Bayesův teorém – cesta k lepší náladě Martina Litschmannová

Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? X Deterministické procesy Náhodné procesy

Základní pojmy Náhodný pokus – konečný děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu, o jehož pravdivosti můžeme po ukončení pokusu rozhodnout (značíme A, B, X, Y, …) Elementární jev ω – jednotlivý výsledek náhodného pokusu (nelze jej vyjádřit jako sjednocení dvou různých jevů) Základní prostor Ω – množina všech elementárních jevů Jev A – libovolná podmnožina základního prostoru

Typy jevů Padne „7“. Padne „6“. Padne méně než „7“. Jev nemožný Jev náhodný Jev jistý

Vztahy mezi jevy a jejich prezentace Vennovými diagramy

Podjev A  B  B A

Průnik jevů A  B B A  A  B

Sjednocení jevů A  B B A  A  B

Rozdíl jevů A - B B A  A - B

Doplněk jevu  A

Disjunktní jevy A  B =  B A

Úplná množina vzájemně disjunktních jevů  A2 A3 A4 A5 A6

1. De Morganův zákon  B A

2. De Morganův zákon  B A

Co je to pravděpodobnost? Číselné vyjádření šance, že při náhodném pokusu daný jev nastane. Jak pravděpodobnost definovat?

Statistická definice pravděpodobnosti Počet realizací pokusu příznivých jevu A Počet všech realizací pokusu

Klasická definice pravděpodobnosti Založena na předpokladu, že náhodný pokus může mít n různých, avšak rovnocenných výsledků. Počet výsledků příznivých jevu A Počet všech možných výsledků

Rodina má dvě děti, z nichž jedno je dívka Rodina má dvě děti, z nichž jedno je dívka. Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? Předpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce.

Geometrická pravděpodobnost Zobecnění klasické pravděpodobnosti pro případ, kdy počet všech možných výsledků náhodného pokusu je nespočetný. V rovině (případně na přímce nebo v prostoru) je dána určitá oblast Ω a v ní další uzavřená oblast A. Pravděpodobnost jevu A, který spočívá v tom, že náhodně zvolený bod v oblasti Ω leží i v oblasti A je:

Tramvaj jezdí v 10 minutových intervalech Tramvaj jezdí v 10 minutových intervalech. Jaká je pravděpodobnost, že Petr, který nezná jízdní řád, bude na tramvaj čekat déle než 3 minuty? A 

Kolmogorovův axiomatický systém Definuje pojem pravděpodobnosti a její vlastnosti, neudává však žádný návod k jejímu stanovení. Pravděpodobnost každého jevu A je nezáporné reálné číslo. Pravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna jedné. Pravděpodobnost sjednocení konečného počtu vzájemně disjunktních (neslučitelných) jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností.

Podmíněná pravděpodobnost

Vlastnosti pravděpodobnosti

Vlastnosti pravděpodobnosti

Věta o úplné pravděpodobnosti  B2 B3 B4 B5 B6 A

Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy? 70% 30%

Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy? 70% 30% 80% 20%

Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy? 10% 90% 70% 30% 80% 20%

Pravoúhlý Vennův diagram 10% 90% 70% 30% 80% 20%

0,07 0,63 0,24 0,06

Rozhodovací strom Studenti D DV KV CH Pohlaví Délka vlasů

Studenti D DV KV CH Pohlaví Délka vlasů

Bayesův teorém Thomas Bayes (1702 – 1761)

Apriorní pravděpodobnost Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. A Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? 70 % Apriorní pravděpodobnost

Aposteriorní pravděpodobnost Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. B Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? Aposteriorní pravděpodobnost

Studenti D DV KV CH Daný stav Výsledek testu

Aposteriorní pravděpodobnost Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. B Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? Aposteriorní pravděpodobnost

Jak znalost Bayesova teorému může zlepšit náladu??? Biomedicínská aplikace aneb naděje umírá poslední

Na zemi vypukla zákeřná nemoc Na zemi vypukla zákeřná nemoc. Tato nemoc je velice krutá, zabíjí každého, kdo tuto nemoc dostane. Bez výjimky. Žádné účinné léky na tuto nemoc neexistují. Nicméně tato nemoc zasáhne pouze jednoho člověka z desetitisíce. Martin si dělá starosti o své zdraví, a proto, aniž by měl jakékoliv příznaky, se rozhodne, že zajde k lékaři, aby mu stanovil diagnózu. Lékař mu vysvětlí, že vyšetření na tuto chorobu je úspěšné v 99 % případů. A je už jedno, zda tuto nemoc máte, nebo nemáte. Vyšetření má vždy pouze 99% úspěšnost, v 1 % případů lékař určí špatnou diagnózu. Martin podstoupí vyšetření a za chvíli se dozví výsledek. Výsledek je pozitivní, podle vyšetření Martin tuto zákeřnou nemoc skutečná má. Martinovi se zatmělo před očima a už si šel vybírat rakev. Opravdu je to tak nutné? Jaká je pravděpodobnost, že Martin tuto nemoc má?

Na zemi vypukla zákeřná nemoc Na zemi vypukla zákeřná nemoc. Tato nemoc je velice krutá, zabíjí každého, kdo tuto nemoc dostane. Bez výjimky. Žádné účinné léky na tuto nemoc neexistují. Nicméně tato nemoc zasáhne pouze jednoho člověka z desetitisíce. Martin si dělá starosti o své zdraví, a proto, aniž by měl jakékoliv příznaky, se rozhodne, že zajde k lékaři, aby mu stanovil diagnózu. Lékař mu vysvětlí, že vyšetření na tuto chorobu je úspěšné v 99 % případů. A je už jedno, zda tuto nemoc máte, nebo nemáte. Vyšetření má vždy pouze 99% úspěšnost, v 1 % případů lékař určí špatnou diagnózu. Martin podstoupí vyšetření a za chvíli se dozví výsledek. Výsledek je pozitivní, podle vyšetření Martin tuto zákeřnou nemoc skutečná má. Martinovi se zatmělo před očima a už si šel vybírat rakev. Opravdu je to tak nutné? Jaká je pravděpodobnost, že Martin tuto nemoc má?

Rozhodovací strom Populace Z T+ T- N Daný stav Výsledek testu

Populace Z T+ T- N Daný stav Výsledek testu

Váš test je pozitivní !!!

Riziko, že jste nemocen stouplo z 0,01% na 0,98%. Váš test je pozitivní !!! Riziko, že jste nemocen stouplo z 0,01% na 0,98%.

Děkuji za pozornost !