CZECH SALES ACADEMY Trutnov – střední odborná škola s.r.o. EU PENÍZE ŠKOLÁM CZ.1.07/1.5.00/34.0011 VY_32_INOVACE_04_06 Funkce Zpracovala: RNDr. Lucie Cabicarová Datum: 4. únor 2013 Vzdělávací oblast: Všeobecně vzdělávací předměty Předmět: Matematika, Seminář z matematiky Ročníky: 1. a 4. ročník – denní forma vzdělávání 3. a 5. ročník – dálková forma vzdělávání VY_32_INOVACE_04_06

Materiál obsahuje přehled základních pojmů a metod řešení úloh: ANOTACE Materiál obsahuje přehled základních pojmů a metod řešení úloh: Funkce, její předpis, graf a vlastnosti Druhy funkcí (lineární, kvadratická, lineární lomená, exponenciální, logaritmická) Každý způsob výpočtu je doplněn vzorovým příkladem včetně výpočtu, případně zakresleného grafu. VY_32_INOVACE_04_06

POJEM FUNKCE Nechť A, B jsou neprázdné množiny reálných čísel. Přiřadíme-li každému číslu x  A právě jedno číslo y  B, dostaneme množinu f uspořádaných dvojic x;y reálných čísel, která se nazývá reálná funkce reálné proměnné x. x … proměnná (argument funkce) y = f(x) … funkční hodnota (hodnota funkce) v bodě x VY_32_INOVACE_04_06

URČENÍ FUNKCE Funkce může být určena: předpisem a definičním oborem tabulkou grafem Př. 1: Je dána funkce f: y = 3x + 1, x – 3; – 2; – 1; 0; 1; 2 Př. 2: Funkce g je dána tabulkou: x – 5 – 4 2 6 7 10 y 8 5 – 3 VY_32_INOVACE_04_06

URČENÍ FUNKCE Př. 3: Funkce h je dána grafem: VY_32_INOVACE_04_06

GRAF FUNKCE Kartézská soustava souřadnic (KSS) … dvě navzájem kolmé osy, protínají se v 0 (počátku), mají stejné měřítko. y II. kvadrant I. kvadrant 4 A 2; 4 x – 4 – 2 2 4 B – 4; – 3 – 4 III. kvadrant IV. kvadrant VY_32_INOVACE_04_06

VLASTNOSTI FUNKCE definiční obor funkce monotónnost funkce prostá funkce obor hodnot funkce omezenost funkce sudá a lichá funkce extrémy funkce VY_32_INOVACE_04_06

lineární lomená funkce DRUHY FUNKCÍ lineární funkce exponenciální funkce kvadratická funkce logaritmická funkce lineární lomená funkce goniometrická funkce VY_32_INOVACE_04_06

DEFINIČNÍ OBOR FUNKCE Množina všech proměnných x (pro která funkce existuje nebo je určena). Značka pro definiční obor … Df, D(f) Př.: Určete definiční obor funkce f: y = 2𝑥 −5 4 −2𝑥 4 – 2x  0 4  2x 2  x D(f) = R - 2 VY_32_INOVACE_04_06

OBOR HODNOT FUNKCE Množina všech hodnot y funkce (kterých funkce nabývá pro x z definičního oboru). Značka pro obor hodnot … Hf, H(f) Př.: Určete obor hodnot funkce f: y = 5 – x; x  0; 1; 2; 3 f(0) = 5 – 0 = 5 f(1) = 5 – 1 = 4 f(2) = 5 – 2 = 3 f(3) = 5 – 3 = 2 H(f) = 5; 4; 3; 2 VY_32_INOVACE_04_06

SUDÁ A LICHÁ FUNKCE Funkce je sudá, jestliže platí: pro x D(f) je – x  D(f) a f(– x) = f(x) Graf funkce je osově souměrný podle osy y. Př.: f: y = 5 – x2; g: y = 5 – x2; x  0; 1; 2; 3 VY_32_INOVACE_04_06

Funkce je lichá, jestliže platí: pro x D(f) je – x  D(f) a f(– x) = – f(x) Graf funkce je středově souměrný podle počátku. Př.: f: y = −5 𝑥 ; g: y = −5 𝑥 ; x  0; 1; 2; 3 VY_32_INOVACE_04_06

MONOTÓNNOST FUNKCE Funkce je rostoucí, jestliže platí: pro všechna x1,x2  D(f): x1  x2  f(x1)  f(x2) VY_32_INOVACE_04_06

Funkce je klesající, jestliže platí: pro všechna x1,x2  D(f): x1  x2  f(x1)  f(x2) VY_32_INOVACE_04_06

Funkce je konstantní, jestliže platí: pro všechna x1,x2  D(f): x1  x2  f(x1) = f(x2) VY_32_INOVACE_04_06

PROSTÁ FUNKCE Funkce je prostá, jestliže je v celém definičním oboru monotónní (stále rostoucí nebo stále klesající). ANO NE VY_32_INOVACE_04_06

OMEZENOST FUNKCE Funkce je omezená zdola, jestliže platí: pro všechna x  D(f) existuje číslo c tak, že f(x)  c VY_32_INOVACE_04_06

Funkce je omezená shora, jestliže platí: pro všechna x  D(f) existuje číslo h tak, že f(x)  h VY_32_INOVACE_04_06

Funkce je omezená, jestliže je omezená shora i zdola. VY_32_INOVACE_04_06

EXTRÉMY FUNKCE Funkce má v bodě x0 maximum, jestliže platí: pro všechna x  D(f) je f(x0)  f(x) ostré maximum … jedno jediné VY_32_INOVACE_04_06

Funkce má v bodě x0 minimum, jestliže platí: pro všechna x  D(f) je f(x0)  f(x) ostré minimum … jedno jediné VY_32_INOVACE_04_06

LINEÁRNÍ FUNKCE předpis … y = ax + b graf … přímka D(f) … R (pokud není stanoveno jinak) a  0 … rostoucí a  0 … klesající b … určuje posun po ose y speciální typ … přímá úměrnost (b = 0) VY_32_INOVACE_04_06

KVADRATICKÁ FUNKCE předpis … y = ax2 + bx + c graf … parabola D(f) … R (pokud není stanoveno jinak) a  0 … vrchol paraboly je minimum a  0 … vrchol paraboly je maximum VY_32_INOVACE_04_06

LINEÁRNÍ LOMENÁ FUNKCE předpis … y = 𝑎𝑥+𝑏 𝑐𝑥+𝑑 graf … hyperbola D(f) … R - − 𝒅 𝒄  𝒂 𝒄  0 … hyperbola v I. a III. kv. 𝒂 𝒄  0 … hyperbola v II. a IV. kv. speciální typ … nepřímá úměrnost (a, d = 0, c = 1) VY_32_INOVACE_04_06

EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE předpis … y = ax ; a  0, a  1 graf … exponenciála D(f) … R a  1 … rostoucí funkce 0  a  1 … klesající funkce VY_32_INOVACE_04_06

LOGARITMICKÁ FUNKCE předpis … y = logax ; a  0, a  1 graf … inverzní k exponenciále (osově souměrný podle osy I. a III. kvadrantu) D(f) … (0; ) a  1 … rostoucí funkce 0  a  1 … klesající funkce VY_32_INOVACE_04_06

GONIOMETRICKÁ FUNKCE y = sin x y = cos x y = tg x y = cotg x Goniometrické funkce budou probrány v kapitole Goniometrie. VY_32_INOVACE_04_06

Zdroje: Polák, Josef. Přehled středoškolské matematiky. 8. vyd. Praha: Prometheus, 2003. 608 s. ISBN 80-7196-267-8 Materiál je určen pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. cabicarova@sosptu.cz VY_32_INOVACE_04_06