Lineární rovnice Kvadratické rovnice Soustavy rovnic Autoři: Mgr. Marie Zahrádková, Mgr. Renata Žárská Projekt „EUROgymnázia“

Úvod Prezentace je určena žákům, kteří preferují optické vnímání učiva, kteří rádi pracují u PC doma a učí se. Také slouží vyučujícím pro zjednodušení výkladu či skupinové (samostatné) práci ve vyučování.

Obsah Lineární rovnice – úpravy, řešení Lineární rovnice s absolutní hodnotou Rovnice v součinovém tvaru Rovnice v podílovém tvaru Soustava dvou rovnic se dvěma neznámými Soustava tří rovnic se třemi neznámými Kvadratické rovnice – řešení obecné rovnice, ryze kvadratické, bez absolutního členu Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Soustava kvadratické a lineární rovnice Kvadratické rovnice s absolutní hodnotou Iracionální rovnice

LINEÁRNÍ ROVNICE V SOUČINOVÉM TVARU SOUSTAVA DVOU ROVNIC SE DVĚMA NEZNÁMÝMI V PODÍLOVÉM TVARU LINEÁRNÍ ROVNICE ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNICE ROVNICE ŘEŠENÉ SUBSTITUCÍ

Řešení lineárních rovnic Definiční obor rovnice (případné podmínky řešení) Ekvivalentní úpravy řešení rovnice Zápis řešení Zkouška rovnice

Ekvivalentní úpravy rovnic Přičtení a odečtení reálného čísla (výrazu s neznámou Vynásobení reálnými čísly vyjma nuly (výrazem s neznámou) Vydělení reálnými čísly vyjma nuly (výrazem s neznámou)

Příklady táhnou => => Řeš v R Definiční obor je jednoduchý – za x mohu dosazovat jakékoliv reálné číslo – D=R Levou i pravou stranu rovnice vynásobím třemi (každý člen rovnice) => K oběma stranám rovnice přičteme 63x => K oběma stranám rovnice přičteme 10 Celou rovnici vydělíme 64 Výsledek zapíšeme

Zkouška Srovnáme výpočet zvlášť pro levou a pravou stranu rovnice a porovnáme výsledky L = P

L = P Příklad 2 / *3*(x-2) Řeš v R Do prvního ani do druhého zlomku nemůžu dosadit 2, protože ve jmenovateli by byla 0. / nebo *3*(x-2) Nebo napíšu podmínku Volím podle zadání, nebo přání vyučujícího. Zkouška L = P

Příklad 3 /*24 6-x-(x+1)=2*(3-x)-5 6-x-x-1=6-2x-5 5-2x=1-2x /+2x 0x=-4 Řeš v R Nějak mnoho jmenovatelů, tak si nejdříve upravíme složené zlomky! Vidíme D ihned D=R a zase ekvivalentní úpravy /*24 6-x-(x+1)=2*(3-x)-5 6-x-x-1=6-2x-5 Na levé straně rovnice bude vždy 0, na pravé vždy -4. Neexistuje x, které by vyhovovalo rovnosti 5-2x=1-2x /+2x 0x=-4 K=Ø (K={ })

Příklad 4 (5x+8)(3x+10)=(4x+9)2-(x-1)2 Řeš v R Na první pohled to přece není lineární rovnice, ale vzorečky známe – co když je tam ukrytá? (5x+8)(3x+10)=(4x+9)2-(x-1)2 15x2+50x+24x+80=16x2+72x+81-(x2-2x+1) 15x2+74x=15x2+74x+80 / -15x2 74x+80=74x+80 / -74x A už máme lineární rovnici! 0x=0 Na levé straně máme vždy 0, ať dosadíme jakékoliv reálné číslo. Na pravé straně je také 0. K=R

Jaké řešení lineární rovnice může vyjít? 1. Jediné řešení příklady 1 a 2; x=2 => K={2} 2. Nemá žádné řešení příklad 3; 0x=-4 => K={ } 3. Nekonečně mnoho řešení příklad 4; 0x=0 => K=R ? A JAK TO VYPADÁ GRAFICKY ?

Grafické řešení rovnice s jednou neznámou Výraz na každé straně rovnice představuje přímku (y=ax+b), kterou narýsujeme pomocí dvou bodů. 4 7 2 1 1 2 3 -1 2 3 1 3 Přímky splývají, mají mnoho společných bodů => nekonečně mnoho řešení Přímky se protnou, rovnice má jediné řešení x=3 Přímky jsou rovnoběžné rovnice nemá žádné řešení Vyřešte rovnice i algebraicky

Lineární rovnice s absolutní hodnotou Rovnici řešíme buď: ► pomocí definice X≥0 │x│=x X<0 │x│=-x ► geometrickou interpretací vzdálenosti dvou bodů (│a-b │=│b-a│) ► pomocí nulových bodů absolutní hodnoty (│x-a │ x-a=0 => x=a a je nulový bod)

Příklad K1=0 K2= 2 │x-1 │- 3 = 5x a můžeme řešit a řešíme Celkové řešení

Stejný příklad můžeme řešit i pomocí nulového bodu 2 │x-1 │- 3 = 5x x-1=0 x=1 nulový bod patří do intervalu nepatří do intervalu K2=0 K1= K=

Pomocí vzdálenosti bodů tento příklad není vhodné řešit ALE: Vzdálenost bodu X od jedničky je 4 1 + 4 1 - 4 -3 1 5

Rovnice v součinovém tvaru Tj. tvar rovnice, kde na jedné straně rovnice se vyskytuje součin výroků a na druhé straně 0. Součin je roven 0, jestliže alespoň jeden z činitelů je roven 0. Tento tvar rovnice nám umožňuje řešit i rovnice vyšších stupňů už teď, kdy umíme řešit jen lineární.

Rovnice v součinovém tvaru (x-2)(x+3)=0

Rovnice v součinovém tvaru Rovnice třetího stupně může mít nejvýše 3 kořeny x+1=0 x1=-1 x+2=0 x2=-2 x-2=0 x3=2 V V K={-2,-1,2}

Rovnice v podílovém tvaru Tj, tvar rovnice, kde na jedné straně rovnice se vyskytuje podíl výrazů a na druhé straně 0. Podíl je roven 0 právě když je čitatel zlomku roven 0.

Rovnice v podílovém tvaru D=R\{-1} x-2=0 x=2 K= {2}

Rovnice v podílovém tvaru D=R\{4} (2x-1)(x+3)=0 Součinový tvar x+3=0 x2=-3 2x-1=0

Rovnice v podílovém tvaru 1) Řešení algebraické a) Sčítací metoda Z 1. rovnice vyjádříme y 2x-y=1 x-2y=-7 /*(-2) y=2x-1 y=2*3-1 y=5 -4x+2y=-2 x-2y=-7 sečteme -3x=-9 x=3 Soustava má jedno řešení – uspořádanou dvojici [x,y] K= {[3,5]}

Soustava dvou rovnic o dvou neznámých 1) Řešení algebraické b) Dosazovací metoda Do druhé rovnice dosadíme x-y=2 3y-3x-2 3(x-2)=3x-2 3x-6=3x-2 0x=4 Soustava nemá řešení Z první rovnice vyjádříme y y=x-2 K=0

1) Řešení algebraické Z obou rovnic vyjádříme y c) srovnávací metoda Využijeme vztahu y=y Soustava má nekonečně mnoho řešení. Řešení je ve tvaru uspořádaných dvojic.

[x,y] Řešení grafické f g -1 Každou rovnici vyjádříme ve tvaru funkce: Přímky se protínají. Soustava má jediné řešení. Viz algebraické řešení. g [x,y] -1

x-y=2 3y=3x-2 g f Přímky jsou rovnoběžné. Nemají nic společného. Soustava nemá řešení. -2

Řešením jsou dvojice [x,y] f g Přímky splývají. Mají nekonečně mnoho společných bodů Soustava nemá nekonečně mnoho řešení. Řešením jsou dvojice [x,y]

KVADRATICKÁ ROVNICE VZTAHY MEZI KOŘENY A KOEFICIENTY KVADRATICKÉ ROVNICE ŘEŠENÉ SUBSTITUCÍ KVADRATICKÁ ROVNICE KVADRATICKÉ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU SOUSTAVA KVADRATICKÉ A LINEÁRNÍ ROVNICE

KVADRATICKÉ ROVNICE je vyjádřena tvarem ax2+bx+c=0, kde KVADRATICKÝ ČLEN LINEÁRNÍ ČLEN ABSOLUTNÍ ČLEN Čísla a, b,c se nazývají koeficienty kvadratické rovnice

Typy kvadratických rovnic ► obecná kvadratická rovnice ax2+bx+c=0 ► kvadratická rovnice bez absolutního členu ax2+bx+c=0 ► ryze kvadratická rovnice ax2+c=0

Obecná kvadratická rovnice Řešíme pomocí vzorce

Obecná kvadratická rovnice Příklad 1 K={2,⅔}

Obecná kvadratická rovnice Příklad 2 K=0

Obecná kvadratická rovnice Příklad 3 řešením je dvojnásobný kořen

Kvadratická rovnice bez absolutního členu Řešíme vytýkáním Příklad: 3x2+5x=0 x(3x+5)=0 x1=0 x2=

Ryze kvadratická rovnice Řešíme pomocí vzorečku a2-b2=0 Příklad 1:

Ryze kvadratická rovnice Řešíme pomocí vzorečku a2-b2=0 Příklad 2:

Ryze kvadratická rovnice Řešíme pomocí vzorečku a2-b2=0 Příklad 3: Nemá řešení

Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice x2+px+q=0 platí 2 vztahy (Viètovy) Využití najdeme v příkladech Aniž rovnici řešíte určete druhý kořen rovnice x2-9x-2142=0 Je-li x1=52 x1+x2=9 51+x2=9 x2=9-51=-42

Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Pro kvadratickou rovnici ax2+bx+c=0 platí obdobné vztahy

Hledaná rovnice je 5x2+24x+45=0 Ukažme si to na příkladu Aniž rovnici 5x2+8x+5=0 řešíte sestavte kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou čísla třikrát větší než kořeny původní rovnice takže: rozšíříme 5 to platí pro původní rovnici, ale my hledáme koeficienty a,b,c upravíme: a=5 b=24 c=45 => dosadíme: Hledaná rovnice je 5x2+24x+45=0

Soustava kvadratické a lineární rovnice V analytické geometrii se často řeší soustavy rovnice kvadratické a lineární. soustava x2+y2=20 2x+y-6=0 znamená, že hledáme společné body kružnice a přímky

Řešení: x2+y2=20 2x+y-6=0 Z lineární (jednodušší) rovnice si vyjádříme třeba y=-2x+6 a do kvadratické dosadíme. x2+(-2x+6)2=20 ……. dostáváme kvadratickou rovnici s jednou neznámou x2+4x2-24x+36-20=0 5x2-24x+16=0 D=b2-4ac=242-4*5*16=256 společné body jsou: // geometrická interpretace Řešením soustavy je

Kvadratická rovnice s absolutní hodnotou Kvadratické rovnice s absolutní hodnotou můžeme řešit dvojím způsobem. Ukážeme si je na příkladech.

Kvadratická rovnice s absolutní hodnotou nulový bod je 1 rozdělíme definiční obor na dva intervaly v řešíme rovnici v řešíme rovnici x2+(-x+1)-1=0 x2-x=0 (x-1)x=0 x2+(x-1)-1=0 x2+x-2=0 (x+2)(x-1)=0 x2=0 x1=1 x2=1 x1=-2 oba kořeny leží v ani jeden z kořenů neleží v daném intervalu => =>

+ - + - ……………. ……………. ……………. součinový tvar rovnice a) součin je kladný v intervalech -3 ……………. b) - výraz je záporný v intervalu -3

Rovnice s neznámou pod odmocninou Iracionální rovnice Rovnice s neznámou pod odmocninou Iracionální rovnice řešíme umocněním rovnice, což je důsledková úprava (tzn, že by mohlo vyjít více kořenů, než ve skutečnosti je). Tento problém ošetříme: Dobře provedeným definičním oborem rovnice nebo b) Zkouškou

Příklad 1 Určení definičního oboru: „ druhá mocnina z nezáporného čísla je definována jako nezáporné číslo. 12

Příklad 2 POZOR! Musíme umocnit celou stranu rovnice vzoreček 42 2

Zkouška