Odhady parametrů základního souboru Parametry základního souboru (populace), resp. parametry rozdělení X Výběrové charakteristiky Základní soubor (populace) střední hodnota μ (EX) rozptyl σ2 směrodatná odchylka σ podíl (rel. četnost) π Výběrový soubor (výběr) výběrový rozptyl s2 výběrová s výběrový p průměr

Typy odhadů Bodový odhad Intervalový odhad

Základní pojmy z terorie odhadu interval spolehlivosti (konfidenční interval) spolehlivost odhadu (1-α) hladinou významnosti α parametrický prostor odhad parametru θ bodový odhad parametru θ

Vlastnosti „dobrého“ bodového odhadu Nestrannost (nevychýlenost, nezkreslenost) Vydatnost (eficience) Konzistence Dostatečnost

Chyba bodového odhadu Bodový odhad – náhodná veličina Výběrová chyba (odchylka bodového odhadu od skutečné hodnoty parametru) Střední chyba (směrodatná odchylka nezkresleného bodového odhadu)

Konstrukce intervalových odhadů Intervalový odhad - interval (TD; TH), v němž hledaný parametr leží s předem určenou pravděpodobností (spolehlivostí), kterou označujeme (1-α)

Typy intervalových odhadů Jednostranné Levostranné , Pravostranné , Dvoustranné ,

Konstrukce intervalových odhadů Zvolíme vhodnou výběrovou charakteristiku, jejíž rozdělení známe (testová statistika) – T(X) Levostranné odhady Nechť: Je zřejmé, že: A proto:

Konstrukce intervalových odhadů Zvolíme vhodnou výběrovou charakteristiku, jejíž rozdělení známe (testová statistika) – T(X) Pravostranné odhady Nechť: Je zřejmé, že: A proto:

Konstrukce intervalových odhadů Zvolíme vhodnou výběrovou charakteristiku, jejíž rozdělení známe (testová statistika) – T(X) Dvoustranné odhady Nechť: Je zřejmé, že: A proto:

Intervaly spolehlivosti pro parametry normálního rozdělení

Intervalové odhady pro střední hodnotu Známe rozptyl známe Volba vhodné testové statistiky: Levostranný interval spolehlivosti:

Intervalové odhady pro střední hodnotu Známe rozptyl známe Volba vhodné testové statistiky: Pravostranný interval spolehlivosti:

Intervalové odhady pro střední hodnotu Známe rozptyl Volba vhodné testové statistiky: Dvoustranný interval spolehlivosti:

Intervalové odhady pro střední hodnotu Neznáme rozptyl neznáme Volba vhodné testové statistiky: Levostranný interval spolehlivosti: Pravostranný interval spolehlivosti: Dvoustranný interval spolehlivosti:

Řešený příklad: Řešení: Útvar kontroly podniku Edison testoval životnost žárovek. Kontroloři vybrali z produkce podniku náhodně 50 žárovek a došli k závěru, že průměrná doba života těchto 50-ti žárovek je 950 hodin a příslušná výběrová směrodatná odchylka doby života je 100 hodin. Určete 95%-ní interval spolehlivosti životnosti žárovek firmy Edison. Řešení:

Řešený příklad: Řešení: Útvar kontroly podniku Edison testoval životnost žárovek. Kontroloři vybrali z produkce podniku náhodně 50 žárovek a došli k závěru, že průměrná doba života těchto 50-ti žárovek je 950 hodin a příslušná výběrová směrodatná odchylka doby života je 100 hodin. Určete 95%-ní interval spolehlivosti životnosti žárovek firmy Edison. Řešení:

Intervalové odhady pro rozptyl Volba vhodné testové statistiky: Levostranný interval spolehlivosti: Pravostranný interval spolehlivosti: Dvoustranný interval spolehlivosti:

Intervalové odhady pro směrodatnou odchylku Volba vhodné testové statistiky: Levostranný interval spolehlivosti: Pravostranný interval spolehlivosti: Dvoustranný interval spolehlivosti:

Intervalové odhady pro podíl (relativní četnost) Volba vhodné testové statistiky: Levostranný interval spolehlivosti: Pravostranný interval spolehlivosti: Dvoustranný interval spolehlivosti:

Intervaly spolehlivosti pro rozdíl dvou parametrů normálních rozdělení

Intervalové odhady pro rozdíl dvou středních hodnot Známe rozptyly Volba vhodné testové statistiky: Levostranný interval spolehlivosti: Pravostranný interval spolehlivosti: Dvoustranný interval spolehlivosti:

Intervalové odhady pro rozdíl dvou středních hodnot Neznáme rozptyly Volba vhodné testové statistiky: Levostranný interval spolehlivosti: Pravostranný interval spolehlivosti: Dvoustranný interval spolehlivosti:

Intervalové odhady pro rozdíl dvou podílů (rel. četností) Volba vhodné testové statistiky: Levostranný interval spolehlivosti: Pravostranný interval spolehlivosti: Dvoustranný interval spolehlivosti:

Řešený příklad: Řešení: Diskety dvou velkých výrobců - Sonik a 5M byly podrobeny zkoušce kvality. Diskety obou výrobců jsou baleny po 20-ti kusech. Ve 40-ti balíčcích fy Sonik bylo nalezeno 24 vadných disket, ve 30-ti balíčcích 5M bylo nalezeno 14 vadných disket. Určete 95%-ní interval spolehlivosti pro rozdíl v procentu vadných disket v celkové produkci firem Sonik a 5M. Řešení:

Spolehlivost intervalového odhadu: Hladina významnosti: Výběrové soubory: Sonik: 5M:

Po dosazení:

Rozsah výběru Přípustná chyba odhadu Δ hodnota, o kterou jsme ochotni se zmýlit oproti skutečné hodnotě odhadovaného parametru při dané spolehlivosti odhadu (hladině významnosti) je rovna polovině šířky oboustranného intervalu spolehlivosti

Rozsah výběru při odhadu střední hodnoty Známe rozptyl Oboustranný intervalový odhad : Příslušný intervalový odhad tedy můžeme vyjádřit ve tvaru: Přípustná chyba odhadu Δ : Požadujeme:

Rozsah výběru při odhadu střední hodnoty Neznáme rozptyl Přípustná chyba odhadu: PŘEDVÝBĚR

Rozsah výběru při odhadu podílu Oboustranný intervalový odhad : Přípustná chyba odhadu Δ : PŘEDVÝBĚR Nejhorší možnost (p=0,5):