ICA 2006 Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality Thomas Møller, Mikkel Dahl: Valuation and Hedging of Life Insurance Liabilities with Systematic Mortality Risk Aktuárský seminář Pavel Finfrle

Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality Aktuárský seminář Pavel Finfrle

Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality 1.Realizace úmrtnosti v kmeni 2.Fluktuace úmrtnosti 3.Trend Aktuárský seminář Pavel Finfrle

Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality Aktuárský seminář Pavel Finfrle Realizace úmrtnosti v kmeni - diversifikovatelná složka rizika - pro identické (a nezávislé) pojistky

Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality Aktuárský seminář Pavel Finfrle Realizace úmrtnosti v kmeni - problémy: nehomogenní portfolio (především různě vysoké částky) - kvantil 99%

Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality Aktuárský seminář Pavel Finfrle Reálné portfolio Friends First, pojistek

Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality Aktuárský seminář Pavel Finfrle Realizace úmrtnosti v kmeni - problémy: korelace mezi výší důchodu a úmrtností (vyšší důchod ~ nižší pravděpodobnost úmrtí)  analýza úmrtnosti dle pojistných částek

Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality 1.Realizace úmrtnosti v kmeni 2.Fluktuace úmrtnosti 3.Trend Aktuárský seminář Pavel Finfrle

Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality Aktuárský seminář Pavel Finfrle Úmrtnost populace - mladší věky (očištěno o trend ?!)  pouze malá závislost výkyvů

Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality Aktuárský seminář Pavel Finfrle Úmrtnost populace - vyšší věky (očištěno o trend ?!)  vysoká závislost výkyvů („suffer at the same time“)

Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality Aktuárský seminář Pavel Finfrle Ovlivňuje špatný rok úmrtnost v dalších letech? 3 hypotézy 1.„efekt stáda“ úmrtí slabších jedinců „posiluje“ přeživší celek 2.„efekt životaschopnosti“ kromě zvýšené úmrtnosti též podlomené zdraví přeživších 3.„nezávislost“ - porovnávány roky před a po vrcholu úmrtnosti, žádný efekt nepřevážil

Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality Aktuárský seminář Pavel Finfrle Modelování úmrtnosti Smith-Olivier Model p(x,s,t) … pravděpodobnost přežití z času t -1 do t očekávaná v čase s p(x,s,t) = p(x,s-1,t) d(x,s,t), kde d(x,s,t) = G(s) b(x,s,t) G(s) … Gamma rozdělení b(x,s,t) … zaručuje, že p(x,s,t) je martingal náhodná procházka faktoru změny úmrtnosti

Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality 1.Realizace úmrtnosti v kmeni 2.Fluktuace úmrtnosti 3.Trend Aktuárský seminář Pavel Finfrle

Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality Aktuárský seminář Pavel Finfrle

Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality Aktuárský seminář Pavel Finfrle změna trendu i volatility

Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality Aktuárský seminář Pavel Finfrle  prosté prodloužení trendu nemusí být dostačující „riziková přirážka“ průzkum, zda nejsou důvody ke změně v dohledné době Modelování trendu Vyšší pravděpodobnost zlespšení v náhodné procházce faktoru úmrtnosti ? omezení shora současnou úmrtností

Thomas Møller, Mikkel Dahl: Valuation and Hedging of Life Insurance Liabilities with Systematic Mortality Risk Thomas Møller, Mikkel Dahl: Valuation and Hedging of Life Insurance Liabilities with Systematic Mortality Risk Aktuárský seminář Pavel Finfrle

Thomas Møller, Mikkel Dahl: Valuation and Hedging of Life Insurance Liabilities with Systematic Mortality Risk 1.Model úmrtnosti a pojistného portfolia 2.Model úrokové míry 3.Kombinovaný model Aktuárský seminář Pavel Finfrle

Thomas Møller, Mikkel Dahl: Valuation and Hedging of Life Insurance Liabilities with Systematic Mortality Risk Intenzita úmrtnosti v čase t pro osobu s počátečním věkem x intenzita úmrtnosti v čase 0, kladný stochastický proces, časově nehomogenní Cox-Ingersoll-Ross (CIR) model Wienerův proces při přirozené pravděpodobnosti P Itôovo lemma  také odpovídá CIR modelu Aktuárský seminář Pavel Finfrle

Thomas Møller, Mikkel Dahl: Valuation and Hedging of Life Insurance Liabilities with Systematic Mortality Risk Pojistné portfolio - n pojištěných s počátečním věkem x počet zemřelých v čase t a dříve intenzita procesu, zjednodušeně Nechť pak je martingal (vzhledem k přirozené prsti P) Aktuárský seminář Pavel Finfrle

Thomas Møller, Mikkel Dahl: Valuation and Hedging of Life Insurance Liabilities with Systematic Mortality Risk 1.Model úmrtnosti a pojistného portfolia 2.Model úrokové míry 3.Kombinovaný model Aktuárský seminář Pavel Finfrle

Thomas Møller, Mikkel Dahl: Valuation and Hedging of Life Insurance Liabilities with Systematic Mortality Risk Časově homogenní model okamžité úrokové míry po přechodu k rizikově neutrální pravděpodobnostní míře Q Aktuárský seminář Pavel Finfrle

Thomas Møller, Mikkel Dahl: Valuation and Hedging of Life Insurance Liabilities with Systematic Mortality Risk 1.Model úmrtnosti a pojistného portfolia 2.Model úrokové míry 3.Kombinovaný model Aktuárský seminář Pavel Finfrle

Thomas Møller, Mikkel Dahl: Valuation and Hedging of Life Insurance Liabilities with Systematic Mortality Risk Předpoklad nezávislosti a, Přechod k rizikově neutrální pravděpodobnostní míře uvažuje cenu rizika úrokové míry změny intenzity úmrtnosti realizace úmrtnosti v portfoliu Aktuárský seminář Pavel Finfrle

Thomas Møller, Mikkel Dahl: Valuation and Hedging of Life Insurance Liabilities with Systematic Mortality Risk Navrženy ceny rizika tak, že za Q připomenutí - za P cena rizika realizace úmrtnosti a tedy Aktuárský seminář Pavel Finfrle

Thomas Møller, Mikkel Dahl: Valuation and Hedging of Life Insurance Liabilities with Systematic Mortality Risk Výplatní funkce … součet plateb na intervalu [ 0,t ] Aktuárský seminář Pavel Finfrle

Thomas Møller, Mikkel Dahl: Valuation and Hedging of Life Insurance Liabilities with Systematic Mortality Risk Výplatní funkce … součet plateb na intervalu [ 0,t ] Aktuárský seminář Pavel Finfrle Jednorázové pojistnéPlnění v případě dožití času T Intenzita placení pojistného Plnění v případě smrti

Thomas Møller, Mikkel Dahl: Valuation and Hedging of Life Insurance Liabilities with Systematic Mortality Risk „Tržní rezerva“ = Tržní hodnota závazku z pojištění v čase t platí Aktuárský seminář Pavel Finfrle

Thomas Møller, Mikkel Dahl: Valuation and Hedging of Life Insurance Liabilities with Systematic Mortality Risk Literatura - papers.ica2006.com Aktuárský seminář Pavel Finfrle