PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.

Statistika statistické údaje o hromadných jevech činnost, která vede k získání statistických údajů a jejich zpracování teorie statistiky - věda o stavu, vztazích a vývoji hromadných jevů - popisná statistika - statistická indukce (matematická statistika) - statistická analýza

Základní statistické pojmy statistický soubor základní soubor výběrový soubor statistická jednotka statistický znak hodnoty statistického znaku - shodné : identifikační znak - proměnlivé (variabilní) = "proměnné"

Statistické proměnné  slovní = kategoriální (kvalitativní)  nominální  ordinální  alternativní  možné  číselné = numerické (kvantitativní)  metrické - kardinální  spojité  nespojité (diskrétní)

POPISNÁ (deskriptivní) STATISTIKA Zpracování hodnot numerické proměnné Numerická proměnná X nabývá obměn x1, x2, … , xn n = rozsah souboru (celkový počet jednotek) k = počet skupin (obměn) (i = 1, … k ) četnosti  absolutní  relativní

 kumulativní četnosti absolutní relativní

Tabulka jednorozměrného rozdělení četností Obměny znaku četnosti kumulativní četnosti absolutní relativní xi ni pi x1 n1 p1= n1 / n p1 x2 n2 p2 = n2 / n n1 + n2 p1 + p2 x3 n3 p3 = n3 / n n1+ n2 +n3 p1 + p2+p3  xk nk n 1  x

Příklad : soubor 30 domácností - sledovaný znak počet členů Obměny znaku četnosti kumulativní četnosti absolutní relativní xi ni pi 1 0,0333 2 8 0,2667 9 0,3000 3 18 0,6000 4 6 0,2000 24 0,8000 5 0,1667 29 0,9667 30 1,0000  x

GRAFY ROZDĚLENÍ ČETNOSTÍ  polygon (spojnicový graf)  histogram (sloupcový graf)  výsečový (koláčový) graf

Skupinové (intervalové) rozdělení četností vhodné pro velký počet variant velikost intervalu = šířka intervalu = délka intervalu  snaha volit intervaly stejné délky  střed intervalu celé číslo označení intervalů musí být jednoznačné určení počtu intervalů k  v závislosti na rozsahu souboru n Různá doporučení např. Sturgesovo pravidlo

Příklad : soubor 39 osob, sledovaný znak výška Příklad : soubor 39 osob, sledovaný znak výška Data: 156, 179, 149, 165, 168, 192, 184, 158, 189, 163, 176, ... k = k = 1+3,3.1,59 = 7,16 volíme počet intervalů: k = 6 rozsah hodnot 192-149=43 šíře intervalu 43:6 = 7,16 volíme šířku intervalu 10

Tabulka jednorozměrného rozdělení četností obměny znaku četnosti kumulativní četnosti absolutní relativní intervaly ni pi 150 1 0,0256 -160 2 0,0513 3 0,0767 -170 12 0,3077 15 0,3846 -180 18 0,4615 33 0,8461 -190 5 0,1282 38 0,9744 190 39 1,0000  x

Charakteristiky polohy charakterizují obecnou úroveň, na níž se pohybují numerické hodnoty statistického znaku ve statistickém souboru.  střední hodnoty  průměry aritmetický, harmonický, geometrický  medián  modus  kvantily  kvartily  decily  percentily

vážený aritmetický průměr prostý aritmetický průměr je definován jako součet hodnot jednotek souboru dělený jejich počtem používáme v případě netříděného souboru vážený aritmetický průměr používáme v případě souboru rozděleného do k skupin

Příklad : soubor 30 domácností - sledovaný znak počet členů Obměny znaku četnosti výpočty absolutní relativní xi ni pi 1 0,0333 2 8 0,2667 9 0,3000 3 18 0,6000 4 6 0,2000 24 0,8000 5 0,1667 29 9,9667 30 1,0000  99 3,3

Výpočet průměru ze skupinových četností jsou skupinové průměry (lze je nahradit středy intervalů) ni jsou skupinové četnosti výpočet pomocí skupinových průměrů Příklad : výpočet průměrné výšky skupiny 39 děvčat Inter. ni xi 150 1 149 145 -160 2 156,158 157 155 314 310 -170 12 163,168,165, 168 165 2016 1980 -180 18 179,173,176,. 174 175 3132 3150 -190 5 184,186, … 183 185 915 925 190 192 195  39 6718 6705 výpočet pomocí středů intervalů který výsledek je přesnější a proč?

Vlastnosti aritmetického průměru 1. Součet odchylek jednotlivých hodnot od průměru je roven 0. 2. Aritmetický průměr konstanty je roven této konstantě. Připočteme-li ke každé hodnotě xi tutéž konstantu, aritmetický průměr hodnot se zvýší o tuto konstantu Vynásobíme-li všechny hodnoty stejnou konstantou k, aritmetický průměr hodnot xi se zvýší k-krát 5. Aritmetický průměr se nezmění, vynásobíme-li všechny váhy ni stejnou konstantou k. 6. Je-li pak

výpočet průměrné rychlosti, Další průměry Harmonický výpočet průměrné rychlosti, výpočet průměrné pracnosti… Geometrický Průměrný koeficient růstu

Příklad: Výpočet průměrné rychlosti Auto jede vzdálenost 30 km. 10 km rychlostí 30 km/hod. ............ 20 min. 10 km 80 km/hod. ............ 7,5 min. 10 km 100 km/ hod...............6 min. -------------------------------------------------------------------- 30 km 33,5 min.= 0,5583hod = 30/0,5583 = 53,73 km/hod.

modus medián liché n Další střední hodnoty je nejčastěji se vyskytující (nejčetnější) hodnota statistického znaku v souboru medián je hodnota znaku prostřední statistické jednotky uspořádaného statistického souboru liché n sudé n

Kvantily p % - ní kvantil je hodnota numerického znaku, který odděluje p jednotek s nejnižšími hodnotami sledovaného znaku  medián kvartily decily percentily pořadí jednotky, jejíž hodnotou je p% - ní kvantil

Příklad : soubor 30 domácností - sledovaný znak počet členů xi ni pi 1 0,0333 2 8 0,2667 9 3 0,3000 18 4 6 0,2000 24 5 0,1667 29 30  x modus =3 medián dolní kvartil

Charakteristiky variability míry variability  měří měnlivost hodnot znaku od sebe navzájem  nebo od nějaké střední hodnoty míry variability:  absolutní nebo relativní

Absolutní míry variability variační rozpětí Příklad: známky – stejný průměr 3 soubor 1: 3 3 3 R1= 0 soubor 2: 2 3 4 R2= 2 soubor 3: 1 3 5 R3= 4 Nevýhoda: závisí pouze na extrémních hodnotách  kvantilová rozpětí:  kvartilové rozpětí  decilové rozpětí  percentilové rozpětí

rozptyl = nejpoužívanější míra variability je definován jako aritmetický průměr čtverců odchylek hodnot od průměru výpočetní tvar rozptylu rozptyl z relativních četností

směrodatná odchylka Výběrový rozptyl (variance)- počítá PC Výhoda: směrodatná odchylka má stejné jednotky jako pozorování Výběrový rozptyl (variance)- počítá PC Výběrová směrodatná odchylka (standard deviation) Vztah mezi rozptylem a výběrovým rozptylem

1. Připočteme-li ke všem hodnotám xi konstantu k, rozptyl se nezmění. Vlastnosti rozptylu 1. Připočteme-li ke všem hodnotám xi konstantu k, rozptyl se nezmění. 2. Vynásobíme-li všechny hodnoty xi konstantou k, rozptyl se zvýší k2 krát 3. Rozklad rozptylu Skládá-li se soubor z k dílčích souborů (skupin) s četnostmi ni se skupinovými průměry a skupinovými rozptyly , pak můžeme celkový rozptyl rozložit na součet dvou rozptylů, z nichž jeden charakterizuje variabilitu mezi skupinami a druhý variabilitu uvnitř skupin rozptyl skupinových průměrů (variabilita mezi skupinami ) průměr skupinových rozptylů (variabilita uvnitř skupin)

Příklad: Vypočítejte rozptyl souboru složeného ze tří skupin. 1 2;4;6 3 4 8/3 12 8 1,5 6,75 2 5;5;5 5 15 0,5 0,75 6;7;7;8 7 ½ 28 9,0  10 x 55 16,5

Variační koeficient Je míra relativní variability  umožní porovnat variabilitu různých souborů, různých ukazatelů v různých měrných jednotkách relativní míry variability dostaneme vydělením absolutní míry variability střední hodnotou (nejčastěji průměrnou hodnotou) Příklad: porovnat variabilitu výšky a váhy skupiny osob sváha = 12,5 kg s výška = 18 cm

Vlastnosti variačního koeficientu Variační koeficient konstanty je nula. Násobíme-li každé pozorování toutéž konstantou, variační koeficient se nezmění. Přičteme-li ke každému pozorování tutéž konstantu, variační koeficient se sníží, odečteme-li tutéž konstantu, variační koeficient se zvýší.