pouze ve stavu beztíže. Např. při volném pádu bude tíha tělesa nulová, ale jelikož těleso leží v tíhovém poli, bude na něj působit tíhová síla.

G FG FG G G = FG = mg

Pohyby těles v homogenním tíhovém poli Země Patří zde pohyby, které probíhají v blízkosti povrchu Země. Trajektorie těchto pohybů je vzhledem k rozměrům Země velmi malá. Nejjednodušším pohybem je volný pád – rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb s nulovou počáteční rychlostí a s konstantním zrychlením g. rovnice volného pádu: s = 1/2gt2 v = gt g = konstantě

Složitější pohyby nastanou udělíme-li tělesu počáteční rychlost Složitější pohyby nastanou udělíme-li tělesu počáteční rychlost. Těleso, pak koná dva pohyby současně: rovnoměrný přímočarý pohyb ve směru počáteční rychlosti volný pád. Složením obou pohybů dostáváme tzv. vrhy tělesa. Podle směru počáteční rychlosti rozlišujeme: svislý vrh vzhůru vodorovný vrh šikmý vrh vzhůru. Pozn. při skládání pohybů platí princip nezávislosti pohybů. (Výsledná poloha tělesa nezávisí na tom, zda těleso koná pohyby zvlášť nebo současně.)

a) Svislý vrh vzhůru: v = 0 s = v0t – 1 gt2 2 v = v0 - gt v0 Koná těleso vržené s počáteční rychlostí v0 ve směru kolmém k povrchu země. Směrem vzhůru koná těleso rovnoměrně zpomalený pohyb. Okamžitá rychlost se postupně zmenšuje a při dosažení nejvyššího bodu se těleso zastaví, okamžitá rychlost je nulová. Poté se těleso vrací volným pádem k zemi. v = 0 s = v0t – 1 gt2 2 v = v0 - gt v0

Největší výška, kterou těleso dosáhne, nazýváme výška vrhu h. V této výšce je okamžitá rychlost nulová: v0 – gt = 0 Odtud, dostáváme pro dobu výstupu vztah: t = v0 g Dosazením do vztahu pro okamžitou výšku dostaneme vztah pro výšku vrhu: h = v02 2g

b) Vodorovný vrh: Koná těleso, které je vrženo s počáteční rychlostí v0 ve vodorovném směru. Pohyb se skládá z rovnoměrně přímočarého pohybu ve směru vodorovném a volného pádu se zrychlením g. Trajektorií pohybu je část paraboly s vrcholem v místě vrhu. Př. vodní paprsek tryskající z otvoru ve stěně nádoby. v0

Znázornění okamžité polohy vodorovně vrženého tělesa Poznámka: h…výška, ze kterého je těleso vrženo d…délka vrhu r…polohový vektor A y = h – 1 gt2 2 h r d x = v0t x

Délka vrhu je největší vzdálenost od místa vrhu. Pro souřadnice tohoto bodu platí: x = d y = 0 Po dosazení dostáváme vztah pro dobu a délku vrhu: td = 2h d = v0 2h g g

c) Šikmý vrh vzhůru: Těleso je vrženo s počáteční rychlostí v0 ve směru, který svírá s vodorovným směrem úhel . Tento úhel se nazývá elevační úhel. Pohyb se opět skládá z rovnoměrně přímočarého pohybu ve směru počáteční rychlostí a volného pádu. Př. střelba z děla. Trajektorií pohybu je balistická křivka. V případě, že by se vrh uskutečnil ve vakuu byla by trajektorií parabola. Délce vrhu se ve vojenství označuje dostřel. Délka vrhu závisí na počáteční rychlostí a elevačním úhlu. Největší je při úhlu 45°.

y x y v0 x Trajektorie šikmého vrhu při 75° různých elevačních úhlech 45° 30° 15° x ve vakuu y Trajektorie šikmého vrhu ve vakuu a ve vzduchu ve vzduchu v0 x

Pohyby těles v centrálním gravitačním poli Země Zde řadíme pohyby raket, umělých družic, kosmických lodí apod. Gravitační pole v takové vzdálenosti od Země nemůžeme považovat za homogenní. Na tělesa při pohybu okolo Země působí gravitační síla, která směřuje do středu Země. Pro kosmonautiku má velký význam pohyb, kdy tělesu udělíme počáteční rychlost v0 ve směru kolmém k vektoru gravitační síly. Trajektorie pohybů závisí na této počáteční rychlosti: V případě, že bude počáteční rychlost malá, těleso se pohybuje po trajektorii, která je částí elipsy (1) a spadne na zemský povrch.

Při větší počáteční rychlosti opíše těleso celou elipsu (2) okolo Země a nespadne na zemský povrch. Při určité hodnotě počáteční rychlosti těleso opíše kružnici se středem ve středu Země (3). Tuto rychlost pak nazýváme kruhová rychlost vk. Touto rychlostí se pohybují umělé družice na oběžné dráze okolo Země. Při ještě větší počáteční rychlostí než je kruhová rychlost těleso opět opíše elipsu, přičemž jedno ohnisko elipsy leží ve středu Země (4). Bod, v němž má těleso nejmenší vzdálenost od středu Země, se nazývá perigeum. Bod s největší vzdáleností apogeum. Dosažením ještě větší počáteční rychlostí se eliptická trajektorie změní na parabolu (5). V tomto případě se těleso trvale vzdaluje od Země. Rychlost se nazývá parabolická neboli úniková vp. Těleso se dostane z gravitačního pole Země, ale zůstane v gravitačním poli Slunce.

perigeum v0 Fg 1 Země 5 2 v0 = vp 3 v0 = vk 4 apogeum

Odvození kruhové rychlosti Uvažujeme družici o hmotnosti m, která se pohybuje kolem Země po kružnici o poloměru Rz + h. Země působí na družici gravitační silou, směřující do středu Země, a vytváří tak dostředivou sílu, která způsobuje stále zakřivení trajektorie do tvaru kružnice. m v0 Fd = Fg Země Fg =  m Mz (Rz + h)² Fd = m vk² Rz + h Rz h Porovnáním dostaneme vztah pro velikost kruhové rychlosti: vk =  Mz Rz + h

Ze vztahu lez vidět, že velikost kruhové rychlosti nezávisí na hmotnosti tělesa a s rostoucí výškou se její velikost zmenšuje. Pokud dosadíme do vztahu pro velikost kruhové rychlosti hodnoty v blízkosti povrchu Země, kde h = 0, dostaneme hodnotu první kosmické rychlosti … 7,9 km s-1. Poznámka: Pro parabolickou rychlost platí vztah vp = vk 2, dosazením hodnot dostaneme velikost druhé kosmické rychlosti … 11,2 km s-1.

Pohyby těles v gravitačním poli Slunce Gravitační pole Slunce je mnohonásobně silnější než gravitační pole Země. Gravitační zrychlení je asi 28krát větší než na Zemi. Má přibližně hodnotu 280 m s-2. Gravitační pole Slunce je centrální. Pohybuje se v něm mnoho těles: planety a jejich měsíce, planetky (asteroidy), komety apod. Geocentrický názor: středem vesmíru je Země, kolem níž se pohybují Měsíc, Slunce, planety, hvězdy. 16. století – M. Koperník, heliocentrický názor, střed vesmíru je Slunce, kolem něhož obíhá Země a ostatní planety. Na něj pak navázali T. Brahe a J. Kepler.

Měření vzdálenosti ve vesmíru Nepoužívají se stejné jednotky jako na Zemi, jelikož jsou vzdálenosti mnohonásobně větší. AU – astronomická jednotka, střední vzdálenost Země od Slunce, 149,6 milionů km l. y. – světelný rok, vzdálenost, kterou urazí světlo za 1rok, 9,5 bilionů km pc – parsek, vzdálenost nebeského tělesa od Slunce, z něhož je vidět poloměr zemské trajektorie kolem Slunce pod úhlem 1 sekunda, 31 bilionů km = 3,26 l. y.

Keplerovy zákony První Keplerův zákon Popisuje tvar trajektorie planet. Planety obíhají kolem Slunce po elipsách málo odlišných od kružnic, v jejich společném ohnisku je Slunce. Bod elipsy, v němž je planeta nejblíže Slunci, se nazývá perihelium neboli přísluní. Nejdále od Slunce je planeta v aféliu neboli odsluní.

Druhý Keplerův zákon S1 = S2 vp > v > va Vysvětluje, jak se planety pohybují. Obsahy ploch opsaných průvodičem planety za jednotku času jsou konstantní. Průvodič planety je úsečka spojující střed planety se středem Slunce. v va Slunce perihélium S1 S2 afélium vp S1 = S2 vp > v > va

Třetí Keplerův zákon Udává vztah mezi oběžnými dobami planet a středními vzdálenostmi planet od Slunce. Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet se rovná poměru třetích mocnin hlavních poloos jejich trajektorií (středních vzdáleností planet od Slunce). Jelikož považujeme trajektorie planet přibližně za kružnice, můžeme psát třetí Keplerův zákon ve tvaru, který je uveden v závorce. Tento zákon umožňuje vypočítat střední vzdálenost libovolné planety, známe-li její oběžnou dobu a odpovídající veličiny pro Zemi. Poznámka: Keplerovy zákony platí také pro soustavu umělých družic Země nebo soustavu měsíců obíhajících okolo planety.