Výpočty přímé a nepřímé úměrnosti.

Poměr - opakování Pojem poměr nás provází celým životem a setkáváme se s ním prakticky každodenně. Vzpomeňme jen na pár ukázkách některé případy, v nichž se v běžném životě s poměrem (pojmem poměr, vyjádřením poměru) setkáváme. Tak například poměr ředění sirupů, postřiků, čisticích prostředků, oleje apod. Obrázky: vlastní foto Uveď další příklady užití poměru. Např. z oblasti sportu, …

Poměr - opakování Poměr porovnávaných údajů a,b zapisujeme a : b a čteme a ku b. 3:2 9:13 15:13 1:3 Poměr a : b můžeme zapsat ve tvaru zlomku: Číslo a>0 nazýváme první člen poměru. Číslo b>0 nazýváme druhý člen poměru.

Užití poměru 3:2 - změna v daném poměru Čím se oba zápisy liší, kromě úvodní zadané hodnoty, která byla v obou příkladech jiná? 400 1 400 1 V prvním příkladu jsme v daném poměru číslo zvětšovali, násobili jsme zadanou hodnotu poměrem zapsaným do zlomku tak, aby byl větší než jedna, tzn. čitatel byl větší než jmenovatel. Ve druhém příkladu jsme sice opět násobili zadanou hodnotu poměrem zapsaným do zlomku, ale tentokrát tak, aby byl menší než jedna, tzn. čitatel byl menší než jmenovatel. Výsledkem je pak zmenšení daného čísla v daném poměru. Z uvedeného pro nás tedy vyplývá závěr, že pokud násobíme dané číslo číslem větším než jedna, dané číslo zvětšujeme, a naopak pokud násobíme dané číslo číslem menším než jedna, pak dané číslo zmenšujeme!

Zvětšování čísla v daném poměru Zvětšit číslo v daném poměru znamená vynásobit toto číslo zlomkem vytvořeným z daného poměru tak, aby byl větší než jedna. To znamená v čitateli větší část poměru a ve jmenovateli část menší. Příklad: Zvětšete číslo 24 v poměru 4:3. 8 1 Zvětšit číslo 24 v poměru 4:3 tedy znamená vynásobit číslo 24 zlomkem 4/3, tj. určit 4/3 z čísla 24. Je-li daný poměr větší než jedna, nastane při změně v daném poměru zvětšení!

Zmenšování čísla v daném poměru Zmenšit číslo v daném poměru znamená vynásobit toto číslo zlomkem vytvořeným z daného poměru tak, aby byl menší než jedna. To znamená v čitateli menší část poměru a ve jmenovateli část větší. Příklad: Zmenšete číslo 24 v poměru 3:4. 6 1 Zmenšit číslo 24 v poměru 3:4 tedy znamená vynásobit číslo 24 zlomkem 3/4, tj. určit 3/4 z čísla 24. Je-li daný poměr menší než jedna, nastane při změně v daném poměru zmenšení!

Přímá úměrnost (úměra) - opakování Počet rohlíků (kusů): 1 2 3 4 5 6 7 8 Cena rohlíků (Kč): 10 12 14 16 Příklad: Kolik korun bude stát nákup 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 rohlíků, stojí-li jeden rohlík 2,- Kč? Kolikrát se zvětší (zmenší) jedna veličina, tolikrát se zvětší (zmenší) druhá veličina. V jakém poměru se zvětší (zmenší) jedna veličina, v takovém poměru se zvětší (zmenší) druhá veličina. Takový vztah mezi dvěma veličinami se nazývá přímá úměrnost. Říkáme, že veličiny jsou přímo úměrné.

Přímá úměrnost (úměra) - opakování Počet rohlíků (kusů): 1 2 3 4 5 6 7 8 Cena rohlíků (Kč): 10 12 14 16 Závěr, který pro nás ze všech našich zjištění vyplývá: Kolikrát se zvětší (zmenší) jedna veličina, tolikrát se zvětší (zmenší) druhá veličina. V jakém poměru se zvětší (zmenší) jedna veličina, v takovém poměru se zvětší (zmenší) druhá veličina. Takový vztah mezi dvěma veličinami se nazývá přímá úměrnost. Říkáme, že veličiny jsou přímo úměrné.

Výpočet přímé úměrnosti (úměry) Počet rohlíků (kusů): 1 2 3 4 5 6 7 8 Cena rohlíků (Kč): 10 12 14 16 V jakém poměru se zvětší (zmenší) jedna veličina, v takovém poměru se zvětší (zmenší) druhá veličina. Z uvedeného tedy plyne, že pokud bychom neznali cenu 6 rohlíků, ale znali cenu 2 rohlíků, mohli bychom tuto určit zvětšením dané ceny v poměru počtu rohlíků.

Výpočet přímé úměrnosti (úměry) Počet rohlíků (kusů): 1 2 3 4 5 6 7 8 Cena rohlíků (Kč): 10 12 14 16 Více rohlíků ... x … znamená vyšší cenu ... V jakém poměru se zvětší (zmenší) jedna veličina, v takovém poměru se zvětší (zmenší) druhá veličina. … a tak budeme číslo 4 zvětšovat v poměru nárůstu počtu rohlíků. Zvětšování znamená násobení daného čísla poměrem zapsaným do zlomku tak, aby byl větší než jedna, tzn. čitatel byl větší než jmenovatel.

Výpočet přímé úměrnosti (úměry) Počet rohlíků (kusů): 1 2 3 4 5 6 7 8 Cena rohlíků (Kč): 10 12 14 16 Méně rohlíků ... x … znamená menší cenu ... V jakém poměru se zvětší (zmenší) jedna veličina, v takovém poměru se zvětší (zmenší) druhá veličina. … a tak budeme číslo 10 zmenšovat v poměru snížení počtu rohlíků. Zmenšování znamená násobení daného čísla poměrem zapsaným do zlomku tak, aby byl menší než jedna, tzn. čitatel byl menší než jmenovatel.

Nepřímá úměrnost (úměra) - opakování Počet psů: 1 2 3 5 6 10 15 30 Počet dnů: Příklad: Chovatel psů má tři desetikilogramové balíky granulí. Vypočítejte, na jak dlouho mu tato zásoba potravy vydrží pro 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 psů, předpokládáme-li, že jeden pes sežere denně průměrně 1 kg granulí. Kolikrát se zvětší (zmenší) jedna veličina, tolikrát se zmenší (zvětší) druhá veličina. V jakém poměru se zvětší (zmenší) jedna veličina, v takovém poměru se zmenší (zvětší) druhá veličina. Takový vztah mezi dvěma veličinami se nazývá nepřímá úměrnost. Říkáme, že veličiny jsou nepřímo úměrné.

Výpočet nepřímé úměrnosti (úměry) Počet psů: 1 2 3 5 6 10 15 30 Počet dnů: Více psů ... x … znamená méně dnů, na které zbývá krmivo ... V jakém poměru se zvětší (zmenší) jedna veličina, v takovém poměru se zmenší (zvětší) druhá veličina. … a tak budeme číslo 15 zmenšovat v poměru nárůstu počtu psů. Zmenšování znamená násobení daného čísla poměrem zapsaným do zlomku tak, aby byl menší než jedna, tzn. čitatel byl menší než jmenovatel.

Výpočet nepřímé úměrnosti (úměry) Počet psů: 1 2 3 5 6 10 15 30 Počet dnů: Méně psů ... x … znamená více dnů, na které zbývá krmivo ... V jakém poměru se zvětší (zmenší) jedna veličina, v takovém poměru se zmenší (zvětší) druhá veličina. … a tak budeme číslo 5 zvětšovat v poměru snížení počtu psů. Zvětšování znamená násobení daného čísla poměrem zapsaným do zlomku tak, aby byl větší než jedna, tzn. čitatel byl větší než jmenovatel.

Zápis zadání výpočtu úměrnosti Použijeme část našeho příkladu se psy: Šesti psům by vydržela zásoba krmiva na pět dní. Na kolik dní by vydržela psům dvěma? Počet psů: 1 2 3 5 6 10 15 30 Počet dnů: x 6 psů …………… 5 dní 2 psi ……………. x dní Stejné veličiny zapisujeme vždy pod sebe. Nejsou-li, převedeme je i na stejné jednotky.

Postup výpočtu úměrnosti Použijeme část našeho příkladu se psy: Šesti psům by vydržela zásoba krmiva na pět dní. Na kolik dní by vydržela psům dvěma? Počet psů: 1 2 3 5 6 10 15 30 Počet dnů: x 6 psů …………… 5 dní 2 psi ……………. x dní „Sloupeček“ s neznámou zapíšeme ve tvaru ... … dále následuje znaménko násobení a zvětšení či zmenšení dle druhého sloupečku dané úměrnosti. V tomto případě logicky zvětšení.

Závěr Základem řešení všech příkladů na úměrnosti je logická úvaha, zda se neznámá hodnota jedné z veličin bude počítat zvětšováním či zmenšováním dané hodnoty této veličiny pomocí poměru daného hodnotami veličiny druhé!

Příklady k procvičení Která veličina a jak se bude měnit? Šest strojů vyrobí za směnu 360 součástek. Kolik součástek by za směnu vyrobilo 15 takových strojů?

6 strojů ………………. 360 součátek 15 strojů ……………….…. x součátek Příklady k procvičení Která veličina a jak se bude měnit? Šest strojů vyrobí za směnu 360 součástek. Kolik součástek by za směnu vyrobilo 15 takových strojů? 6 strojů ………………. 360 součátek 15 strojů ……………….…. x součátek Bude se zvětšovat počet součástek, neboť více strojů vyrobí za stejnou dobu více součástek.

Příklady k procvičení Která veličina a jak se bude měnit? Tři stejná čerpadla vyprázdní nádrž za 7,5 hodiny. Za jak dlouho by vyprázdnilo tuto nádrž 5 stejně výkonných čerpadel?

3 čerpadla ………………. 7,5 hodiny 5 čerpadel …………….….…. x hodin Příklady k procvičení Která veličina a jak se bude měnit? Tři stejná čerpadla vyprázdní nádrž za 7,5 hodiny. Za jak dlouho by vyprázdnilo tuto nádrž 5 stejně výkonných čerpadel? 3 čerpadla ………………. 7,5 hodiny 5 čerpadel …………….….…. x hodin Bude se zmenšovat počet hodin, neboť více čerpadel vyprázdní stejnou nádrž (vyčerpá stejné množství vody) za kratší dobu.

Příklady k procvičení Vymysli a zapiš další příklady přímé či nepřímé úměrnosti a urči u nich, které veličiny a jak se budou měnit?