Elementární funkce Základními elementárními funkcemi se nazývají funkce mocninné exponenciální logaritmické goniometrické cyklometrické Elementárními funkcemi se nazývají funkce, které jsou vytvořeny ze základních elementárních funkcí pomocí konečného počtu základních algebraických operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení, skládání). V rámci projektu „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (vladimir.pospisil@fjfi.cvut.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci GNU (www.gnu.org).

Rovnice Rovnicí nazveme výraz (podmínku) ve tvaru . Všechna čísla x z definičního oboru funkce f, která podmínce vyhovují, nazveme řeše- ním rovnice nebo kořeny funkce f. Rovnici lze zapsat i ve tvaru . Na výchozí tvar ji lze pře- vést odečtením g(x) od obou stran rovnosti : . Výraz nalevo je nová funkce. Rovnice může mít obecně jedno nebo více řešení, popřípadě žádné či nekonečně mnoho – to záleží na tvaru funkce f(x). Například rovnice má jedno řešení x = 1/2 má dvě řešení x = 2, x = -2 má nekonečně řešení x = 2kπ, k Z nemá žádné řešení (v reálných číslech)

Polynomické funkce Polynom n-tého stupně nazveme funkci ve tvaru kde koeficienty ai jsou obecně komplexní čísla, n přirozené číslo. Pro některá n nazýváme polynomy konstantní, lineární, kvadratická a kubická funkce.

Vlastnosti kvadratických funkcí Grafem kvadratické funkce je křivka zvaná parabola. Ta je souměrná podle osy rovnoběžné s osou y. Její tvar závisí zejména na koeficientu a. a < 0 : funkce je shora omezená funkce klesá na funkce roste na v bodě má ostré maximum a > 0 : funkce je zdola omezená funkce klesá na funkce roste na v bodě má ostré minimum

Polynomické rovnice Polynom stupně alespoň 1 má alespoň 1 kořen. Karl Friedrich Gauss 1777-1855 Věta 2. Polynom stupně alespoň 1 má alespoň 1 kořen. Základní věta algebry Polynom stupně 0 je triviální – nemá žádný kořen. Polynom stupně 1 má vždy jeden kořen Co je kořen – graficky?

Polynomické rovnice Polynom stupně 2 – musí mít alespoň jeden kořen? Má tento polynom alespoň jeden kořen? Ano, má dva : Základní věta algebry platí pouze v oboru komplexních čísel. V oboru reálných platit nemusí. Reálné kořeny rovnic jsou ale důležité. Jak spočítat obecně reálné kořeny kvadratické rovnice – či jak zjistit, že žádné nemá? Tuto rovnici lze řešit tzv. doplněním na úplný čtverec, tj. za využití vzorce

Řešení kvadratické rovnice Substituce p = b/a , q = c/a další výpočet zpřehlední. Nyní je nutné upravit výraz napravo tak, aby v něm bylo pouze jediné x. Využijeme předchozího vzorce jestliže vhodným doplněním členů získáme

Řešení kvadratické rovnice Přepsali jsme rovnici na tvar, ve kterém je již elementárními úpravami snadno k vyřešení: Nyní dosadíme zpět za p, q :

Řešení kvadratické rovnice Vzhledem k ± zde není nutné vkládat absolutní hodnotu.

Řešení kvadratické rovnice Tento vzorec ukazuje, že každý polynom druhého stupně má nejvýše dvě řešení. V reálném oboru lze o počtu kořenů rozhodnout z výrazu . Pokud , řešení je právě jedno. Je-li tento výraz záporný, rovnice reálné řešení nemá. Jinak má dvě. Výraz D = b2 - 4ac nazýváme diskriminant. Lze dokázat, že libovolný polynom n-tého stupně má nejvýše n kořenů. Vzorce, kterými je možné vypočítat ale pro polynomy vyššího stupně než čtyři (tzv. Cardanovy vzorce) nejsou známy. Lze dokázat, že každý polynom lichého stupně s reálnými koeficienty má minimálně jeden reálný kořen.

Řešení polynomických rovnic vyšších stupňů Lze dokázat, že libovolný polynom n-tého stupně má nejvýše n kořenů. Vzorce, kterými je možné vypočítat ale pro polynomy vyššího stupně než čtyři (tzv. Cardanovy vzorce) nejsou známy. Rovnice lze řešit buď přibližně (numerickými metodami), graficky, nebo, pokud to je možné, nějak problém zjednodušit. y = f (x) x Grafické řešení

Řešení polynomických rovnic vyšších stupňů Příklad Vyřešte rovnici Řešení je triviální. Povšimneme si, že rovnici řeší x = 0. Předpokládáme-li, že x ≠ 0, pak můžeme celou rovnici x vydělit, zbude a dle dříve uvede-ného vzorce pak x = 1, x = 2. Rovnice má tedy tři kořeny. Čísla ki určují tzv. násobnost kořenu. Obecně lze říci, že každý polynom lze zapsat jako kde x1 – xm jsou kořeny a ki přirozená čísla, pro která platí k1 + k2 +…+ km= n . Uhodneme-li nějakým způsobem jeden kořen, můžeme ho z polynomu „vytknout“ a celou rovnici vydělit příslušnou závorkou. Tím získáme polyno- mickou rovnici nižšího stupně.

Řešení polynomických rovnic vyšších stupňů Příklad Vyřešte rovnici Všimneme-li si například, že rovnici řeší x = 3, pak snadno dospějeme k následujícímu: Rovnice má tedy dva kořeny, x = 3, x = 1. Druhý z kořenů má násobnost 2.

Racionální funkce Racionální nazveme funkci ve tvaru kde koeficienty pi, qj jsou obecně komplexní čísla, n a m přirozená čísla. Jedná se zjevně o podíl dvou polynomů. Ve speciálních případech nazýváme funkce hyperbolická (nepřímá úměrnost) a lineární lomená funkce. Podmínky u druhé z funkcí zajišťují, aby se z výrazu nestala funkce lineární či dokon-ce konstantní.

Vlastnosti hyperbolické funkce funkce není omezená funkce klesá na celém Df funkce nemá na Df extrémy funkce je lichá 2 1 Graf nepřímé úměrnosti je tzv. rovnoosá hyperbola. Ta je souměrná podle os kvadrantů. Hyperbola se neomezeně blíží k souřadným osám, nikdy se jich však nedotkne. V bodě x = 0 funkce není definována (tento bod nepatří do jejího defi-ničního oboru). Je-li konstanta v čitateli zlomku záporná, jsou větve hyperboly v opačných kvadrantech. -2 -1 1 2 -1 -2

Vlastnosti lineární lomené funkce funkce není omezená funkce klesá na celém Df funkce nemá na Df extrémy Řešení racionálních rovnic spočívá pouze v úpravě výrazů a vede na řešení rovnic polynomických. Je třeba jen vést v patrnosti čísla, která do rovnice nelze dosadit (dělení nulou). Graf lineární lomené funkce je rovněž rovnoosá hyper-bola, ovšem posunutá mimo počátek souřadnic. její střed leží v bodě jinak se ve všech vlast-nostech shoduje s nepřímou úměrností.

Exponenciální funkce Exponenciální funkcí funkcí o základu a nazveme funkci Podmínky jsou nutné, neboť reálná mocnina je definována pouze pro kladná čísla a v případě, že a = 1, není funkce exponenciální, nýbrž polynomická 0. stupně. Pro vědeckou praxi jsou důležité exponenciální funkce se základy dekadická exp. funkce přirozená exp. funkce Iracionální číslo e se nazývá eulerovo, nebo základ přirozeného logarit- mu. Dostaneme se k němu v rámci úvodu do matematické analýzy.

Vlastnosti exponenciální funkce a > 1 : funkce je zdola omezená funkce je rostoucí funkce je prostá nemá lokální extrémy vždy prochází bodem [0,1], neboť libovolné číslo umocněné na nulu je jedna Exponenciální funkce pro a > 1 velmi rychle roste. Například funkce 2x zdvojnásobí svou funkční hodnotu pokaždé, kdy se x zvětší o 1.

Vlastnosti exponenciální funkce a < 1 : funkce je zdola omezená funkce je klesající funkce je prostá nemá lokální extrémy vždy prochází bodem [0,1], neboť libovolné číslo umocněné na nulu je jedna

Vlastnosti exponenciální funkce Exponenciální funkce se zákla-dy a a 1/a jsou vůči sobě syme-trické podle osy y. To je dáno tím, že Jinými slovy, nahradíme-li základ a základem 1/a, provádíme vlastně nahrazení argumentu funkce x argumentem –x, a tato operace převrátí graf funkce podle osy y.

Logaritmické funkce Logaritmickou funkcí o základu a nazveme funkci inverzní k zapisujeme Jelikož exponenciální funkce je prostá v celém svém definičním oboru, je možné k ní utvořit funkci inverzní na celém oboru hodnot. Obor hod- not exponenciální funkce je ovšem interval (0,+∞), proto je tento interval zároveň definičním oborem logaritmu. Dle definice platí Pro zjednodušení se zavádí zápisy

Vlastnosti logaritmické funkce y x Protože logaritmus je inverzní funkce k funkci exponenciální, jsou jejich grafy symetrické podle osy 1. a 3. kvadrantu a > 1 : funkce není omezená funkce je rostoucí funkce je prostá nemá lokální extrémy vždy prochází bodem [1,0]

Vlastnosti logaritmické funkce y x Protože logaritmus je inverzní funkce k funkci exponenciální, jsou jejich grafy symetrické podle osy 1. a 3. kvadrantu a < 1 : funkce není omezená funkce je klesající funkce je prostá nemá lokální extrémy vždy prochází bodem [1,0]

Vlastnosti exponentů a logaritmů Tato identita plyne přímo z definice. Logaritmus a exponenciála jsou k sobě navzájem inverzní. Zapíšeme-li tedy exponenciálu jako inverzní funkci k logaritmu a neprohodíme x a y, získáme Z definice rovněž plyne

Vlastnosti exponentů a logaritmů Dále platí pro libovolná x1, x2 > 0, a > 0, a ≠ 1 : Rovnosti vycházejí z vlastnosti exponenciál Poslední rovnost je splněna pouze v tom případě, že se rovnají výrazy v exponentu.

Vlastnosti exponentů a logaritmů Předchozí rovnosti lze rozšířit na Dále platí pro libovolná x > 0, a > 0, a ≠ 1, r reálná a n přirozená : Což by šlo dokázat stejně jako předchozí identity. Odsud také rovnou plyne

celá rovnost zlogaritmována při základu b Vlastnosti exponentů a logaritmů Poslední důležitý vztah pro logaritmy je To vyplývá z následujících jednoduchých úprav: celá rovnost zlogaritmována při základu b Speciálně pak

Příklady na počítání s logaritmy

Příklady na počítání s logaritmy Pomocí logaritmů lze převést řadu násobení a dělení na sčítání a odčítání. Dříve se tohoto faktu hojně využívalo při výpočtech za pomoci logaritmického pravítka. logaritmické stupnice

není zde 0 (je v nekonečnu) Logaritmické stupnice 101 102 103 104 105 106 107 108 10-1 10-2 10-3 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 100000000 0.1 0.01 0.001 1 2 3 4 5 6 -2 101 102 103 104 105 106 107 108 10-1 10-2 10-3 1 100 není zde 0 (je v nekonečnu)

Ta samá data v dekadické stupnici – malé píky vůbec nejsou vidět! Logaritmické stupnice Ta samá data v dekadické stupnici – malé píky vůbec nejsou vidět!

Logaritmické stupnice

Exponenciální a logaritmické rovnice Exponenciální rovnicí nazveme každou rovnost, ve které se neznámá vyskytuje v exponentu. Základní tvar takové rovnice lze zapsat jako kde f(x) a g(x) jsou nějaké jednodušší funkce (např. racionální). Z tohoto tvaru lze rovnici převést na racionální zlogaritmováním s libovolným zá- kladem, např. 10: Výrazy log a a log b jsou pro danou rovnici konstanty a lze je najít v ta- bulkách či spočítat na kalkulačce.

Exponenciální a logaritmické rovnice Příklad Vyřešte rovnici Protože platí, že lze rovnici upravit na K řešení jsme využili faktu, že po elementární úpravě byly obě funkce v exponentu stejné. Nebylo tedy nutné celou rovnici zlogaritmovat.

Exponenciální a logaritmické rovnice Příklad Vyřešte rovnici Rovnici upravíme : a zlogaritmujeme:

Exponenciální a logaritmické rovnice Příklad Vyřešte rovnici Součty nelze zlogaritmovat a mocniny mají různé základy. Je třeba rovnici nejprve ně-jak upravit:

Exponenciální a logaritmické rovnice Příklad Vyřešte rovnici

Exponenciální a logaritmické rovnice Logaritmickou rovnicí nazveme každou rovnost, ve které se neznámá vyskytuje argumentu logaritmu. Základní tvar takové rovnice lze zapsat jako kde f(x) a g(x) jsou nějaké jednodušší funkce (např. racionální). Z tohoto tvaru lze rovnici převést na racionální převodem na společný základ a odlogaritmováním: Většinou se ovšem setkáváme z jednoduššími rovnicemi, u kterých je základní tvar

Exponenciální a logaritmické rovnice Příklad Vyřešte rovnici

Exponenciální a logaritmické rovnice Příklad Vyřešte rovnici Je třeba mít na pamětí, že argumenty logaritmů musí být kladné a tedy x > -3 a zároveň x > 2, tedy dohromady x > 2. Vyjde-li nám jiný výsledek, musíme jej zahodit.

Shrnutí Elementární funkce Rovnice, kořeny rovnice Polynomy, polynomické rovnice, základní věta algebry Kvadratická funkce a rovnice Řešení polynomických rovnic vyšších stupňů Racionální funkce Nepřímá úměrnost, lineární lomená funkce Exponenciální a logaritmické funkce Vlastnosti exponenciál a logaritmů, logaritmická stupnice Exponenciální a logaritmické rovnice