6. EKONOMICKÝ RŮST I: (Akumulace kapitálu a růst populace)

Obsahem přednášky je… Solowův model pro uzavřenou ekonomiku Jak závisí životní úroveň země na míře úspor a na tempu populačního růstu Jak využít “zlaté pravidlo” k nalezení optimální míry úspor a zásoby kapitálu

Proč je růst důležitý? Údaje o kojenecké úmrtnosti: 20 % ve 20 % nejchudších zemí 0,4 % ve 20 % nejbohatších zemí 85 % lidí v Pakistánu žije za méně než 2$/den. Jedna čtvrtina nejchudších zemí zažila v posledních třiceti letech hladomor. Chudoba je spojena s útlakem žen a menšin. Ekonomický růst zvyšuje životní úroveň a snižuje chudobu….

Důchod a chudoba ve světě vybrané země, rok 2000

Proč záleží na růstu? Vše co ovlivňuje tempo dlouhodobého ekonomického růstu – dokonce i o málo – bude mít značný dopad na životní úroveň v dlouhém období. Procentuální zvýšení životní úrovně po… Roční tempo růstu důchodu na hlavu …25 letech …50 letech …100 letech 2,0% 64,0% 169,2% 624,5% 2,5% 85,4% 243,7% 1,081,4%

Poznatky růstových teorií …mohou zlepšit životy stovek miliónů lidí. Tyto poznatky nám umožňují: Pochopit, proč jsou chudé země chudé Formulovat politiky, které jim pomohou k růstu Pochopit, jak jsou naše vlastní tempa růstu ovlivněna šoky a vládními politikami

Solow model Robert Solow, získal Nobelovu cena za příspěvek k teorii ekonomického růstu Solowův model = hlavní paradigma: široce využíván v hospodářské politice Benchmark, proti kterému jsou srovnávány ostatní růstové teorie Analyzuje determinanty ekonomického růstu a životní úrovně v dlouhém období

Jak se liší Solow model od základního modelu z Ppt_2? 1. K již není fixní: investice jej zvyšují, opotřebení jej snižují L již také není fixní: růst populace jej zvyšuje Spotřební funkce je jednodušší 4. Žádné G nebo T (pouze ke zjednodušení prezentace, stále lze provádět experimenty s fiskální politikou)

6.1. Akumulace kapitálu

Produkční funkce Agregátní: Y = F (K, L) Definujme: y = Y/L = výstup na pracovníka k = K/L = kapitál na pracovníka Předpokládejme konstantní výnosy z rozsahu: zY = F (zK, zL ) pro každé z > 0 Stanovme: z = 1/L. Potom Y/L = F (K/L, 1) y = F (k, 1) y = f(k) kde f(k) = F(k, 1)

Produkční funkce f(k) MPK = f(k +1) – f(k) 1 Výstup na pracovníka, y Kapitál na pracovníka, k f(k) 1 MPK = f(k +1) – f(k) Pozn: tato produkční funkce má klesající výnosy z kapitálu

Identita národního důchodu Y = C + I (pozor, žádné G! ) Ve vyjádření “na pracovníka”: y = c + i kde c = C/L a i = I /L

Spotřební funkce s = míra úspor, podíl důchodu, který je uspořen (s je exogenní veličina) Pozn: s je jediná veličina označená malým písmenem, která není rovná svému ekvivalentu, označenému velkým písmenem a vyděleným L Spotřební funkce: c = (1–s)y (na pracovníka)

Úspory a investice úspory (na pracovníka) = y – c = y – (1–s)y = sy Národohospodářská identita: y = c + i Úpravou dostaneme: i = y – c = sy (investice = úspory) Pomocí výsledků nahoře dostaneme, i = sy = sf(k)

Výstup, spotřeba, investice Výstup na pracovníka, y Kapitál na pracovníka, k f(k) y1 k1 c1 sf(k) i1

Opotřebení kapitálu  = míra opotřebení kapitálu Opotřebení kapitálu na pracovníka, k Kapitál na pracovníka, k  = míra opotřebení kapitálu = podíl kapitálové zásoby, která se každý rok opotřebuje k  1

k = s f(k) – k Akumulace kapitálu Základní myšlenka: Investice zvyšují kapitálovou zásobu, opotřebení ji snižuje. Změna v zásobě kapitálu = investice – opotřebení k = i – k Protože i = sf(k), dostáváme: k = s f(k) – k

k = s f(k) – k Rovnice změny „k“ důchod na hlavu: y = f(k) Hlavní rovnice v Solowově modelu Determinace chování kapitálu v průběhu času… … který potom determinuje chování všech ostatních endogenních veličin, protože všechny závisí na k. Např, důchod na hlavu: y = f(k) spotřeba na hlavu: c = (1–s) f(k)

k = s f(k) – k Stálý stav Jestliže se investice přesně rovnají opotřebení [sf(k) = k ], potom kapitál na pracovníka zůstává konstantní: k = 0. Tato situace nastává při jediné hodnotě k, značené k*, a nazývá se zásoba kapitálu ve stálém stavu.

Investice a opotřebení Stálý stav Investice a opotřebení Kapitál na pracovníka, k k sf(k) k*

Investice a opotřebení Posun do stálého stavu k = sf(k)  k Investice a opotřebení Kapitál na pracovníka, k k sf(k) k* investice k1 k opotřebení

Investice a opotřebení Posun do stálého stavu k = sf(k)  k Investice a opotřebení Kapitál na pracovníka, k k sf(k) k* k1 k

Investice a opotřebení Posun do stálého stavu k = sf(k)  k Investice a opotřebení Kapitál na pracovníka, k k sf(k) k* k1 k k2

Investice a opotřebení Posun do stálého stavu k = sf(k)  k Investice a opotřebení Kapitál na pracovníka, k k sf(k) k* investice k opotřebení k2

Investice a opotřebení Posun do stálého stavu k = sf(k)  k Investice a opotřebení Kapitál na pracovníka, k k sf(k) k* k2 k

Investice a opotřebení Posun do stálého stavu k = sf(k)  k Investice a opotřebení Kapitál na pracovníka, k k sf(k) k* k k2 k3

Investice a opotřebení Posun do stálého stavu k = sf(k)  k Investice a opotřebení Kapitál na pracovníka, k k Shrnutí: Pokud k < k*, investice budou přesahovat opotřebení a k bude růst až do bodu k*. sf(k) k* k3

Numerický příklad Produkční funkce (agregátní): K odvození produkční funkce na pracovníka, ji vydělíme L: Potom nahradíme y = Y/L a k = K/L :

Numerický příklad, pokr. Předpokládejme: s = 0,3  = 0,1 Počáteční hodnota k = 4,0

Posun do stálého stavu: Numerický příklad Rok k y c i k Δk 1 4.000 2.000 1.400 0.600 0.400 0.200 2 4.200 2.049 1.435 0.615 0.420 0.195 3 4.395 2.096 1.467 0.629 0.440 0.189 4 4.584 2.141 1.499 0.642 0.458 0.184 … 10 5.602 2.367 1.657 0.710 0.560 0.150 25 7.351 2.706 1.894 0.812 0.732 0.080 100 8.962 2.994 2.096 0.898 0.896 0.002  9.000 3.000 2.100 0.900 0.900 0.000

Cvičení: Vypočtěte stálý stav Stále předpokládejme: s = 0,3,  = 0,1, a y = k 1/2 Využijme rovnici změny: k = s f(k)  k k výpočtu hodnot k, y a c ve stálém stavu.

Řešení: Definice stálého stavu Podmínka rovnováhy Dosazení hodnot

Investice a opotřebení Zvýšení míry úspor Zvýšení míry úspor zvyšuje investice… …a tlačí k k růstu do nového stálého stavu: Investice a opotřebení k δk s2 f(k) s1 f(k)

Predikce: Vyšší s  vyšší k*. A potože y = f(k) , vyšší k*  vyšší y* . Proto Solowův model předpovídá, že země s vyššími mírami úspor a investic budou mít v dlouhém období vyšší hodnoty kapitálu a důchodu na pracovníka.

Míra investic a důchod na hlavu (mezinárodní srovnání) 100,000 Důchod na hlavu 2000 (log měřítko) 10,000 1,000 100 5 10 15 20 25 30 35 Investice jako % HDP (průměr 1960-2000)

6.2. Zlaté pravidlo optimální kapitálové zásoby

Zlaté pravidlo: Úvod Rozdílné hodnoty s vedou k rozdílným stálým stavům. Jak zjistíme, který je “nejlepší” stálý stav? “Nejlepší” stálý stav je ten s nejvyšší možnou spotřebou na hlavu: c* = (1–s) f(k*). Zvýšení s Vede k vyšším k* a y*, což zvyšuje c* Snižuje podíl spotřeby na důchodu (1–s), což snižuje c*. Jak najdeme taková s a k*, která maximalizují c*?

Zlaté pravidlo: kapitálová zásoba hladina kapitálu ve zlatém pravidle hodnota k ve stálém stavu, kdy je spotřeba maximalizována K jejímu nalezení nejdříve vyjádříme c* v jednotkách k*: c* = y*  i* = f (k*)  i* = f (k*)  k* ve stálém stavu: i* = k* protože k = 0.

Kapitálová zásoba ve zlatém pravidle Produkt a opotřebení ve stálém stavu Kapitál na pracovníka ve stálém stavu. k*  k* Vyznačme f(k*) a k*, a hledejme bod, kde je mezera mezi nimi největší. f(k*)

Kapitálová zásoba ve zlatém pravidle c* = f(k*)  k* je největší v bodě, kde se sklon produkční funkce rovná sklonu linie opotřebení:  k* f(k*) MPK =  Kapitál na pracovníka, k*

Posun do zlatého pravidla Ekonomika samovolně NESMĚŘUJE do „zlatého“ stálého stavu Dosažení zlatého pravidla vyžaduje, aby tvůrci hospodářské politiky přizpůsobili s. Toto přizpůsobení pak vede k novému stálému stavu s vyšší spotřebou. Co se ale stane se spotřebou během přechodu do zlatého pravidla?

Výchozí stav: příliš mnoho kapitálu Potom zvýšení c* vyžaduje pokles s. Během přechodu do Zlatého pravidla je spotřeba vyšší v každém časovém okamžiku. čas y c i t0

Výchozí stav: příliš málo kapitálu Potom zvýšení c* vyžaduje zvýšení s. Budoucí generace si užívají vyšší spotřebu, ale na počátku spotřeba klesne. y c i t0 time

6.3. Populační růst

Populační růst Předpokládejme, že populace (a pracovní síla) rostou tempem n (n je exogenní). Příklad: Předpokládejme L = 1.000 v roce 1 a populace roste tempem 2 % ročně (n = 0,02). Potom L = n L = 0,02  1.000 = 20, proto L = 1.020 v roce 2.

Investiční bod zvratu ( + n)k = investiční bod zvratu, množství investic nutné k tomu, aby bylo k konstantní. Investiční bod zvratu zahrnuje:  k k nahrazení kapitálu, který se opotřeboval n k k vybavení nových pracovníků kapitálem (Jinak by k kleslo, protože existující kapitálová zásoba by se musela rozprostřít tenčeji na větší populaci pracovníků.)

Rovnice rovnováhy pro k S populačním růstem je rovnice rovnováhy pro k : k = s f(k)  ( + n) k Skutečná investice Investiční bod zvratu

Solow model s populačním růstem k = s f(k)  ( +n)k Investiční bod zvratu Kapitál na pracovníka, k ( + n ) k sf(k) k*

Důsledek populačního růstu Investiční bod zvratu ( +n2) k ( +n1) k Růst n způsobí zvýšení investičního bodu zvratu, což vede k nižší hodnotě k ve stálém stavu. sf(k) k2* k1* Kapitál na pracovníka, k

Predikce: Vyšší n  nižší k*. A protože y = f(k) , nižší k*  nižší y*. Proto Solow model předpovídá, že země s vyšším populačním růstem budou mít nižší úroveň kapitálu a důchodu na pracovníka v dlouhém období.

Mezinárodní srovnání populačního růstu a důchodu na hlavu 100,000 na hlavu v roce 2000 (log měřítko) 10,000 1,000 100 1 2 3 4 5 Populační růst (% ročně; průměr 1960-2000)

Zlaté pravidlo s populačním růstem K nalezení kapitálové zásoby ve zlatém pravidle, vyjádřeme c* jako funkci k*: c* = y*  i* = f (k* )  ( + n) k* c* je maximalizováno, pokud MPK =  + n MPK   = n Ve „zlatém“ stálém stavu, mezní produkt kapitálu mínus opotřebení je roven tempu růstu populace.

Alternativní teorie populačního růstu Malthusův Model (1798) Předpovídá, že míra populačního růstu předstihne schopnost Planety produkovat potraviny, což povede k bídě. Od Malthusových dob se světová populace zvýšila 6x, ovšem životní úroveň vzrostla ještě více. Malthus nevzal v úvahu důsledky technologického pokroku.

Alternativní teorie populačního růstu Kremerův Model (1993) Předpokládá, že populační růst přispívá k ekonomickému růstu. Více lidí = více géniů, vědců a inženýrů, proto rychlejší technologický pokrok. Ověření na velmi dlouhých časových řadách: Jak se zvyšovalo tempo světového populačního růstu, tak se zvyšovalo tempo růstu životní úrovně Historicky, regiony s větší populaci zažívaly vyšší tempo ekonomického růstu.

Shrnutí pozitivně na míře úspor negativně na míře růstu populace 1. Solowův růstový model ukazuje, že životní úroveň v dlouhém období závisí: pozitivně na míře úspor negativně na míře růstu populace 2. Zvýšení míry úspor vede k vyššímu výstupu v dlouhém období dočasně rychlejšímu růstu ale nikoliv k rychlejšímu růstu ve stálém stavu. slide 54

Shrnutí 3. Pokud je ekonomika vybavena větší kapitálovou zásobou, než kolik je její hodnota ve zlatém pravidlu, potom snížení úspor zvýší spotřebu v každém časovém okamžiku, čímž na tom budou lépe všechny generace. Pokud je ekonomika vybavena menší kapitálovou zásobou, než kolik je její hodnota ve zlatém pravidlu, potom zvýšení úspor zvýší spotřebu pro budoucí generace, ale sníží spotřebu pro současnou generaci. slide 55

Literatura Mankiw (2010): Chapter 7: Economic Growth I: Capital Accumulation and Population Growth Holman (2010): Kapitola 9: Hospodářský růst Powerpoint Slides: Mankiw’s Macroeconomics 6th edition. Worth Publishers. (Autor: R. Cronovich) slide 56 56