Pravděpodobnost - úvod

Teorie pravděpodobnosti modeluje děje, v nichž hraje roli náhoda náhodný pokus - konečný děj, jehož výsledek závisí kromě jiných okolností také na náhodě Příklady: hod kostkou, tah Sportky, …

Základní pojmy Základní prostor Ω – množina všech možných výsledků náhodného pokusu Ω = {1, 2, 3, …} Náhodné jevy – libovolné podmnožiny množiny Ω značíme je A, B, C, … Příklad (hod kostkou): Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} jev A = {1, 3, 5} – „padne liché číslo“

Zvláštní typy jevů Nemožný jev  – za daných podmínek nenastane nikdy Jistý jev Ω – za daných podmínek nastane vždy Příklad (hod kostkou):  – „padne záporné číslo“ Ω – „ padne číslo menší než 7“

Operace s jevy

Podjev A  B  B A

Průnik jevů A  B B A  A  B

Sjednocení jevů A  B B A  A  B

Doplněk jevu  A

Rozdíl jevů A - B B A  A - B

Disjunktní jevy A  B =  B A

Příklad – operace s jevy Hod dvěma kostkami (červenou a modrou) Ω – všechny možné výsledky A – na dvou kostkách padne součet 9 B – na modré kostce padne šestka A B 12 13 14 15 16 A  B = 22 23 24 25 26 A  B = 31 32 33 34 35 36 A – B = 41 42 43 44 45 46 B – A = 51 52 53 54 55 56 A’ = 61 62 63 64 65 66 B’ =

Jak definovat pravděpodobnost?

Klasická definice pravděpodobnosti Založena na předpokladu, že všechny výsledky náhodného pokusu jsou stejně možné (rovnocenné). Počet výsledků příznivých jevu A Počet všech možných výsledků

Klasická definice pravděpodobnosti Příklad: Určete pravděpodobnosti jevů: A - při hodu dvěma mincemi padne alespoň jeden líc; B - při hodu dvěma mincemi padne právě jeden líc.

Statistická definice pravděpodobnosti Počet realizací pokusu příznivých jevu A Počet všech realizací pokusu

Příklad: Relativní četnosti "narození chlapce" z celkového počtu živě narozených dětí v Československu v letech 1966-1975 Rok Počet živě narozených dětí Relativní četnost jevu "narození chlapce" 1966 222 615 0,5131 1967 215 985 0,5146 1968 213 807 0,5138 1969 222 934 0,5145 1970 228 531 0,5125 1971 237 242 0,5134 1972 251 455 0,5133 1973 274 703 0,5144 1974 291 367 0,5135 1975 289 425 0,5108 Celkem 2 448 064

Geometrická pravděpodobnost Zobecnění klasické pravděpodobnosti pro případ, kdy počet všech možných výsledků náhodného pokusu je nespočetný. V rovině (případně na přímce nebo v prostoru) je dána určitá oblast Ω a v ní další uzavřená oblast A. Pravděpodobnost jevu A, který spočívá v tom, že náhodně zvolený bod v oblasti Ω leží i v oblasti A je:

Příklad: Tramvaj jezdí v 10 minutových intervalech Příklad: Tramvaj jezdí v 10 minutových intervalech. Jaká je pravděpodobnost, že Petr, který nezná jízdní řád, bude na tramvaj čekat déle než 3 minuty? A 

Úloha – geometrická pravděpodobnost Dva turisté se dohodli, že se sejdou na Sněžce první jarní den mezi desátou a jedenáctou hodinou. Každý z nich vystoupí na vrchol a počká 20 minut na druhého. Jaká je pravděpodobnost, že se za těchto podmínek setkají, jestliže pro oba předpokládáme stejnou možnost příchodu v kterémkoliv okamžiku mezi desátou a jedenáctou hodinou?

Axiomatická (Kolmogorova) definice pravděpodobnosti Definuje pojem pravděpodobnosti pomocí tří základních axiomů:

Odvozené vztahy

Příklad – operace s jevy Hod dvěma kostkami (červenou a modrou) Ω – všechny možné výsledky A – na dvou kostkách padne součet 9 B – na modré kostce padne šestka A B 12 13 14 15 16 P(A  B) = 22 23 24 25 26 P(A  B) = 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 P(A’) = 51 52 53 54 55 56 P(B’) = 61 62 63 64 65 66

Úlohy – operace s jevy V osudí je 7 bílých koulí a 3 černé. Náhodně vylosujeme dvě koule. Jaká je pravděpodobnost, že a) budou obě bíle; b) bude jedna bílá a jedna černá; c) budou obě černé? Hodíme 3 kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že padne součet 6? Jaký součet padne s nejvyšší pravděpodobností?

Úlohy – operace s jevy Deset studentů, mezi nimiž je Adam a Břetislav mají ze svého středu vylosovat tříčlennou komisi. Jaká je pravděpodobnost, že a) v komisi bude Adam i Břetislav; b) v komisi nebude žádný z nich; c) v komisi bude alespoň jeden z nich? Jaká je pravděpodobnost, že při tahu Sportky bude taženo alespoň jedno jednociferné číslo?

Podmíněná pravděpodobnost Příklad: Hod kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne číslo větší než 3 za podmínky, že padlo liché číslo.

Podmíněná pravděpodobnost a nezávislost Jevy A a B se nazývají nezávislé, jestliže Příklad: Jsou jevy A a B nezavislé?

Podmíněná pravděpodobnost Příklad: Finále soutěže Miss se účastní dvanáct dívek. Podle předběžných anket se zdá, že největší šance zvítězit mají dívky Kateřina, Lucie a Markéta. Kateřině je předpovídáno vítězství s pravděpodobností 0,2, Lucii s pravděpodobností 0,1 a Markétě s pravděpodobností 0,3. Těsně před začátkem finále se však Kateřina rozhodne odstoupit ze soutěže. Jak se změní pravděpodobnosti vítězství Lucie a Markéty? Jsou jevy A a B nezavislé?

Podmíněná pravděpodobnost Příklad: Výstřední profesor matematiky zkouší každou hodinu jednoho chlapce a jednu dívku. Přitom používá následující metodu: Má připravenu krabici, která obsahuje 3 černé lístky s velmi obtížnými úlohami a 6 bílých lístků se snadnými úlohami. Každý ze studentů si musí jeden z lístků vylosovat. Vylosované lístky se již do krabice nevrací. Ke zkoušení byli vybráni studenti Jirka a Petra. Jestliže Jirka losuje jako první a vytáhne si bílý lístek, jaká je pravděpodobnost, že si bílý lístek vytáhne i Petra? Jestliže Jirka losuje jako první a vytáhne si černý lístek, jaká je pravděpodobnost, že si Petra vytáhne bílý lístek? Jirka je zamilovaný do Petry a proto je ochoten přijmout obtížnou úlohu, jen aby zvýšil šance Petry na získání snadné úlohy. Měl by losovat jako první, nebo nechat Petru, aby jako první losovala ona?

Podmíněná pravděpodobnost Příklad: V žaláři je vězeň odsouzený k trestu smrti. Výstřední Žalářník¨však dá vězni šanci. Přinese mu 12 černých a 12 bílých kuliček. Pak mu dá dvě prázdné urny. Sdělí mu, že zítra příjde kat, náhodně si vybere jednu urnu a z ní náhodně vybere jednu kuličku. Bude-li bílá, dostane vězeň milost. V opačném případě bude ortel neprodleně vykonán. Jak má vězeň rozdělit kuličky do uren, aby maximalizoval pravděpodobnost svého osvobození?

Úplný systém po dvou disjunktních jevů A1  A2 A3 A4 A5 A6

Věta o úplné pravděpodobnosti  B2 B3 B4 B5 B6 A

Příklad: Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek Příklad: Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy? 70% 30%

Příklad: Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek Příklad: Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy? 70% 30% 80% 20%

Příklad: Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek Příklad: Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy? 10% 90% 70% 30% 80% 20%

0,07 0,63 0,24 0,06

Rozhodovací strom Studenti D DV KV CH Pohlaví Délka vlasů

Studenti D DV KV CH Pohlaví Délka vlasů

Věta o úplné pravděpodobnosti Příklad: Ve třech osudích jsou bílé a černé koule. V 1. osudí jsou 2 bílé a 3 černé koule, ve 2. osudí jsou 3 bílé a 4 černé koule a ve 3. osudí je 5 bílých koulí. Z náhodně zvoleného osudí vytáhneme jednu kouli. Jaké je pravděpodobnost, že vytažená koule bude bílá?

Bayesův teorém Thomas Bayes (1702 – 1761)

Apriorní pravděpodobnost Příklad: Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. a) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? 70 % Apriorní pravděpodobnost

Aposteriorní pravděpodobnost Příklad: Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. b) Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně je to chlapec? Aposteriorní pravděpodobnost

Studenti D DV KV CH Daný stav Výsledek testu

Aposteriorní pravděpodobnost Příklad: Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. b) Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy. Jaká je pravděpodobnost, že je to chlapec? Aposteriorní pravděpodobnost

Bayesův teorém Příklad: Předpokládejme, že z rozsáhlých lékařských výzkumů víme, že že ve sledované populaci má rakovinu 0,5 % lidí. Test, kterým se rakovina zjišťuje má senzitivitu 98 %, tj. jestliže má testovaná osoba rakovinu, potom je výsledek testu v 98 % případů pozitivní a specificitu 95 %, tj. jestliže testovaná osoba rakovinu nemá, potom je výslede testu v 95 % případů negativní. a) Pacient byl otestován a výsledek testu byl pozitivní. Jaká je pravděpodobnost, že pacient má rakovinu? b) Pacient byl otestován a výsledek testu byl negativní. Jaká je pravděpodobnost, že pacient nemá rakovinu?