K OMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Variace VY_32_INOVACE_M4r0107 Mgr. Jakub Němec

V ARIACE

V ARIACE – DEFINICE A VZOREC

V prvním případě se zaměříme čistě na aplikaci definice. Výsledek je tedy zřejmý. Lze samozřejmě využít i pravidla kombinatorického součinu. U druhého příkladu si musíme uvědomit, že jedna pozice je již obsazena a zároveň se snížil počet prvků. Poté je již řešení jednoduchým cvičením. Třetí příklad je založen především na tom, že dvojice knih může zaujímat navíc dvě různé pozice vůči sobě, tudíž je všech možností dvojnásobný. Poslední příklad je postaven na principu odečtení jedné možnosti od všech ostatních, čímž se dopracujeme k výsledku. Jarmila má na stole osm knížek, ale v knihovničce místo jen na pět z nich. Kolik možností má, jak je seřadit, když: a) není ničím omezena? b) Babička musí stát na levém kraji? c) Máj musí být vedle Babičky? d) Pán much nesmí být uprostřed?

Při řešení prvního příkladu užijeme podobného postupu jako v minulém případě. Na místě desetitisíců nemůže být nula, tento případ tedy odečteme od všech možných. Druhý případ je založen na principu toho, že na místě desetitisíců nemůže být polovina číslic. Výsledek všech možností tedy vydělíme dvěma, nebo odečteme polovinu možností. V třetím příkladu máme od začátku obsazena dvě číslice. Poslední číslice musí být sudá (ale dvojka je již využitá), máme tedy čtyři možnosti. Pro dvě zbylé číslice využijeme principu variací. Určete počet všech pěticiferných čísel, v nichž se neopakují číslice a pro které platí, že: a) nemají žádné jiné omezení. b) jsou menší než číslo c) začínají dvoučíslím 52 a jsou sudá.

V prvním příkladu je nutné nejdříve sestavit rovnici. Poté se zbavíme faktoriálu (podmínka!). Získáme rovnici, která má vcelku jednoduché řešení. Příklad je možné řešit také jako kvadratickou rovnici. Určete počet prvků n, když: a) výsledný počet dvoučlenných variací bude 132. b) při zvýšení prvků o tři bude počet dvoučlenných variací vyšší 10-krát. c) při zvýšení prvků o tři bude počet tříčlenných variací vyšší o 276.

Druhý příklad je již obtížnější. Stále je však nutné sestavit správně rovnici dle zadání. Poté se zbavíme faktoriálu (nezapomeňte na podmínku!). Po úpravě získáme kvadratickou rovnici, která je již snadným cvičením. Kořeny porovnáme z podmínkou a získáme jediný kořen rovnice, tedy i jediné řešení příkladu. Určete počet prvků n, když: a) výsledný počet dvoučlenných variací bude 132. b) při zvýšení prvků o tři bude počet dvoučlenných variací vyšší 10-krát. c) při zvýšení prvků o tři bude počet tříčlenných variací vyšší o 276.

Třetí příklad je až na výjimky obdobný jako druhý příklad. Nejdříve je nutné sestavit správně rovnici dle zadání. Poté se zbavíme faktoriálu (nezapomeňte na podmínku!). Po úpravě získáme kvadratickou rovnici, která je již snadným cvičením. Kořeny porovnáme z podmínkou a získáme jediný kořen rovnice, tedy i jediné řešení příkladu. Určete počet prvků n, když: a) výsledný počet dvoučlenných variací bude 132. b) při zvýšení prvků o tři bude počet dvoučlenných variací vyšší 10-krát. c) při zvýšení prvků o tři bude počet tříčlenných variací vyšší o 276.

Ú KOL ZÁVĚREM 1) Tvůrce trikolóry má k dispozici sedm barev. Kolik různých možností může vytvořit, když: a) není ničím omezen? b) uprostřed má být červená barva? c) vlevo má být bílá nebo modrá? d) na kraji nesmí být zelená? 2) Určete počet prvků n, když: a) výsledný počet dvoučlenných variací bude 20. b) při zvýšení prvků o tři bude počet dvoučlenných variací vyšší 2,4-krát.

Z DROJE Literatura: Calda, Emil; DUPAČ, Václav. Matematika pro gymnázia: Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Dotisk 4. vydání. Praha: Prometheus, 2003, 170 s. ISBN Schémata byla tvořena v programu Malování, který je součástí operačního systému Windows.