Kus lidského důvtipu…

Knihy na webu (raději v knihovně) Home / lib / M_Mathematics / MA_Algebra / MAco_Computational algebra /HomelibM_Mathematics MA_Algebra MAco_Computational algebra Chou S. C. Механическое доказательство теорем геометрии (ISBN ) Chou S.-C. Mechanical geometry theorem proving (1988)(ISBN )(L)(T)(187s).djvu Size 4.5Mb Date Jan 15, WinDjView

Eliminace kvantifikátorů Trochu odstrašující název… Trochu odstrašující název… Budeme však pracovat s asi nejrozšířenější matematickou strukturou, s tělesem reálných čísel. Budeme však pracovat s asi nejrozšířenější matematickou strukturou, s tělesem reálných čísel. Úzká souvislost se středoškolskou matematikou! Úzká souvislost se středoškolskou matematikou! 1. Je pro všechna reálná x výraz + 1 > 0? 1. Je pro všechna reálná x výraz + 1 > 0? ANO! ANO!

Střední škola, kvadratické rovnice… 2. Kdy má kvadratická rovnice = 0 reálný kořen? Právě tehdy, když ≥ 0 ! Co se stalo? Zapišme: 1. a tato formule obsahuje jedinou proměnnou x vázanou obecným kvantifikátorem. Ekvivalentní formule: kvantifikátor „zmizí“!

Ukázka eliminace kvantifikátorů! Zmizela též vázaná proměnná x. Ekvivalentní formule neobsahuje již žádné proměnné. Například 0 < 1. Ale o pravdivosti takové formule lze snadno rozhodnout – platí ! 2. Tato formule obsahuje vázanou proměnnou x a dvě volné proměnné p, q.

Volné proměnné p, q v ekvivalentní formuli zůstaly! Náhoda?

Tarski považován za jednoho z největších logiků lidské historie. Věnoval se teorii množin, výrokové logice, logice prvního řádu a nekonečné logice, rozhodovacím problémům, sémantice, teorii modelů, univerzální algebře, booleovské algebře a teorii svazů, algebraické logice, teorii míry, základům a metamatematice geometrie.

Tarski dokázal, že eliminace kvantifikátorů v tzv. reálně uzavřených tělesech je možná. Věta 1: Nechť G = je kvantifikovaná formule zapsaná v prenexním tvaru, v níž jsou proměnné volné a proměnné vázané (tj. Qi, i = m + 1,..., n značí buďto existenční kvantifikátor  nebo obecný kvantifikátor  ). je kvantifikovaná formule zapsaná v prenexním tvaru, v níž jsou proměnné volné a proměnné vázané (tj. Qi, i = m + 1,..., n značí buďto existenční kvantifikátor  nebo obecný kvantifikátor  ).

je logickou kombinací polynomiálních rovnic a nerovnic s celočíselnými koeficienty v proměnných je logickou kombinací polynomiálních rovnic a nerovnic s celočíselnými koeficienty v proměnných Pak existuje formule H v proměnných která již neobsahuje kvantifikátory a která je ekvivalentní formuli G.

Hlavní výsledek získal Tarski v r a jeho důsledky poprvé zmínil v tisku o rok později. Přetížení vědeckou prací, mnoho jiných vědeckých zájmů… Trvalo devět let, než byla monografie The completness of elementary algebra and geometry obsahující tyto výsledky připravena do tisku. Sborník Actualités scientifiques et industrielles, Hermann & Cie, Paříž 1939

Zbyly dva exempláře sloupcových korektur… Nová šance k publikování až v souvislosti s projektem RAND. Vznikla práce A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry (1948). Teorie (prvního řádu) reálně uzavřených těles je rozhodnutelná! Výpočetně krajně složité.

Následovníci provedli jistá zjednodušení (Seidenberg 1954, Cohen 1969). Zásadní snížení výpočetní složitosti přinesla metoda cylindrické algebraické dekompozice (CAD), navržená Georgem Collinsem v r Jednorozměrný případ známe ze školní praxe. Jakých hodnot (a kde) nabývá polynom f (x) = ? Idea: znázorni na ose x kořeny polynomu,

ve vzniklých otevřených intervalech rozhodneš o znaménku výpočtem funkčních hodnot ve vhodně zvolených vnitřních bodech. CAD ve vyšší dimenzi výrazně složitější. Několik fází: 1. normalizační fáze 1. normalizační fáze 2. projekční fáze 2. projekční fáze 3. fáze zdvižení 3. fáze zdvižení 4. konstrukce formule  4. konstrukce formule 

Metoda CAD byla v pozdějších letech vylepšována zejména Hoon Hongem a byl vytvořen interaktivní program QEPCAD. Zásluhou prof. Christophera W. Browna nalezne zájemce bohatou dokumentaci o tomto programu na adrese QEPCAD.html. Metoda CAD byla v pozdějších letech vylepšována zejména Hoon Hongem a byl vytvořen interaktivní program QEPCAD. Zásluhou prof. Christophera W. Browna nalezne zájemce bohatou dokumentaci o tomto programu na adrese QEPCAD.html.

(obsahuje jen (obsahuje jen volné proměnné). volné proměnné).

Quantifier Elimination in Elementary Algebra and Geometry by Partial Cylindrical Algebraic Decomposition Version B 1.8, 14 Jan 2003 by Hoon Hong With contributions by: Christopher W. Brown, George E. Collins, Mark J. Encarnacion, Jeremy R. Johnson Werner Krandick, Richard Liska, Scott McCallum, Nicolas Robidoux, and Stanly Steinberg =============================

Enter an informal description between '[' and ']': [pokus] Enter a variable list: (p, q, x) Enter the number of free variables: 2 Enter a prenex formula: (Ex) [x^2 + p x + q = 0].

Before Normalization > go Before Projection > go Before Choice > go Before Solution > solution-extension T An equivalent quantifier-free formula: 4 q - p^2 <= 0

QEPCAD - výhody a nevýhody: Lze jej stáhnout zdarma Lze jej stáhnout zdarma Jde o „experimentální“ program zaměřený na eliminaci kvantifikátorů Jde o „experimentální“ program zaměřený na eliminaci kvantifikátorů Má dokonce „zobecněné“ kvantifikátory: Má dokonce „zobecněné“ kvantifikátory: E = "there exists" A = "for all" F = "for infinitely many" G = "for all but finitely many" C = "for a connected subset" Xk = "for exactly k distinct values"

========================== Before Normalization > go Before Projection (x) > go Before Choice > go Before Solution > solution-extension T An equivalent quantifier-free formula: 27 q^2 + 4 p^3 < 0

QEPCAD pracuje pod operačním systémem Linux Rigidní zápis formulí („nevezme“ podíly, odmocniny…). Eliminace kvantifikátorů a mnoho věcí s ní souvisejících je obsaženo v programovém balíku Mathematica Verze 6.0: roste podpora počítačového dokazování, lze si vybrat obor, ve kterém jsou voleny proměnné

Spolupracující „balíky“ a utility, grafika atd. x cena Reduce[ForAll [{x, y}, x^2 + y^2 >= 0]] True True Reduce[ForAll [{x, y}, x^2 + y^2 > 0]] Reduce[ForAll [{x, y}, x^2 + y^2 > 0]] False False Tarski – (R, 0, 1,+,.,<) je úplná teorie ! Netradiční pohled na učivo o limitách – obtížné.