36.1 Obvod a obsah kruhu Výpočet obvodu dortové formy. Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 36.1 Obvod a obsah kruhu Výpočet obvodu dortové formy. Kde se můžeme setkat s výpočtem obvodu kruhu? Páska na potažení kruhového bazénu. Délka pláště na kole. Kde se můžeme setkat s výpočtem obsahu kruhu? Lišta stolu ve tvaru kruhu. Průměr kruhového ubrusu. Obsah spasené trávy. Zavlažená rozloha půdy. Autor: Mgr. Marie Makovská

= množina všech bodů roviny, jejichž vzdálenost od bodu S je rovna r Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 36.2 Co už známe KRUŽNICE = množina všech bodů roviny, jejichž vzdálenost od bodu S je rovna r KRUH = množina všech bodů roviny, jejichž vzdálenost od bodu S je menší než r nebo se rovná r S r k B A M d S r K k N M A B d S - střed kružnice r - poloměr kružnice |AB| = d – průměr kružnice; d = 2.r M – bod kružnice k (S, r) = kružnice k se středem v bodě S a poloměrem r Při rýsování kružnice vždy nejprve vyznač její střed. S - střed kruhu r - poloměr kruhu |AB| = d - průměr kruhu; d = 2.r M, N - body kruhu, N vnitřní bod K (S, r) = kruh K se středem v bodě S a poloměrem r Kružnice k(S, r) ohraničuje kruh K(S, r).

36.3 Nový pojem – π – Ludolfovo číslo Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 36.3 Nový pojem – π – Ludolfovo číslo Výpočet délky kružnice (obvodu kruhu) nebo plochy kruhu není složitý, nicméně není ani absolutně přesný. Je to dáno Ludolfovým číslem (označujeme:  čteme: „pí“) , jež se při výpočtech vyskytuje ve vzorcích a jehož desetinný rozvoj je neukončený a neperiodický. Výpočty Ludolfova čísla začaly již více než před 6 000 lety a jeho upřesňování trvá dodnes. http://www.walter-fendt.de/m14cz/piberechnung_cz.htm Egypťané udávali hodnotu  3,1605, i oni přitom mohli  vypočítat daleko přesněji. Stačilo kutálet před sebou kolo a počítat celá jeho otočení. Když by bylo 100 celých otáček, stačilo změřit vzdálenost, kterou kolo urazilo, a dělit tuto vzdálenost průměrem kola. Výsledek by byl 314 a nějaké drobné. Pokud by toto měření provedli vícekrát a vzali střední průměr ze všech měření, dokázali by získat velmi přesnou hodnotu  na několik desetinných míst. Upřesnění této hodnoty tedy čekalo na Archiméda. Ten ji počítal pomocí mnohoúhelníků vepsaných a opsaných kružnici. Holandský matematik Ludolph van Ceulen (1540 − 1610) pomocí této metody spočítal  na 35 desetinných míst!!!! Však tomu věnoval téměř celý život. Po něm nese také  název Ludolfovo číslo. Ludolfovo číslo je tedy poměr délky a průměru kružnice. π = 𝒐 𝒅 http://ok1ike.c-a-v.com/soubory/ludolf.htm Při výpočtu budeme používat hodnotu 3,14.

36.4 Vzorce pro výpočet obvodu a obsahu kruhu Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 36.4 Vzorce pro výpočet obvodu a obsahu kruhu Obvod kruhu se vypočítá stejně jako délka kružnice. π = o d o = π .d d = 2. r o = 2 . π . r o = 2πr Obsah kruhu S = π𝑟.𝑟 S = π 𝒓 𝟐 S = π 𝑑 2 2 r = 𝑆 π r π r r d Příklad: Vypočítej délku kružnice, je-li její poloměr r = 5 cm. Příklad: Vypočítej obsah kruhu, jestliže poloměr r = 12 cm. r = 12 cm S = ? c 𝑚 2 r = 5 cm o = ? cm S =  𝑟 2 o = 2r S = 3,14 . 12 2 o = 2 . 3,14 . 5 S = 3,14 . 144 o = 10 . 3,14 S = 452,16 𝒄𝒎 𝟐 o = 31,4 cm Obsah kruhu je přibližně 452,16 𝑐𝑚 2 . Délka kružnice je přibližně 31,4 cm.

36.5 Příklady na procvičení (můžeš kliknout na řešení) Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 36.5 Příklady na procvičení (můžeš kliknout na řešení) Vypočítej obvod kruhu. Řešení: r 5 10 20 30 15 o 31,4 62,8 125,6 188,4 94,2 r 5 10 20 30 15 o Vypočítej délku kružnice, je-li její průměr d = 2,8 m. Řešení: d = 2,8 m o = ? m o =  d o = 3,14 . 2,8 o = 8,792 m Délka kružnice je přibližně 8,792 m. Vypočítej obvod kruhu v mm, je-li jeho průměr 3,7 cm. Řešení: d = 3,7 cm = 37 mm o = ? mm o =  d o = 3,14 . 37 o = 116,18 mm Délka kružnice je přibližně 116,18 mm.

36.5 Další příklady na procvičení (můžeš kliknout na řešení) Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika Elektronická učebnice - II. stupeň Zákadní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 36.5 Další příklady na procvičení (můžeš kliknout na řešení) Vypočítej obsah kruhové podložky s kruhovým výřezem. Poloměr podložky je 30 mm a výřezu 12 mm. Řešení: 𝑟 1 =30 𝑚𝑚 𝑟 2 =12 𝑚𝑚 S = ? S = 𝑆 1 − 𝑆 2 S = π 𝑟 1 2 - π 𝑟 2 2 S = π . 30 2 −π . 12 2 S = 2 375,04 𝒎𝒎 𝟐 Obsah kruhové podložky s kruhovým výřezem je 2 375,04 𝑚𝑚 2 . Vypočítej obsah vybarvené části (mezikruží). Řešení: 𝑑 1 =96 𝑐𝑚; 𝑟 1 =48 𝑐𝑚 𝑑 2 =62 𝑐𝑚; 𝑟 2 =31 𝑐𝑚 S = ? S = 𝑆 1 − 𝑆 2 S = π 𝑟 1 2 - π 𝑟 2 2 S = π . 48 2 −π . 31 2 S = 4 𝟐𝟏𝟗 ,𝟏𝟔 𝒄𝒎 𝟐 Obsah mezikruží 4 219,16 𝑐𝑚 2 .

36.7 CLIL –Circumference and area of a circle Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Mathematics 36.7 CLIL –Circumference and area of a circle kružnice - circle obsah - area obvod - circumference poloměr - radius průměr - diameter vzorec - formula The circumference of a circle for any circle with a diameter d the circumference C is found by using the formula C = πd For this circle: C = πd C = π x 8 C = 25.12 cm The area of a circle for any circle with radius r the area A is found using the formula A = π 𝒓 𝟐 For this circle: A = π 𝑟 2 A = π x 3 x 3 A = 28.26 𝒄𝒎 𝟐 Mathematical dictionary

36.8 TEST – Vlastnosti kruhu a kružnice Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 36.8 TEST – Vlastnosti kruhu a kružnice Jak říkáme při výpočtu obsahu kruhu písmenu r? rameno výška poloměr průměr Ludolfovo číslo je přibližně? 4, 13 3, 14 5, 13 6, 14 Obvod kruhu o poloměru r se rovná: a) 𝜋𝑟 2 b) πr2 c) 2πr d) Πr Vypočítej obsah kruhu, je-li jeho poloměr 35 cm. 38,5 cm 2 38,5 d m 2 38 465,5 cm 1 225 cm 2 Vypočítej obvod kruhu, je-li jeho poloměr 25 cm. 157 cm 157 d m 78,5 cm 1 962,5 cm 2 Vypočítej průměr kruhu, je-li jeho obvod 30 m. 38,5 m 9,55 m 15 m 900 m 2 Vypočítej poloměr kruhu, je-li jeho obsah 1256 dm2. 20 dm 40 dm 200 dm 400 dm Vypočítej obsah kruhu, je-li jeho obvod 31,4 cm. 314 cm 2 986 c m 2 78,5 cm 2 62,8 cm 2 Správné odpovědi: 1c 2b 3c 4b 5a 6b 7a 8c Test na známku

Elektronická učebnice - II Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 36.9 Použité zdroje, citace http://dum.rvp.cz/materialy/delka-kruznice-obvod-kruhu.html http://dum.rvp.cz/materialy/kruznice-a-kruh.html http://dum.rvp.cz/materialy/obsah-kruhu.html http://www.google.cz/imghp?hl=cs&tab=wi http://www.zsdobrichovice.cz/ukoly/matika/testy/testy.php?go=m7_30 http://www.bbc.co.uk/scotland/learning/bitesize/standard/maths_i/measure/circum_circle_rev1.shtml

36.10 Anotace Autor Mgr. Marie Makovská Období 07 – 12/2011 Ročník Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 36.10 Anotace Autor Mgr. Marie Makovská Období 07 – 12/2011 Ročník 8. ročník Klíčová slova Kruh, obvod, obsah, Ludolfovo číslo Anotace Prezentace popisující vyvození vzorce pro obvod a obsah kruhu a seznámení se s pojmem Ludolfovo číslo