Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Matematika I. KIG / 1MAT1 Přednáška 09 Matice II jiri.cihlar@ujep.cz

O čem budeme hovořit: Jednotková matice Inverzní matice Struktura regulárních matic Maticové vyjádření soustavy lineárních rovnic Maticové řešení regulární soustavy lineárních rovnic

Jednotková matice

Tvar jednotkové matice Mějme libovolnou matici A typu (m,p) a hledejme takovou matici E , pro kterou platí: A . E = A . Typ matice E musí být (p,p), je to tedy čtvercová matice. Proč? Abychom splnili požadovanou rovnost, prvky inverzní matice na hlavní diagonále budou rovny číslu 1 a všechny ostatní prvky budou rovny číslu 0. Proč? Jaký tvar bude mít matice E, pro kterou má platit, že E . A = A ?

Inverzní matice

Typ a existence inverzní matice Součin matic typů (m,p) a (p,n) je matice typu (m,n). Matice A a její inverzní matice A-1 musí splňovat vztahy A . A-1 = E a A-1 . A = E , kde E je jednotková (čtvercová matice). Odtud plyne, že m = p = n . Inverzní matice tedy může existovat jen ke čtvercové matici, a má stejný typ. Lze dokázat větu: Čtvercová matice má inverzní matici právě tehdy, když je regulární.

Postup výpočtu inverzní matice Nechť je dána regulární matice A typu (n,n). Její inverzní matice A-1 vypočítáme tímto způsobem: Vytvoříme matici AE typu (n, 2n). Tuto matici budeme upravovat pomocí těchto úprav: řádek vynásobit libovolným nenulovým číslem, k řádku přičíst nenulový násobek jiného řádku. Cílem je získat „vlevo“ jednotkovou matici E. Výsledná matice má pak tvar EA-1 .

Příklad výpočtu inverzní matice Začneme upravovat matici: Jednotkovou matici budeme získávat po sloupcích a vždy začneme vytvořením jedničky na diagonále. Po úpravách získáme matici: O správnosti výsledku se můžeme přesvědčit násobením (v obojím pořadí). Inverze matice.xls

Struktura regulárních matic

Struktura regulárních matic Struktura regulárních čtvercových matic typu (n,n) s operací násobení je nekomutativní grupa. Poznámka: Je nerozumné hovořit u regulárních matice o struktuře s dvěma operacemi, protože sečtením dvou regulárních matic můžeme získat singulární matici. (Zkonstruujte si příklad.)

Maticové vyjádření soustavy lineárních rovnic

Příklad Soustavou lineárních rovnic je například: 2x + 3u – v = 2 x – 2y + 2u – 4v = 0 u – v = – 2 Této soustavě odpovídá matice soustavy (koeficienty u neznámých) a matice (sloupec) pravých stran:

Maticová formulace soustavy Snadno se přesvědčíme se, že tuto soustavu 2x + 3u – v = 2 x – 2y + 2u – 4v = 0 u – v = – 2 můžeme vyjádřit pomocí násobení matic takto:

Maticové řešení regulární soustavy lineárních rovnic

Řešení regulární soustavy Nechť má soustava tvar A . X = B , kde matice A je regulární, což znamená, že má inverzní matici A-1 . Řešme maticovou rovnici: A . X = B A-1. (A . X) = A-1. B (A-1. A) . X = A-1. B E . X = A-1. B Řešení soustavy.xls X = A-1. B Aplikace.xls

Co je třeba znát a umět? Pojem jednotkové matice, pojem inverzní matice, její výpočet, vlastnosti, vlastnosti struktury regulárních matic, znát maticový zápis soustavy lineárních rovnic, rozumět maticovému řešení regulární soustavy.

Děkuji za pozornost