Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0208 Šablona: III/2 č. materiálu: VY_32_INOVACE_116 Jméno autora: Mgr. Iva Vrbová Třída/ročník: 3.E/ třetí ročník Datum vytvoření: 3. 3. 2013 1

Člověk a logické myšlení Tematická oblast: Posloupnosti Předmět: Vzdělávací oblast: Člověk a logické myšlení Tematická oblast: Posloupnosti Předmět: Matematika Název učebního materiálu: Geometrická posloupnost – příklady II. Výstižný popis způsobu využití, případně metodické pokyny: Prezentace obsahuje řešené příklady na procvičení vztahu pro součet několika prvních členů GP a příklady pro samostatné řešení (u složitějších je přiložen návod) Klíčová slova: Geometrická posloupnost; Součet členů GP Druh učebního materiálu: prezentace 2 2

Procvičení vzorce pro součet GP:

Sečtěte daný počet prvních členů GP hledáme součet 10 členů 

nejprve určete GP:

nejprve určete GP:

GP1: a1 = 1/32, q = 2 GP2: a1/ = –1/32, q / = –2

Příklady pro samostatné řešení Geometrická posloupnost 9

Součet prvních jedenácti členů GP se rovná 683 Součet prvních jedenácti členů GP se rovná 683. Vypočítejte první a poslední člen, když q =1/2. a1 = 1024; a11 = 1 Vyroste-li z jednoho zrna za rok průměrně 16 zrn, jaké množství zrn vyroste z jednoho zrna za 10 let? s10 je přibližně 7,33 . 1010 zrn

GP o šesti členech má součet všech členů roven 63 a součet sudých členů je 42. Určete tuto GP. Návod: Součet sudých členů a lichých členů musí dát dohromady součet všech členů dané posloupnosti. a1 = 1; q = 2 V sedmičlenné GP je součet prvních tří členů 26 a posledních tří 2 106. Určete tuto GP. GP1: a1 = 2; q = 3 GP 2: a1 = 26/7; q = –3 Návod: Součet sudých členů a lichých členů musí dát dohromady součet všech členů dané posloupnosti.

Mezi čísla 4 a 108 vložte 2 čísla tak, aby s danými čísly tvořila GP. hledaná dvojice: {12; 36} Mezi kořeny rovnice x2 – 325x + 1 600 = 0 vložte 5 čísel tak, aby vznikla GP. hledaná pětice: {10; 20; 40; 80; 160} Mezi kořeny rovnice x2 – 136x + 1 024 = 0 vložte 3 čísla tak, aby vznikla GP. hledaná trojice: {16; 32; 64}

Určete součet prvních čtyř členů GP, jestliže krajní sčítance tvoří čísla 8 a 216. 320 Určete součet prvních pěti členů GP, jestliže krajní sčítance tvoří čísla 6 a 1 536. 2 040 Mezi čísla 2 a 4 096 vložte deset čísel tak, aby s danými čísly tvořila GP. Určete součet vložených členů. 4 092

Mezi čísla 5 a 640 vložte tolik čísel, aby s danými čísly tvořila GP a součet vložených členů byl 630. Návod: Opět použijte: qn–1 = qn . q–1, ale zároveň si uvědomte, že součet všech čísel získáme sečtením vložených a krajních členů dohromady, tzn. sn = 630 + a1 + an. n = 8: {5; 10; 20; 40; 80; 160; 320; 640} Kvádr, jehož hrany tvoří GP, má povrch 78 cm2 a součet hran, které procházejí jedním vrcholem, je 13 cm. Určete objem kvádru. V = 27 cm3 Návod: V = abc = a1 . a2 . a3 S = 2ab + 2bc + 2ac = 2a1 . a2 + 2a2 . a3 + 2a1 . a3 Nezapomeňte zafixovat délku prostřední hrany, protože pak a1 = a2/q a a3 = a2 . q.

Součet prvních n členů GP je 6 141, první člen je 3 a poslední 3 072 Součet prvních n členů GP je 6 141, první člen je 3 a poslední 3 072. Vypočítejte počet členů součtu a kvocient dané posloupnosti. q = 2; n = 11 Návod: Použijte vzorec pro součet, pro n-tý člen a nezapomeňte, že platí i „staré“ vzorce pro mocniny: qn–1 = qn . q–1. Součet prvních n členů GP je 16 400, poslední člen je 10 935 a kvocient 3. Vypočítejte počet členů součtu a první člen dané posloupnosti. a1 = 5, n = 8

Která GP má tu vlastnost, že součet prvních osmi členů je 82 krát větší než součet prvních čtyř členů? Návod: s8 = 82 . s4 a q  1 (delší vzorec pro součet), protože pro q = 1 by platilo s8 = 2 . s4. Vzniklou rovnici řešte pomocí substituce: q4 = x. Úloha má tři řešení GP1: q = + 3, a1  R – {0} GP2: q = – 3, a1  R – {0} GP3: q = – 1, a1  R – {0} Která GP má tu vlastnost, že součet prvních osmi členů je 17 krát větší než součet prvních čtyř členů? GP1: q = + 2, a1  R – {0} GP2: q = – 2, a1  R – {0} GP3: q = – 1, a1  R – {0}

Použitá literatura: ODVÁRKO, O. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, Posloupnosti a finanční matematika 1. vyd. Praha : Prometheus, 2005. ISBN 8071962392. Kapitola 2, s. 31–40 JIRÁSEK, F.; BRANIŠ, K.; HORÁK, S.; VACEK, M. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť 2. část. 3. vyd. Praha : Prometheus, 2003. ISBN 8071960128. Kapitola 5, s. 138–147