SAM Přehled témat

Pojem systém Systém – výraz odvozený z řečtiny Syn – dohromady Histemi – sestavovat Základní téma systémových věd Zkoumání vztahů, nikoliv objektů, prvků samotných

Systém Systém Okolí systému Účel v definici systému Struktura systému Hranice systému Prvky systému Hierarchie systémů Vazby prvků systému Chování systému

Systémový trojúhelník MODEL SYSTÉM OBJEKT Reálný svět Věda - metody OR/MS 5. interpretujeme 2. odvozujeme 6. implementujeme 1. zavádíme 4. kvantifikujeme 3. verifikujeme homomorfní vztah izomorfní vztah

Modelování Modely Ikonické (materiální) modely Symbolické modely Slovní Grafické Matematické Normativní modely Deskriptivní modely Koncepční modely

Modelování Definování systému na reálný objekt Verbálně-grafický model daného objektu Matematický model Prvky Čas Dynamika Náhoda Testování a verifikace modelu Modelové experimenty

Systémová analýza Základní princip: „Každý existující systém lze zdokonalit, každý nově projektovaný systém lze zkonstruovat tak, aby uspokojoval požadavky uživatele.“

Postup klasické systémové analýzy Vymezení (analýza a formulace) řešeného problému Identifikace systému na zkoumaném objektu Vytvoření systémového modelu a kvantifikace modelu Modelové výpočty a experimenty Interpretace výsledků a řešení problému Implementace a realizace řešení v praxi

Tvrdé a měkké systémové metodologie Tvrdé metodologie Řešení optimální ekonomicky, technicky atd. Měkké metodologie Řešení sociálně přijatelné

Fáze měkké systémové metodologie

Nástroje měkké systémové metodologie Rich Picture vyjádření problémové situace Root Definitions CATWOE Koncepční modely

Tvrdé systémové metodologie Lineární optimalizační modely Parametrizace Dynamizace…. Modely strukturální analýzy Markovské řetězce Systémy hromadné obsluhy

Odvozování matematických modelů Typy omezujících podmínek: spotřeba ≤ K … kapacitní výroba ≥ P … požadavkové výroba ≤ spotřeba (+/- rezerva/překročení) … bilanční faktor I / faktor II ≤ ≥ α … poměrové Základní typy vazeb v systémovém diagramu:

Možné varianty vazeb v diagramu

Možné varianty vazeb v diagramu

Modely strukturální analýzy Spotřeba produktu (vstup i-tého odvětví do j-tého) + spotřeba primárních činitelů Meziprodukt (výstup i-tého odvětví do j-tého) + finální produkce Meziodvětvová spotřeba Finální produkce Spotřeba prmárních činitelů

Kvadranty modelu strukturní analýzy I. kvadrant výrobní spotřeby matice meziodvětvových (endogenních) toků. II. kvadrant konečné spotřeby exogenní (vnější) toky produkce - rozdělení finální produkce (čtyři sektory: spotřeba obyvatelstva, celospolečenská spotřeba, investiční výstavba a zahraniční obchod III. kvadrant primárních činitelů spotřeba živé práce, nakoupených materiálů, energie, surovin apod. (odpisy, mzdami a zisky včetně daní). IV. kvadrant údaje o tocích primárních zdrojů ve finální spotřebě.

Uzavřený strukturní model Xij … ……. Xi Xj Vnitřní rovnováha systému - produkce každého vyrobeného produktu se právě rovná požadovanému množství AX = X tedy (E - A) X = 0 Náklady na výrobu j-tého výrobku nesmí být větší než jeho cena (podmínka rentability) pT A  pT neboli pT (E - A)  0 (p vektor cen výrobků jednotlivých odvětví )

Otevřený strukturní model Výrobní odvětví NH Finální produkce Celková produkce xij ……. Yi Xi Primární činitelé zij ……. Mi Celková spotřeba Xj

Distribuční rovnice X = AX + Y M = MX Y = (E - A)X Kolik bude finální produkce? Matice (E-A) určuje vyprodukovanou finální produkci z jednotky celkové produkce. (E - A)-1Y = X Kolik zajistit celkové produkce? Matice (E-A)-1 určuje požadovanou celkovou produkci potřebnou pro jednotku finální produkce, obsahuje spotřebu spotřeby.

Hodnotové rovnice Hodnota celkové produkce j-tého odvětví materiálové náklady spotřeba primárních činitelů a nově vytvořená hodnota přidaná zpracováním Soustava hodnotových rovnic: Diagonálně rozepsaná matice primárních činitelů:

Markovské řetězce Markovův řetězec je diskrétní řetězec, který splňuje markovskou vlastnost, tj. pro každé m = 2, 3, … a pro všechny možné stavy platí vztah: P{Xm = em | Xm-1 = em-1, …, X1 = e1 } = = P{Xm = em | Xm-1 = em-1 }

T(n) = Tn …. matice přechodu, tj.: Markovská rovnice Maticové vyjádření Markovovy rovnice: T(n) = Tn …. matice přechodu, tj.: i j

Absolutní pravděpodobnosti Pravděpodobnosti jednotlivých stavů M. řetězce v kroku n se nazývají absolutní pravděpodobnosti stavů v okamžiku n pn = (p1n , p2n, p3n , … ). Absolutní pravděpodobnosti stavů v okamžiku 0 se nazývají počáteční pravděpodobnosti stavů p0 = (p10 , p20, p30 , …)

pn = p0 Tn = pm Tn-m = pn-1T Markovova věta Výpočet absolutních pravděpodobností Vektorově lze tyto vztahy zapsat takto pn  = p0 Tn = pm Tn-m =  pn-1T i j

Limitní pravděpodobnosti Ergodický Markovský řetězec lim pj(n) = pj, j = 1, 2, …, r Výpočet pomocí řešení soustavy lineárních rovnic (Markovská soustava rovnic)

Chování ergodického řetězce

Přiřazovací problém Kvantifikovatelnost vazby ai D1 1 3 7 15 D2 6 19 16 D3 10 18 2 5 D4 13 20 bj Přiřazovací problém Kvantifikovatelnost vazby Stejný počet dodavatelů a spotřebitelů D = S. Při přiřazovací úloze hledáme právě m obsazených polí (nezávislých prvků), jde tedy o silně degenerovanou úlohu. Jednotky kapacit dodavatelů a jednotky požadavků spotřebitelů jsou vzájemně homogenní (v tabulce jsou ohodnoceny 1, tj. jde o celočíselnou úlohu). V rámci dodavatelsko-spotřebitelských vazeb existuje nekonečná mezní míra substituce, tj. libovolného spotřebitele Sj můžeme uspokojit libovolnou zakázkou dodavatele Di Řešením úlohy přiřazovacího problému o velikosti m x m je nalezení právě m nezávislých prvků s minimálním součtem.

König-Egerwarryho teorém „Maďarská metoda“ Primární redukce matice sazeb Výběr nezávislých nul Kontrola správnosti výběru ( krycí čáry) Sekundární redukce matice sazeb Opakujeme kroky 2, 3 a 4 dokud není nalezeno m nezávislých nul König-Egerwarryho teorém „Grafický test optima“ maďarské metody. Minimální počet krycích čar, kterými jsou identifikovány nezávislé nuly tabulky a současně jsou pokryty všechny volné nuly tabulky, je roven minimálnímu počtu nezávislých nul, které lze z tabulky vybrat.