Teoretické Základy Informatiky TZI Teoretické Základy Informatiky

Trochu etymologie slova „informace“ Latina informare – dávat formu, formovat myšlenku informatio – pojetí (koncept), idea Objevuje se ve středověké angličtině jako pojem information – akt informování, vytvoření formy/podoby něčeho v mysli

Co to je/co to tedy jsou „informace“? Přijímáme, posíláme, uchováváme texty, zvuky, obrázky tyto „zprávy“ obsahují informaci informace je obtížně formálně postižitelný pojem Jedná se o nematematickou veličinu, kterou ani nelze přesně definovat a měřit intuitivní definice informace jako kvality informace = co přijímáme formou textů, řeči, obrazy – zprávami znalost odvozená ze studia, zkušeností, poučení znalost o konkrétní události nebo situaci kolekce faktů nebo dat kvantitativní chápání informace schopnost odpovědět na otázku: Kolik informace obsahuje daná zpráva? informační objem zprávy je úměrný míře překvapení skrytému ve zprávě

Dvojí chápání pojmu „informace kvalitativní chápání - pohled z pozice softwarového inženýrství (SI) SI zajímá především sdělení obsahu, pak teprve forma informace je obtížně formálně postižitelný pojem Jedná se o nematematickou veličinu, kterou ani nelze přesně definovat a měřit SI zpracovává data – formalizované reprezentace faktů, pojmů, ... vhodné pro komunikaci / interpretaci / zpracování / uchovávání automatizačními prostředky nebo lidmi pro SI informace = význam právě přidělený daným datům shromážděných jisté zprávě, význam daný konvencemi aplikovanými na tato data kvantitativní chápání - pohled informační teorie informace = co přijímáme formou textů, řeči, obrazy – zprávami aby informaci šlo přenášet, skladovat, ..., musí být měřitelná informace se stává měřitelnou veličinou stanovením vhodné míry míru stanovuje Informační teorie, Information Theory - větev matematiky zabývající se efektivností a přesností uchovávání, přenosu a reprezentace informace

Míra množství informace ve zprávě požadavky na míru informace méně pravděpodobná zpráva nese více informace množství informace je vždy kladné množství informace obsažené ve skupině nezávislých zpráv je rovno součtu množství informací obsažených v jednotlivých zprávách těmto požadavkům na* vyhovuje funkce -log (P), resp. -log2(P) v jednotkách bit kde P je pravděpodobnost výskytu zprávy s měřenou informací bit – ekvivalent volby mezi dvěma stejně pravděpodobnými zprávami

Míra množství informace ve zprávě Příklad kolik informace může obsáhnout k-ciferné dekadické číslo? tj. kolik bitů potřebujeme pro vyjádření téhož čísla? musí platit 10k – 1 = 2x – 1, tedy x = k × log210/log22 = 3,32 k bitů tj. v jedné dekadické cifře je obsaženo cca 3,32 k bitů informace pro vyjádření dekadické cifry potřebujeme minimálně 4 bity Nyní systematičtěji k odvození, že požadavkům na míru množství informace na vyhovuje funkce -log (P), resp. -log2(P) v jednotkách bit kde P je pravděpodobnost výskytu zprávy s měřenou informací

Informace, neurčitost a míra množství informace technické termíny popisující proces výběru jedné nebo více alternativ z nějaké množiny možných alternativ zařízení I produkuje symboly A nebo B nebo C, ex. nejistota který symbol – 3-prvková neurčitost (také entropie) když výstupní symbol uvidíme, neurčitost se sníží, snížením neurčitosti získáváme informaci, množství získané informace odpovídá množství odstraněné neurčitosti zařízení II produkuje symboly 1 nebo 2, ex. nejistota který zda 1 či 2 – 2-prvková neurčitost kombinované zařízení I+II produkuje symboly A1, A2, B1, ...C2, - 6-prvková neurčitost takto se množství informace obvykle neměří když si přečtu 2 knihy místo jedné, získám množství informace odpovídající součtu množství informace v každé z nich míra množství informace by měla být aditivní

Míra množství informace míra množství informace by měla být aditivní místo násobení počtu výstupních symbolů proto použijeme sčítání jejich logaritmů – log(3), log(2), log(3) + log(2) = log(6) báze logaritmu určuje cílovou měrnou jednotkou 2 - bity, 10 – digit (dekadické cifry), e – „nats“ zařízení produkuje jediný symbol, např. jediný tón – log2(1) = 0 [b] poznáním výstupu nedojde ke snížení neurčitosti z poznání výstupu nezískáme žádnou informaci, je jisté, co bude na výstupu příště zařízení produkuje dva symboly, např. 0 nebo 1 – log2(2) = 1 [b] dvouprvková neurčitost poskytuje 1-bitovou informaci

Míra množství informace Dosavadní formule vymezení neurčitosti – log2(M) – předpokládala stejnou pravděpodobnost každého výstupu P = 1/M a pak platí log2(M) = -log2(P) toto lze generalizovat na různé pravděpodobnosti výskytu jednotlivých výstupních symbolů Pi, kde Pi = 1 ui = -log2(Pi) odpovídá překvapení, že vystoupil symbol i pro Pi jdoucí k 0 je překvapení velké, jde až k ∞, pro Pi jdoucí k 1 je překvapení malé až nulové neurčitost takového zdroje symbolů je dána průměrným překvapováním při generování nekonečného proudu jeho výstupních symbolů do tohoto průměru přispějí překvapení vyvolaná výstupy jednotlivých symbolů v poměru pravděpodobností výskytu příslušných symbolů ve výstupu

Neurčitost / entropie, Shannonova formule Neurčitost (entropie) zdroje symbolů je dána průměrným překvapováním při generování nekonečného proudu jeho výstupních symbolů do tohoto průměru přispějí překvapení vyvolaná výstupy jednotlivých symbolů v poměru pravděpodobností výskytu symbolů ve výstupu křivka je symetrická maxima dosahuje pro případ shodné pravděpodobnosti výskytu obou symbolů funkce H pro případ výstupu 2 symbolů:

Neurčitost / entropie při stejné pravděpodobnost výstupu každého z M symbolů je pravděpodobnost výstupu jednoho z nich Pi = 1/M pak maximální neurčitost je s touto rovnicí jsme úvahy o množství informace začínali

Míra množství informace, příklad Co znamená, když se řekne, že text/signál (průměrně) nese množství informace = 1,75 b/symbol (prvek signálu) jedná se o průměrné množství informace/symbol tj. po konverzi na bity mají různé symboly různou bitovou délku Příklad – zdroj generující zprávy ze symbolů A, C, G a T M = 4, symboly A, C, G, T se vyskytují s pravděpodobnostmi (Pi): čemuž odpovídají překvapení z výskytu jednotlivých symbolů (-log2Pi): uA = 1 bit, uC= 2 bity, uG = 3bity, uT = 3 bity, a neurčitost daného zdroje (množství jím produkované informace) je

Míra množství informace, příklady, redundance při minimálním kódování symbolů bity v poměru jejich překvapení A = 1, C = 01, G = 000 a T = 001 (tzv. Fanovo kódování) bude řetěz 8 symbolů ACATGAAC kódovaný 14 bity 10110010001101 tj. v průměru 14/8 = 1,75 bity/symbol Příklad množství informace ve zprávě o n symbolech kódovaných abecedou s mohutností m prvků, když každý prvek abecedy použitý pro kódován symbolů zprávy má apriorní pravděpodobnost výskytu Pi je přitom platí Hmax = -n log2m 1 symbol ve slově v angličtině nese 1,2 b informace na 1 bit v ASCII kódu připadá 1,2/7 = 0,17 b informace na 1 bit v ASCII kódu připadá 5,8/7 = 0,83 b redundantní inform.

Kód, kódování zpráv diskrétní zpráva – text, obraz, audiozáznam, ... diskrétní zpráva sestává z N zdrojových jednotek – symbolů symbolem se podle typu zprávy rozumí: textový prvek – znak/slovo/... obrazový element – pixel signálový prvek – poloha praporku, průběh el. proudu, ... symboly jsou vyjadřovány (kódovány) prvky abecedy S předpis pro zobrazení prvku z abecedy S1 do abecedy S2 – kód prvek abecedy použitý pro zápis symbolu – kódové slovo Kódování nahrazování jedné poloupnosti symbolů jinou posloupností symbolů příklady kódování – pořizování dat, šifrování (utajování), opravné kódování (integrita), komprese (minimalizace „objemu“ú, transformace na signálové prvky pro přenos, ...

Klasifikace kódů obecný kód, C, zobrazuje prvek abecedy S1 na prvek abecedy S2 C je nesingulární kód, když každý prvek abecedy S1 (např. {A,B,C,D}) zobrazuje na jiný prvek abecedy S2 (např.{0,010,01,10}) když se vyšle jeden prvek abecedy S1, např. 010, přijímač ho může jednoznačně dekódovat (na B) výše uvedený kód je nesingulární, ale není jednoznačně dekódovatelný při vysílání řetězců symbolů 010 může reprezentovat B nebo CA nebo AD pokud chceme vyslat více symbolů, musíme je oddělovat speciálním symbolem, např. „čárkou“ (,)

Klasifikace kódů, 2 jestliže platí C(X1,…,XN) = C(X1),…,C(XN) a platí, že zdrojové i cílové prvky, Xi a C(Xi) jsou konečné délky a zachovává se nesingularita, pak C je jednoznačně dekódovatelný kód Každý kódovaný řetězec v jednoznačně dekódovatelném kódu má jediný možný zdrojový řetězec, který jej produkuje, ale pro zjištění byť i prvního symbolu, se někdy musí analyzovat celý řetěz Jestliže C(a) = 10, C(b) = 00, C(c) = 11 a C(d) = 110, pak C(ab) = 1000 a C(cb) = 1100, ale že se jedná o cb a ne o d…se pozná po analýze celého řetězu jestliže žádný prvek jednoznačně dekódovatelného kódu není prefixem jiného prvku, jedná se o prefixový kód prefixový lze dekódovat symbol po symbolu, zleva doprava, každé kódové slovo je „samovyčlenitelné“

Klasifikace kódů, 3

Proč se kóduje je nutné změnit velikost abecedy, např. a,b,c,…  0, 1 dáno změnou prostředí, do kterého se zpráva zapisuje, kterým se přenáší, … musí se utajit obsah zprávy kryptografie PV017 a další předměty cílem je lepší využití kapacity paměti/kapacity přenosového kanálu komprese dat, tou se budeme zabývat hlouběji komprese dat spočívá v identifikaci redundance a v jejím odstraňování

Kódování, kódovaná slova Zdroj generuje symboly abecedy o N prvcích Pro zobrazení každého symbolu zprávy potřebujeme v průměru alespoň log2 N bitů, pokud nechceme snížit množství informace ve zprávě zobrazené v cílové abecedě pokud N = 8 potřebujeme alespoň 3 bity, log28 = 3,23 = 8 pokud N = 26 potřebujeme alespoň 5 bitů, 25 = 32, 6 kombinací se nevyužije … Pro vyjádření symbolu zprávy se používá kódové slovo prvek nějaké abecedy, např.{a,b,…}, polohy rukou signalisty, slova jazyka, … posloupnost prvků nějaké abecedy, např. {0 110 001, 0 110 010, ..} nebo {0,10,11,110,1110,111}

Kódování, kódovaná slova kódovaná slova pevné délky {a,b, …}, {0 110 001, 0 110 010, …} snadná jednoznačná dekódovatelnou, slovníky použití skrývá statistické charakteristiky výskytu jednotlivých symbolů kódová slova proměnné délky {0,10,110,1110,1111} odráží statistické charakteristiky výskytu jednotlivých symbolů základní zákon komprese dat častěji použité symboly je žádoucí kódovat kratšími kódovými slovy požaduje se bezprostřední rozhodnutelnost při dekódování vhodná je prefixová vlastnost kódu, prefixové kódy žádné kódové slovo kódu není prefixem některého jiného kódového slova daného kódu