1.přednáška úvod do matematiky BRVKA 1.přednáška úvod do matematiky Bernard Bolzano (1781-1848)

BRVKA symbolika Zde najdete seznam používaných symbolů a jejich čtení:

BRVKA množiny Množina je soubor prvků dané vlastnosti, většinou se zapisuje: , kde je ve složené závorce buď výčet prvků nebo jejich charakteristická vlastnost: O každém prvku lze rozhodnout, zda do množiny patří, zapisujeme nebo nepatří Pokud množina žádné prvky nemá, je prázdná Množina M může být podmnožinou jiné množiny L, pokud všechny prvky z M patří i do L. Platí:

BRVKA Množinové operace U Základní množina U je rozdělena na 4 pole, která jsou očíslována I, II, III, IV. A B II I III A \ B B \ A IV Pole I = množina všech prvků U, které patří do A a zároveň nepatří do B. Rozdíl množin A a B, v tomto pořadí neboli A mínus B – značení A \ B Pole II = množina všech prvků U, které patří do A a zároveň do B. Průnik množin A a B, – značení Pole III = množina všech prvků U, které patří do B a zároveň nepatří do A. Rozdíl množin B a A, v tomto pořadí neboli B mínus A – značení B \ A Pole IV = množina prvků U, které nepatří do A ani do B – doplněk Pole I+II+III = množina všech prvků U, které patří do A nebo do B sjednocení množin A a B – značení

Číselné obory – STRUČNÝ přehled BRVKA Číselné obory – STRUČNÝ přehled Přirozená čísla N vyjadřují počty prvků konečných množin, počty nedělitelných objektů. Někdy k množině N přidáváme nulu: Celá čísla Z obsahují nulu, přirozená čísla a čísla k nim opačná: Racionální čísla Q jsou všechna čísla, která lze zapsat ve tvaru zlomku … kde p je číslo celé a q je číslo přirozené. Reálná čísla R vyjadřují délky křivek, plochy obrazců, objemy těles a hodnoty reálných funkcí. Komplexní čísla C jsou složena z reálné a imaginární části.

Vlastnosti Číselných oborů BRVKA Vlastnosti Číselných oborů To znamená, že každé celé číslo je zároveň i číslem reálným, ale obráceně to neplatí, např. číslo π je reálné, ale není celé. Reálná čísla, která nejsou racionální se nazývají iracionální. UZAVŘENOST číselné množiny vzhledem k operaci Pokud provedeme číselnou operaci se dvěma čísly z nějaké číselné množiny, je výsledek operace z téže množiny. N je uzavřená vzhledem ke sčítání a násobení, ale není uzavřená vzhledem k odčítání ani dělení. Z je uzavřená vzhledem ke sčítání, násobení a odčítání, ale ne vzhledem k dělení. Q, R, C jsou uzavřené vzhledem ke všem operacím. Pozn.: nulou se dělit nedá!

Vlastnosti číselných oborů BRVKA Vlastnosti číselných oborů KOMUTATIVNOST operace Při provádění početní operace nezáleží na pořadí čísel. sčítání a násobení jsou komutativní odčítání a dělení nejsou komutativní Symbolický zápis: ASOCIATIVNOST operace Při provádění početní operace se třemi čísly můžeme libovolně „přezávorkovat“, nezáleží na pořadí provedení. sčítání a násobení jsou asociativní odčítání a dělení nejsou asociativní Symbolický zápis:

Vlastnosti číselných oborů BRVKA Vlastnosti číselných oborů EXISTENCE NEUTRÁLNÍHO PRVKU Pro neutrální prvek platí: Pozn.: Hvězdička zastupuje nějakou operaci. Sčítání má neutrální prvek číslo 0 (od Z dále) Násobení má neutrální prvek číslo 1 (všechny obory) Odčítání a dělení neutrální prvky nemají. Pomocí neutrální prvku definujeme INVERZNÍ PRVKY: OPAČNÉ ČÍSLO PŘEVRÁCENOU HODNOTU Pokud to v dané číselné množině lze. DISTRIBUTIVNOST NÁSOBENÍ vzhledem ke SČÍTÁNÍ Platí „roznásobení závorek“

uspořádání OSTRÉ NEOSTRÉ Pro ostré uspořádání platí: BRVKA uspořádání OSTRÉ NEOSTRÉ Pro ostré uspořádání platí: TRICHOTOMIE – pro platí právě jedna z možností: TRANZITIVITA – Podle uspořádání s číslem 0 se reálné číslo x nazývá: kladné záporné nezáporné nekladné

Absolutní hodnota Absolutní hodnota je: Platí: BRVKA Absolutní hodnota Absolutní hodnota je: Platí: Trojúhelníková nerovnost GEOMETRICKÝ VÝZNAM absolutní hodnoty je vzdálenost od nuly na číselné ose.

Podmnožiny reálných čísel BRVKA Podmnožiny reálných čísel INTERVALY jsou podmnožiny R s krajními body a,b: otevřený uzavřený polouzavřený polootevřený Body intervalu, které nejsou krajní, nazýváme vnitřní. OKOLÍ BODU a z R o poloměru r > 0 je definováno: PRSTENCOVÉ OKOLÍ BODU a z R o poloměru r > 0 je:

Nevlastní čísla ROZŠÍŘENÁ MNOŽINA REÁLNÝCH ČÍSEL je BRVKA Nevlastní čísla ROZŠÍŘENÁ MNOŽINA REÁLNÝCH ČÍSEL je … k R jsme přidali „nekonečna“ Platí: Počítání s ∞: Neurčité výrazy, nelze u nich určit hodnotu, nejsou definovány:

Úlohy k procvičování Množiny a číselné obory BRVKA Úlohy k procvičování Jsou dány čtyři podmnožiny množiny přirozených čísel N. Proveďte jejich průniky, sjednocení, oboustranné rozdíly a doplňky do základní množiny. Jsou dány tři podmnožiny množiny reálných čísel R. Zakreslete je číselnou osu. Proveďte jejich průniky, sjednocení, oboustranné rozdíly a doplňky do základní množiny. Jdou dána okolí bodů, zakreslete je na číselnou osu, zapište pomocí sjednocení intervalů a množinovým zápisem a najděte jejich doplňky. Množiny a číselné obory

Mocniny a odmocniny Mocnina ar je součin r stejných činitelů. BRVKA Mocniny a odmocniny Mocnina ar je součin r stejných činitelů. a je základ mocniny, r je exponent (mocnitel) Pravidla pro počítání s mocninami: Výraz 00 není definován. n-tá odmocnina: a je základ odmocniny, n je odmocnitel Místo pravidel pro odmocniny uvedeme vztah, jak odmocninu převést na mocninu.

Úlohy k procvičování Mocniny a odmocniny BRVKA Úlohy k procvičování Následující výrazy zjednodušte: Mocniny a odmocniny

mnohočleny Výraz P(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a2x2 + a1x + a0, BRVKA mnohočleny Výraz P(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a2x2 + a1x + a0, kde nazýváme polynom (mnohočlen) n-tého stupně an, an-1,…se nazývají koeficienty, a0 je absolutní člen Sčítání (odčítání) polynomů a násobení reálným číslem provádíme člen po členu: Násobení polynomů mezi sebou provádíme systémem „každý s každým“. Každý člen jednoho polynomu násobíme s každým členem druhého polynomu a vše sečteme. Vytýkání před závorku (opačný proces k násobení číslem) – každý člen vydělíme vytýkaným číslem, které napíšeme před závorku:

Vzorce pro mnohočleny BRVKA Umocňování polynomů – buď podle definice mocniny nebo rychleji podle vzorce: Nejdůležitější akcí je (kromě předchozím operací) rozklad na součin, a to buď vytýkáním nebo podle vzorce. Kromě vzorců pro umocňování použitých v obráceném směru používáme vzorec: Usměrňování, zbavení se odmocniny ve jmenovateli: Další vzorce pro rozklad:

Úlohy k procvičování mnohočleny Upravte, zjednodušte: BRVKA Úlohy k procvičování Upravte, zjednodušte: Rozložte na součin: a další tisíce podobných v jakékoliv sbírce mnohočleny

BRVKA Jsou výrazy složené ze zlomků, kde se v čitateli i jmenovateli vyskytují polynomy různého stupně, cílem pak je celý výraz zjednodušit. Součástí úprav je i určení podmínek, za kterých má výraz smysl. Příklad č.1 – vzorové řešení Upravte výraz a určete podmínky existence výrazu 19

Příklad č. 2 – vzorové řešení Upravte výraz a určete podmínky BRVKA Příklad č. 2 – vzorové řešení Upravte výraz a určete podmínky 20

Úlohy k procvičování Lomené výrazy BRVKA Úlohy k procvičování Upravte lomené výrazy, určete podmínky existence. a k tomu další a další v jakékoliv sbírce pro SŠ. Lomené výrazy

rovnice BRVKA Jsou různých typů a cílem je nalézt proměnnou – kořen rovnice, po jejímž dosazení nastane rovnost výrazů. Algebraické – na obou stranách jsou polynomy Nealgebraické – s goniometrickými funkce, logaritmy …. Při hledání řešení využíváme úpravy rovnic, buď ekvivalentní (které nezmění počet řešení) nebo neekvivalentní (které řešení změnit mohou a jejichž použití vyžaduje zkoušku). Ekvivalentní: (1) výměna stran rovnice, (2) přičtení libovolného výrazu k oběma stranám, (3) vynásobení obou stran nenulovým výrazem Neekvivalentní např.: umocnění nebo odmocnění rovnice, logaritmování nebo odlogaritmování …..

Rovnice v součinovém tvaru BRVKA Rovnice v součinovém tvaru Velmi obvyklý tvar rovnice …. V(x) = 0, kde V(x) je nějaký výraz, který umíme rozložit na součin jednodušších výrazů…. V(x) = V1(x).V2(x).V3(x) Vyjdeme-li z toho, že součin se rovná nule právě tehdy, když je aspoň jeden z činitelů roven nule, získáme několik jednodušších rovnic: V1(x) = 0, V2(x) = 0, V3(x) = 0, …které umíme vyřešit. Řešení původní rovnice je potom sjednocením dílčích řešení.

BRVKA Kvadratická rovnice Každá kvadratická rovnice má diskriminant D, což je číslo, které mimo jiné určuje počet řešení: D < 0 – žádné řešení D = 0 – jedno řešení – dvojnásobný kořen D > 0 – dvě různá řešení Pro kvadratický trojčlen dále platí tzv. Viétovy vztahy: Kvadratický trojčlen lze rozložit na součin:

Úlohy k procvičování rovnice V oboru reálných čísel řešte rovnice: BRVKA Úlohy k procvičování V oboru reálných čísel řešte rovnice: rovnice

Úlohy k procvičování Rovnice v součinovém tvaru BRVKA Úlohy k procvičování V oboru reálných čísel řešte rovnice v součinovém tvaru: Z následujících výrazů vytkněte nejvyšší mocninu: Rovnice v součinovém tvaru Vytýkání nejvyšších mocnin

BRVKA A to je pro dnešek vše, děkuji za pozornost.