Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Rovnice Ekvivalentní úpravy rovnic

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou) tak, aby po jeho dosazení za proměnnou daná rovnost platila. Existuje-li takové číslo, nazývá se řešení nebo také kořen rovnice. Čemu říkáme rovnice? 6 Pravá strana rovnice P x + 2 Levá strana rovnice L = = = Nyní se tedy naskýtá otázka. Jaké číslo můžeme dosadit do našeho příkladu za proměnnou, aby nastala rovnost? Řešením je tedy číslo. Zdá se to být jednoduché? Kéž by bylo! Nás však čekají daleko složitější rovnice a při jejich řešení nám musí pomoci ekvivalentní úpravy. 6 = 6 Zapíšeme: x = 4 4 4

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. 1. ekvivalentní úprava x – 3 = 5 Jestliže k oběma stranám rovnice přičteme stejné číslo (výraz – jednočlen, mnohočlen), kořen rovnice se nezmění. + 3 x – 3 = 5 x = 8 / Zvolenou ekvivalentní úpravu poznamenáme vedle zápisu Na obou stranách rovnice provedeme naznačené početní operace Jestliže jsme kořen rovnice určili správně, po jeho dosazení za neznámou do levé i pravé strany zadání rovnice nastane rovnost. Říkáme, že provádíme zkoušku. L = x – 3 = 8 – 3 = 5 P = 5 L = P x – 3 = 5 nebo 8 – 3 = 5 5 = 5

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze ekvivalentní úprava x + 3 = 5 Jestliže od obou stran rovnice odečteme stejné číslo (výraz – jednočlen, mnohočlen), kořen rovnice se nezmění. x + 3 = 5 x = 2 / Zvolenou ekvivalentní úpravu poznamenáme vedle zápisu Na obou stranách rovnice provedeme naznačené početní operace Jestliže jsme kořen rovnice určili správně, po jeho dosazení za neznámou do levé i pravé strany zadání rovnice nastane rovnost. Říkáme, že provádíme zkoušku. L = x + 3 = = 5 P = 5 L = P x + 3 = 5 nebo = 5 5 = 5

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze ekvivalentní úprava Kořeny rovnice se nezmění, jestliže zaměníme levou a pravou stranu rovnice. - 3 x + 3 = 5 x = 2 / = x = x / x + 3 = 5 = = L P P L

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Příklad č. 1: X - 8 = 12 X - 8 = 12 /+ 8 X = X = 20 Zk: L = x – 8 = 20 – 8 = 12 Kořeny rovnice se nezmění, jestliže k oběma stranám rovnice přičteme stejné číslo nebo mnohočlen. Na obou stranách rovnice provedeme naznačené početní operace. P = 12 L = P

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Příklad č. 2: 6 = y = y + 5 / = y = y Zk: L = 6 Kořeny rovnice se nezmění, jestliže od obou stran rovnice odečteme stejné číslo nebo mnohočlen. Na obou stranách rovnice provedeme naznačené početní operace P = y + 5 = = 6 L = P y = 1 Kořeny rovnice se nezmění, jestliže zaměníme levou a pravou stranu rovnice.

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Příklad č. 3: 5x - 7 = 4x + 3 5x - 7 = 4x + 3 /+ 7 Zk: L = 5x – 7 = 5.10 – 7 = = 50 – 7 = 43 P = 4x + 3 = = = = 43 L = P 5x – = 4x x = 4x + 10 /- 4x 5x – 4x = 4x x x = 10

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. A z plus na mínus. Celý předcházející příklad ještě jednou, ale s využitím zkráceného zápisu. 5x - 7 = 4x + 3 5x - 7 = 4x + 3 /+ 7 Zk: L = 5x – 7 = 5.10 – 7 = = 50 – 7 = 43 P = 4x + 3 = = = = 43 L = P 5x = 4x x = 4x + 10 /- 4x 5x – 4x = + 10 x = x- 4x Přejde-li člen z jedné strany rovnice na druhou, změní se jeho znaménko na opačné: Z mínus na plus.

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. A teď už sami x = x = 1 / + 3 x = x = 4 Zk: L = = 1 P = 1 L = P 0 = 3 + a 0 = 3 + a / = a - 3 = a a = - 3 Zk: L = = 1 P = 1 L = P

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. A ještě jeden. - 4u + 8 = 10 – 5u - 4u + 8 = 10 – 5u / + 5u - 4u u = 10 u + 8 = 10 / - 8 u = 10 – 8 u = 2 Zk: = 10 – = 10 – 10 0 = 0 Tolik tedy k prvním třem ekvivalentním úpravám. Příště nás čekají další dvě!

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze ekvivalentní úprava Jestliže obě strany rovnice vynásobíme stejným číslem (výrazem) různým od nuly, kořen rovnice se nezmění.. 3 / Zvolenou ekvivalentní úpravu poznamenáme vedle zápisu Na obou stranách rovnice provedeme naznačené početní operace Jestliže jsme kořen rovnice určili správně, po jeho dosazení za neznámou do levé i pravé strany zadání rovnice nastane rovnost. Říkáme, že provádíme zkoušku. nebo

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. : 3 5. ekvivalentní úprava Jestliže obě strany rovnice vydělíme stejným číslem (výrazem) různým od nuly, kořen rovnice se nezmění. / Zvolenou ekvivalentní úpravu poznamenáme vedle zápisu Na obou stranách rovnice provedeme naznačené početní operace Jestliže jsme kořen rovnice určili správně, po jeho dosazení za neznámou do levé i pravé strany zadání rovnice nastane rovnost. Říkáme, že provádíme zkoušku. nebo

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Příklad č. 1: Kořeny rovnice se nezmění, jestliže obě strany rovnice vynásobíme stejným číslem nebo mnohočlenem (různým od nuly). Na obou stranách rovnice provedeme naznačené početní operace

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Příklad č. 2: 8 = -4x 8 = -4x / :(-4) 8 : (-4) = -4x : (-4) -2 = x Zk: L = 8 Kořeny rovnice se nezmění, jestliže obě strany rovnice vydělíme stejným číslem nebo mnohočlenem (různým od nuly). Na obou stranách rovnice provedem e naznačené početní operace. P = -4x = -4.(-2) = 8 L = P x = -2 Kořeny rovnice se nezmění, jestliže zaměníme levou a pravou stranu rovnice. __ 8 -4x -4 =

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Příklad č. 3: 4 x x __ __ = 1, Vynásobit musíme všechny členy rovnice!!!

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Ekvivalentní úpravy rovnic Shrňme si tedy na závěr ještě jednou všechny již známé ekvivalentní úpravy rovnic: 1. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže zaměníme levou a pravou stranu rovnice. 2. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže k oběma stranám rovnice přičteme stejné číslo nebo mnohočlen. 3. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže od obou stran rovnice odečteme stejné číslo nebo mnohočlen. 4. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže obě strany rovnice vynásobíme stejným číslem nebo mnohočlenem (různým od nuly). 5. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže obě strany rovnice vydělíme stejným číslem nebo mnohočlenem (různým od nuly).