M ATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ S TRAVOVÁNÍ V MENZE 4 - B ORY Autor: Bc. David Václav Obor : FST / KKS – Konstrukce výrobních strojů

Ú VOD Práce se zabývá stravováním v menze: Hledisko teploty Hledisko optimalizace cesty strávníka 2/23

P OJMY Běžný strávník = strávník vybavující se k obědu podnosem (tácem), příborem, hlavním jídlem a pitím Sklenice = jedná se o sklenice z masivního skla s uchem s obsahem 0,4 l. Normovaná teplota = je teplota jídla (výdeje) daná českou hygienickou normou o provozu výdejen jídla a je rovna 63°C. 3/23

D EFINOVÁNÍ PROBLÉMU 1.) Byla teplota jídla v okamžiku výdeje 63°C ? 2.) Maximální možná rychlost v zatáčce? 3.) Maximální možné zrychlení na počátku cesty s ohledem na sklenici? 4.) Maximální zrychlení s ohledem vylití pití ? 4/23

Č ÁST 1 – T EPLOTA JÍDLA Problém = teplota jídla v okamžiku výdeje Zákon (zákonitost): Newtonův zákon ochlazování. Speciální případ energetické bilance (tepelné bilance). Slovní formulace: Okamžitá časová změna teploty je úměrná rozdílu teploty vně a uvnitř tělesa. Matematické vyjádření: 5/23

Č ÁST 1 – T EPLOTA JÍDLA Dáno: To = 53 °C… tep. v okamžiku usednutí R = 22 °C… teplota okolí ( menza ) t c = 2 min 24 sec … čas od výdeje k měření Řešení: Metodou integračního faktoru zjistíme funkci chladnutí : 6/23

Č ÁST 1 – T EPLOTA JÍDLA Koeficient k ovšem není znám Měření v t = 3 min; R = 22 °C č. měřeníPokrm∆T (3) [°C] 1Ryzoto5,9 2Rajská omáčka5,5 3Segedínský guláš 5,2 ∆T (3) = rozdíl teploty od 53 °C po t = 3min Ø = 47,47°C = T (t) 7/23

Č ÁST 1 – T EPLOTA JÍDLA Dosadíme: Známe tedy hodnotu koeficientu k a můžeme zpětně dosadit: 8/23

Č ÁST 1 – T EPLOTA JÍDLA T(t)=63°C; t = ? t c = 2 min 24 sec … čas od výdeje k měření 9/23

Č ÁST 2 – RYCHLOST V ZATÁČCE Problém = maximální rychlost v zatáčce tak, aby nedošlo k vylití pití Zákon (zákonitost): Statika tekutin - Eulerova rovnice statiky tekutin : Hmotnostní síla od zrychlení a povrchová síla od tlaku musejí být v rovnováze. Úpravou na tlakovou rovnici (neuvádím v prez.): 10

Č ÁST 2 – RYCHLOST V ZATÁČCE Řešení: Dáno : g = 9,81 - gravitační zrychlení R = 3 m- poloměr zatáčky L p = 15 mm- výška nezaplněná pi D = 65 mm - průměr sklenice 11

Č ÁST 2 – RYCHLOST V ZATÁČCE Dosadíme : Určíme konstantu : Rychlost kdy hladina dosáhne bodu B: 12

Č ÁST 2 – RYCHLOST V ZATÁČCE Rozměrová analýza: Dopočteme dosazením: 13

Č ÁST 3 – M AXIMÁLNÍ ZRYCHLENÍ NA POČÁTKU CESTY ( SKLENICE ) Problém : Zjistit maximální možné zrychlení ( zpomalení ) na počátku ( konci ) cesty s ohledem na sklenici. Zákon (zákonitost): Relativní pohyb hmotného bodu. 31 = Absolutní Unášivý Relativní Platí: 14

Č ÁST 3 – M AXIMÁLNÍ ZRYCHLENÍ NA POČÁTKU CESTY ( SKLENICE ) Řešení: Dáno: g = 9,81… gravitační zrychlení f = ?… součinitel tření ( sklenice – tác ) φ = 15° 15

Č ÁST 3 – M AXIMÁLNÍ ZRYCHLENÍ NA POČÁTKU CESTY ( SKLENICE ) Součet sil ve směrech: 16

Č ÁST 3 – M AXIMÁLNÍ ZRYCHLENÍ NA POČÁTKU CESTY ( SKLENICE ) Úpravou dostaneme : Podmínka, aby se sklenice nezačala pohybovat: Dosazením: 17

Č ÁST 4 – M AXIMÁLNÍ ZRYCHLENÍ NA POČÁTKU CESTY ( VYLITÍ ) Problém : Zjisti maximální možné zrychlení ( zpomalení ) na počátku ( konci ) cesty tak, aby nedošlo k vylití pití Zákon ( Zákonitost ): viz. část 2 Dáno: Sklenice je naplněna z 9/10 svého objemu (nejsme hamouni) Gravitační zrychlení g = 9,81 m/s 2 Rozměry sklenice L = 130 mm; D = 65 mm 18

Č ÁST 4 – M AXIMÁLNÍ ZRYCHLENÍ NA POČÁTKU CESTY ( VYLITÍ ) Řešení: 19

Č ÁST 4 – M AXIMÁLNÍ ZRYCHLENÍ NA POČÁTKU CESTY ( VYLITÍ ) Určení konstanty C: Tedy: 20

Č ÁST 4 – M AXIMÁLNÍ ZRYCHLENÍ NA POČÁTKU CESTY ( VYLITÍ ) Dosazením A; B : Dosazením: 21

Z ÁVĚR Shrnutí: Část 1 : čas potřebný k chůzi od výdeje ke stolu: t ch =2min 24 sec čas, před kterým mělo jídlo teplotu 63°C ( po usednutí ke stolu) t 63 =4min 16 sec Část 2: maximální možná rychlost strávníka v zatáčce v z = 3,68 m/s Část 3: maximální možné zrychlení na počátku cesty ( tak aby se sklenice nezačalapohybovat) a p = 2,62 m/s 2 Část 4 : maximální možné zrychlení na počátku cesty (tak aby se nevylilo pití) a v = 3,924 m/s 2 22

D ĚKUJI Z A V AŠI POZORNOST ! 23