Přednáška 2

Laueho difrakční funkce: kde Absolutní hodnota prvních dvou součinitelů je rovna jedné. Nás zajímá intenzita t.j. druhá mocnina tohoto výrazu: Funkce má maxima v bodech pro které platí:

... zelená ... žlutá ... červená

... zelená ... žlutá ... červená

... zelená ... žlutá ... červená

... zelená ... žlutá ... červená

Hlavní maxima v bodech: Vyjádříme-li difrakční vektor v duální (reciproké bázi): i,j,k cyklicky změní se podmínka pro hlavní maxima na podmínku, že difrakční vektor musí být celočíselnou kombinací vektorů reciproké báze. Množina všech difrakčních vektorů pak tvoří pravidelnou mříž v tomto prostoru.

Každému bodu reciproké mřížky tedy připadá jeden možný difrakční bod Každému bodu reciproké mřížky tedy připadá jeden možný difrakční bod. Difrakční intenzitu obvykle znázorňujeme kolečkem mající velikost či barvu v jisté relaci s intenzitou difraktovaného záření. Pak se můžeme snažit najít z takovýchto schemat první odhad symetrie reciproké mřížky.

Polohy atomů vyjadřujeme většinou vzhledem k základní buňce Polohy atomů vyjadřujeme většinou vzhledem k základní buňce. Při tomto popisu snadno generujeme polohy translačně združených atomů. Co se stane zvolíme-li trojici vektorů báze jiným, ale ekvivalentním způsobem? Uvažujeme pouze takové transformace, které nemění základní translační symetrii. Maticově: Konvence: vektory přímé mříže a difrakční indexy píšeme jako řádky, naopak vektory reciproké a frakční souřadnice jako sloupcové vektrory.

Pro praktické zadávání matic je tato konvence trochu nehodná Pro praktické zadávání matic je tato konvence trochu nehodná. Proto v našem programu Jana2006 píšeme jednotlivé výrazy pro transformace:

Všechny prvky matice musejí být celá čísla a determinant musí být proto celočíselný. To však musí platit i pro inverzní transformaci: a tedy determinat matice musí být roven +1. Záporný determinat -1 je nepřípustný, protože by měnil systém původně pravotočivý za levotočivý. To však vede i novým frakčním souřadnicím: To znamená, že frakční souřadnice se transformují inverzní maticí. Avšak frakční souřadnice jsou vyjádřeny sloupkovým vektorem a násobí se zleva:

Jak se změní reciproké vektory? Vyjdeme z definice: To tedy znamená, že reciproké vektory se transformují stejně jako frakční souřadnice. Podobně lze ukázat, že souřadnice v reciprokém prostoru se transformují stejně jako vektory přímé báze. Domácí ůkol číslo 1.

Jak počítat geometrické charakteristiky struktury z frakčních souřadnic? Převést frakční souřadnice do kartézských. Obvykle volíme kartézské souřadnice tak, aby kde Domácí úkol č.2 - Pokusit se odvodit trojúhelníkovou matici Použít metrický tensor: Vzdálenost je odmocnina ze skalárního součinu rozdílového vektoru se sebou samým:

Metrický tenzor: Vztah mezi metrickým tenzorem a transformační maticí:

 existence třídimenzionální mříže definované vektory báze: Operace symetrie   Základní vlastnost třídimenzionálního krystalu – translační symetrie:  existence třídimenzionální mříže definované vektory báze: Jakákoliv jiná kombinace, která nemění objem základní buňky definuje tutéž mřížku. Pro identifikaci je nutná zavést jistou konvenci  redukovaná jinak Niggliho buňka   Takové mřížkové parametry pak mohou sloužit jako základní identifikační znak

Podmínky, které musí splnit redukovaná buňka: Eisenstain G. (1851). J.Math., 41, 141-190. Gruber B. (1989). ActaCryst., A45, 123-131. Křivý I. & Gruber B. (1976). ActaCryst., A32, 297-298. Definice: Podmínka 1: Podmínka 2: jestliže pak Podmínka 3: jestliže pak Podmínka 4: buď platí nebo Podmínka 5: Podmínka 6:

Translační symetrie → rotační symetrie ?

Definice operace symetrie    základní vlastnost unitární operace maticová reprezentace Množina všech operací symetrie krystalu – prostorová grupa. Zvláštní postavení má podmnožina (podgrupa) všech translací - Tato podgrupa translací je tak zvanou normální podgrupou prostorové grupy: kde je libovolný prvek prostorové grupy

Faktorová grupa založená na normální podgrupě: S5T S2T S1T T S4T S3T     Levé třídy (kosety) pak mohou být chápany jako prvky nové, konečné groupy. K popisu pak stačí vzít z každé třídy jednoho zástupce.

Omezení možných rotačních částí operací symetrie krystalu Každou operaci symetrie lze vyjádřit v maticové formě: Toto vyjádření závisí na konkrétně použité bázi. Nejvýznamější je jednak vyjádření vzhledem k základním vektorům mříže a dále pak vyjádření vůči kartezskému systému.

Matice symetrie při přechodu z jedné báze do druhé se mění dle vztahu: Kde matice transformace je definována jako vztah vektorů bází: Skutečnost, že operace symetrie má zachovávat vzdálenost, znamená, že musí být vlastní či nevlastní rotací a že lze tedy najít kartezský souřadný systém, ve bude mít tvar:

Na druhou stranu maticový tvar vyjádřený vzhledem k bázi definované vektrory mříže musí být celočíselná, aby byla v souladu s translační symetrií.   Dva základní invariaty (determinant a stopa matice) operací symetrie nám pomohou při identifikaci a omezení možných rotací slučitelných s translační symetrií: Determinant: Stopa matice:

Z předchozího plyne: To znamená, že jsou přípustné jen n-četné rotační osy pro n=1,2,3,4 a 6 případně jejich kombinace s prostorovou inverzí. Tyto dva invarianty mohou také sloužit ke snadné identifikaci operací symetrie Příklad – dojčetná osa Monoklinní - monoklinní podél b

tetragonální hexagonální hexagonální

Omezení trnaslačních částí operace symetie kde n je řád operace to znamená: ale to tedy musí být prvek translační podgrupy a proto: Toto je podmínka, která omezuje přípustné translační vektory. Neurčuje je však úplně jednoznačně. Části závislé na volbě počátku zůstavají volné.

Operátor: je projekčním operátorem:

Důkaz: Operátor X promítá libovolný vektor do invariantního podprostoru daného operace symetrie: To umožňuje rozdělit translační část operátoru symetrie do dvou částí: Ta první část - „intrinsic“ vlastní – nezávisí na volbě počátku a má fyzikální interpretaci – určuje podmínky vyhasínání reflexí.

Příklady   a) dvojčetná osa podél osy a3, primitivní buňka Aplikace předchozího vztahu: Z toho vyplývá, že dvojčetná osa existuje buď sama o sobě nebo jako dvojčetná šroubová osa.

Aplikace předchozího vztahu: Pro rovinu symetrie máme tedy tyto možnosti: obyčejná rovina kluzná rovina - a kluzná rovina - b kluzná rovina - n