Počátky kvantové mechaniky Celá fyzika je hotova – veškerá naše práce nyní bude spočívat v upřesňování konstant. Již jen dva mráčky zastiňují čisté fyzikální nebe – Michelsonův experiment a záření absolutně černého tělesa. William Thomson lord Kelvin 1824 - 1907 STR OTR Kvantová mechanika V rámci projektu „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (vladimir.pospisil@fjfi.cvut.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci GNU GPL (www.gnu.org).

Absolutně černé těleso Co je absolutně černé těleso a jak něco, co je absolutně černé, může zářit? Gustav Robert Kirchhoff 1824 - 1887 Těleso pohltí všechno záření na něj dopadající – nic neodráží. Všechno záření, které z něj vychází, má původ v jeho vlastních zdrojích. Záření nezávisí na druhu materiálu – souvisí pouze s teplotou tělesa. Pojem zavedl roku 1860 G. Kirchhoff

Absolutně černé těleso Kovová kulička v temné chladné místnosti, zahřátá na vysokou teplotu. Slunce.

Absolutně černé těleso Světlo vcházející dovnitř Pohlcení Dutina Světlo vcházející dovnitř Úzký otvor V laboratoři lze těleso realizovat pomocí dutiny, do které vede maličký otvor. Je-li dutina zahřátá, vyzařování otvoru se záření absolutně černého tělesa velmi blíží. Mnohonásobné odrazy

Absolutně černé těleso Stojaté vlny uvnitř dutiny Záření vycházející otvorem ven

Spektrum elektromagnetického záření Elektromagnetické spektrum se skládá ze všech různých vlnových délek záření, včetně světla, radiových vln, paprsků X a dalších. Jediné oblasti, kterou můžeme vnímat přímo, je viditelné světlo (oči) a infračervené záření (teplo). Spektrum, přesněji zastoupení jednotlivých složek záření ve spektru, lze vyjádřit pomocí histogramu či grafu.

Spektrum záření A.Č.T. - experiment Poloha vrcholu závisí na teplotě Intenzita záření Maximum ve viditelné oblasti je pro těleso s teplotou kolem 5000K – například Slunce Vlnová délka [nm]

Spektrum záření A.Č.T. - experiment Pro nižší teploty je vyzařovací maximum v infračervené oblasti. Intenzita záření Vlnová délka [nm]

Spektrum A.Č.T. – předpověď klasické fyziky Ultrafialová katastrofa – množství vyzařované energie v UV oblasti a kratších vlnových délkách je nekonečné. Intenzita záření Spektrum předpovídané klasickou elektrodynamikou. Vlnová délka [nm]

Planckova kvantová hypotéza Rovnici, která dobře popisuje záření, odvodil roku 1900 německý fyzik Max Planck Předpokládal, že energii nelze vyzařovat spojitě, nýbrž po určitých „porcích“, zvaných kvanta Pomocí tohoto předpokladu popsal spektrum záření absolutně černého tělesa velmi přesně On sám za tímto svým činem neviděl žádný převratný objev; kvantovou hypotézu bral jen jako šikovný matematický trik. Max Planck 1858 - 1947 E = h.f Frekvence záření Planckova konstanta Konstanta (velmi malá), dnes známá jako Planckova „Porce“ energie v kvantu

Planckova kvantová hypotéza Planckův vztah pro záření AČT ve variantě s frekvencí a vlnovou délkou vypadá následovně : kde f je frekvence záření, λ vlnová délka záření, c rychlost světla a k = 1.38x10-23 JK-1 Boltzmannova konstanta.

Fotoelektrického jev e- Ozáříme-li povrch kovového materiálu světlem určité vlnové délky (a tedy energie) začnou z něj vyletovat elektrony. Počet elektronů je úměrný intenzitě světla (tj. výkonu zdroje), jejich kinetická energie ale nikoliv. Ta závisí výhradně na materiálu (druh kovu) a na vlnové délce (frekvenci) světla! kov e- energie elektronů frekvence světla materiál 1 materiál 2 materiál 3 Toto chování neumí klasická elektro-dynamika vysvětlit – předpokládá, že energie elektronů poroste s intenzitou světla (výkonem zdroje).

Kvantové vysvětlení fotoelektrického jevu Fotoelektrický jev vysvětlil Einstein pomocí Planckovy kvantové hypotézy Fotoelektrický jev : Světlo vyráží z povrchu kovů elektrony. Jedno kvantum světla může vyrazit právě jeden elektron. Část energie kvanta se spotřebuje na překonání přitažlivé síly, jež váže elek- tron v materiálu (a ta je závislá na daném kovu), zbytek elektron dostane ve formě kinetické energie Jak Planck, tak Einstein za tyto objevy obdrželi Nobelovu cenu. Albert Einstein 1879 - 1955 Ee = hf -W Záření AČT i vysvětlení fotoelek-trického jevu zavání částicovou teorií světla (kterou poprvé nadhodil Newton a která byla opuštěna).

Comptonův jev α Elektrony vyletují z místa srážky. Arthur Holly Compton (1892 –1962) Elektrony vyletují z místa srážky. Světlo dopadá na volné elektrony. α Světlo pokračuje v šíření pod jiným úhlem a větší vlnovou délkou. Jev, který silně otřásl vírou v to, že světlo je vlnění, pozoroval roku 1923 američan A. Compton. Stejně jako Planck a Einstein dostal za svou práci Nobelovu cenu (1927) Dle klasické teorie se vlna sice může ohýbat na překážkách a předávat svou energii hmotným objektům (za snížení amplitudy), ale nemůže při tom změnit svou vlnovou délku!

E = h.f Comptonův jev α e- β e- Popíšeme kvantum dopadajícího záření pomocí částice – fotonu. Částice je charakterizována kinetickou energií a hybností. α β e- e- E = h.f

Comptonův jev α β Zákon zachování hybnosti Zákon zachování energie

Vlnové vlastnosti světla – Youngův pokus Ve vysvětlení Comptonova jevu byly použity výpočty typické pro srážku částic. Ale světlo je vlna, to víme. Thomas Young (1773 - 1829 ) Zdroj světla (koherentního) Dvojštěrbina Stínítko

Počátky kvantové mechaniky Co je tedy světlo? Vlna, nebo částice? Obojí najednou!

Počátky kvantové mechaniky Trhlé, že? Ale to byl jen a jen začátek … Youngův pokus zobrazuje typickou vlnovou vlastnost světla. Jaký bude výsledek, budeme-li jej provádět s částicemi?

Rozptyl na dvojštěrbině s elektrony Co od pokusu očekává zdravý selský rozum? To samé, co od ocelových kuliček : Značme si, kam kuličky dopadly. Proletí právě jednou štěrbinou. Ocelová kulička Dopadne na jedno místo na stínítku. Kulička může při průchodu štěrbinou změnit směr.

Rozptyl na dvojštěrbině s elektrony Svazek dopadajících elektronů

Rozptyl na dvojštěrbině s elektrony Elektrony vysílané po jednom Proč se elektrony nechovají stejně jako ocelové kuličky?

Počátky kvantové mechaniky Z čeho se skládá hmota? Z částic, nebo vlnění? Vévoda Louis Victor Pierre Raymond de Broglie (1892-1987) ? Ve vesmíru jsou k nalezení mnohé symetrie. Dá se říct, že ze symetrií vycházejí základní zákony přírody. Vlnu lze popsat jako částici Částici lze popsat jako vlnu

Částicově-vlnový dualizmus Vévoda Louis Victor Pierre Raymond de Broglie (1892-1987) Dle de Broglieho hypotézy lze částicím připsat vlnové vlastnosti a přiřadit vlnovou délku. Rovinné vlny odpovídající dopadajícím elektronům. I jediná částice se chová jako rovinná vlna.

Schrödingerova rovnice Částici lze popsat jako vlnu. Co se zde ale „vlní“? Jaké médium vlny přenáší? Každé částici je přiřazena tzv. Vlnová funkce. Obvykle se značí písmenem Ψ. Jedná se o funkci souřadnic a času, jejíž obor hodnot jsou komplexní čísla. Tato funkce vyhovuje vlnové rovnici, kterou navrhl E. Schrödinger. Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger 1887 - 1961

Odvození Schrödingerovy rovnice Toto je řešení standardní vlnové rovnice. k je vlnový vektor, pro který platí ??? Dle deBroglieho hypotézy lze libovolnou částici popsat jako vlnu, pro níž platí Po dosazení do vztahu pro rovinnou vlnu, která podle deBroglieho popisuje pohyb volné částice, získáme Popis částice hybností a energií jsme tak převedli na popis rovinnou vlnou. Pro tuto vlnu musíme sestavit vlnovou rovnici. Zkusme trochu derivovat:

Odvození Schrödingerovy rovnice Z toho plyne Víme ale, že a můžeme dosadit Vidíme, že na pravé straně je energie v první mocnině. Jsme schopni tento výraz dostat ještě jiným způsobem z vlnové funkce ? Určitě ano, první derivací podle času : Obě strany se liší jen v konstantách a jistě je půjde opravit tak, aby se rovnaly pro libovolnou vlnovou funkci.

Odvození Schrödingerovy rovnice Funkce se vykrátí a zbudou konstanty. Jak zvolit číslo α, aby rovnost platila? A nyní stačí jen rovnici upravit : kde jsme označili

Schrödingerova rovnice Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger 1887 - 1961 Schrödingerovu rovnici rovinná deBroglieho vlna splňuje. Ale nejen ona. Rovnici splňuje mnoho různých funkcí, například tzv. vlnový balík, který letící částici popisuje mnohem lépe : Simulace průchod částice dvojštěrbinou viz http://www.bugman123.com Obecně lze říct, že vlnová funkce každé částice musí v každém okamžiku splňovat Schrödingerovu rovnici. Pokud ji nesplňuje, neexistuje.

Hustota pravděpodobnosti Max Born 1882 - 1970 Jaký je fyzikální význam vlnové funkce, která je obecně komplexní? Tato otázka dlouho nebyla zodpovězena. Jedno z relativně vyhovujících řešení navrhl Max Born a dopracovali jej N. Bohr a W. Heisenberg v Kodani (odtud se toto pojetí jmenuje Kodaňská interpretace). Toto pojetí tvrdí, že kvadrát vlnové funkce (tj. reálné číslo) je úměrný hustotě pravděpodobnosti výskytu částice. ψ nám tedy udává, s jakou pravděpodobností zaznamenáme částici, budeme-li její výskyt měřit v bodě (x,y,z) a čase t. Druhá mocnina vlnové funkce (tj. reálné číslo) je úměrná hustotě pravděpodobnosti výskytu částice.

Hustota pravděpodobnosti Kvantová hradba Počítačový obraz pořízený r. 1993 ve výzkumném středisku IBM. Každý ze 48 píků v kruhu představuje atom železa na speciálně upraveném měděném povrchu. Tato hradba byla vytvořena rastrovým mikroskopem. Vnitřek kruhu tvoří stojaté de Broglieho vlny elektronů (resp. kvadrát Ψ – hustota pravděpodobnosti).

Pravděpodobnostní charakter dějů Kodaňská interpretace tvrdí, že všechny jevy v mikrosvětě mají pravděpodobnostní charakter. To, zda se něco stane či ne je známo pouze s nějakou pravděpodobností, a navíc, dokud nezačneme jev pozorovat, nelze o výsledku říct vůbec nic! Elektron, který se nachází na cestě mezi dvojštěrbinou a stínítkem, nemá pevně určenou polohu ani hybnost! Dokud jej nezačneme pozorovat, nachází se v neurčitém stavu, popsaném vlnovou funkcí, splňující Schrödingerovu rovnici. Teprve až v okamžiku, kdy jej začneme pozorovat (projde interakcí s jinými částicemi ve stínítku), bude jeho poloha pevně určena. Až do té doby žádnou polohu ve smyslu, jakým tento pojem chápeme v makrosvětě, nemá! Pojmy poloha, rychlost, hybnost a další, které jsou známy z mechaniky a lze je deterministicky určit, mají v kvantové mechanice jiný, menší význam. Podstatný je tzv. kvantový stav – zde udaný vlnovou funkcí.

Pravděpodobnostní charakter dějů Uvedený princip demonstruje (poněkud drsný) myšlenkový experiment, dnes známý jako Schrödingerova kočka. Kočka, která je zavřená v bedně se zařízením, které může, ale nemusí způsobit její smrt, není ani živá, ani mrtvá – je v kvantovém stavu, který zahrnuje obě možnosti. Teprve až bednu otevřeme, určíme jeden z těchto stavů s pravděpodobností 50 %. Otázkou zůstává, co se stane s vlnovou funkcí kočky, pokud k ní do bedny zavřeme dalšího fyzika (pozorovatele) …

Jak pozorujeme makroskopické objekty? Relace neurčitosti V mikrosvětě nelze s libovolnou přesností měřit všechny veličiny. Přesné měření jedné může vyloučit měření druhé. Tento princip souvisí s pravděpodobnostním charakterem dějů a je znám jako relace neurčitosti. Jak pozorujeme makroskopické objekty?

Jak pozorujeme makroskopické objekty? Relace neurčitosti Hybnosti objektu jsou známy Δt Jak pozorujeme makroskopické objekty? Polohy objektu jsou známy

Jak pozorujeme mikroskopické objekty? Relace neurčitosti Zatímco hmotnost fotonu a makroskopického objektu se liší o mnoho řádů a přenos hybnosti mezi nimi je tedy zanedbatelný, vysokoenergetický foton má hmotnost srovnatelnou s hmotností elektronu. Přenos hybnosti při srážce tedy nelze zanedbat. Po interakci elektron zcela nepředvídatelně změní velikost a směr své hybnosti. e- Při interakci vysokoenergetického fotonu s elektronem předá foton elektronu část své hybnosti. Jak pozorujeme mikroskopické objekty?

Relace neurčitosti Viditelné světlo : Paprsky X : Pokud se pokusíme k určení hybnosti elektronu použít nízkoenergetický foton, narazíme na další problém : chyba v určení polohy bude rovna nejméně velikosti vlnové délky fotonu. e- Po interakci je známa hybnost elektronu, ne však jeho poloha Chyba při určení polohy je rovna minimálně vlnové délce fotonu.

Relace neurčitosti Werner K. Heisenberg 1901 - 1976 Předchozí princip lze zobecnit, což udělal německý teoretický fyzik Werner Heisneberg roku 1927. Heisenbergovy relace neurčitosti jsou jedním ze základních kamenů kvantové fyziky. Hybnost a polohu částice (kvanta) nelze současně určit s libovolnou přesností. Určíme-li přesně polohu, neznáme hybnost částice vůbec – a naopak. Nepřesnosti v určení hybnosti a polohy jsou spolu svázány následujícími vztahy:

Matematický rámec kvantové mechaniky Matematický přístup ke kvantové mechanice je poněkud odlišný od klasické mechaniky. Důvod tkví v tom, že již od počátku jsou základní rovnice kvantové mechaniky parciální diferenciální (zatímco klasické normální diferenciální) a děje mají pravděpodobnostní charakter a částice nelze popsat jejich polohami. x y z Klasická mechanika popisuje objekty pomocí dvou vektorů – polohy a hybnosti. Základní množinou všech možností jsou tedy dva vektorové prostory R3 (resp. jeden rpostor R6) o konečné dimenzi. Každému stavu částice pak odpovídá právě jeden polohový a jeden hybnostní vektor. Kvantová mechanika popisuje objekty pomocí vlnové funkce. Základní množinou všech možností je tedy nekonečněrozměrný vektorový prostor funkcí, označovaný jako L(R3,dx3). Každému stavu částice pak odpovídá právě jedna vlnová funkce.

Matematický rámec kvantové mechaniky x y z Klasická mechanika přiřazuje stavům (r,p) další veličiny pomocí funkcí. Například kinetická energie je zobrazení E : R3 -> R jako Obdobně jsou definovány všechny vektorové i skalární veličiny. Kdybychom v kvantové mechanice veličiny přiřadili stejně, tedy jako zobrazení f : L(R3,dx3) -> R, došli bychom zpět k vývodům klasické mechaniky – kvantování by se ztratilo. Bylo třeba vymyslet jiný přístup.

Matematický rámec kvantové mechaniky Spásné řešení nakonec přinesly operátory na L. Každé pozorovatelné (poloha, hybnost, energie) je přiřazen nějaký operátor, tedy zobrazení a je postulováno, že měřitelné hodnoty dané veličiny se nachází ve spektru tohoto operátoru – tedy v množině vlastních čísel. Formálně je přiřazeno operátor polohy operátor hybnosti Operátory jsou zvoleny tak, aby jejich vlastní čísla byla shodná s polohou a hybností deBroglieho rovinné vlny (spočítejte) :

Matematický rámec kvantové mechaniky Všechny ostatní pozorovatelné jsou konstruovány podle principu korespondence - tj. vztahy vypadají formálně stejně, jako v klasické mechanice, ale polohy a hybnosti jsou nahrazeny operátory polohy a hybnosti. Například operátor kinetické energie je tedy Co nám připomíná výraz ? Operátor celkové energie je zaveden jako Hamiltonián Správně, pravou stranu Schrödingerovy rovnice.

Matematický rámec kvantové mechaniky Schrödingerova rovnice pro částici v nějakém potenciálu tedy vypadá takto Řešíme-li nějaký ustálený stav, je levá strana nulová. To je případ elektronů vázaných k atomovému jádru. Zvolíme-li za potenciál Řekne nám spektrum Hamiltoniánu (množina vlastních čísel) vše o striktuře elektronového obalu. Zjistíme, že energetické hladiny jsou diskrétní – při jiné energii než ze spektra H je vlnová funkce nulová – a pokud započítáme některé další efekty, zjistíme že vlnové funkce samy mají velmi specifický tvar a struktura elektronového obalu je velmi bohatá.

Shrnutí Záření absolutně černého tělesa Fotoefekt Comptonův rozptyl Planckova kvantová hypotéza Fotoefekt Comptonův rozptyl Vlnově-částicový dualizmus Schrödingerova rovnice Bornova pravděpodobnostní interpretace Relace neurčitosti Matematický rámec kvantové mechaniky