Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Posloupnosti Posloupnost – v běžném životě zaznamenáváme údaje v určitých časových okamžicích. Registrační přístroje dodávají sérii čísel. Čísla závisí na okamžiku, kdy byla zaznamenána – tj. závisí na pořadí. Může- me je zapisovat do tabulky, nebo např. : Kde ti jsou časové okamžiky, kdy byly údaje a zaznamenány. Jsou-li časové intervaly mezi měřeními stejné (nebo na jejich velikosti nezáleží), můžeme zápis zkrátit na Podobných situací se v praxi vyskytuje mnoho (měření teploty, zazname- návání výše vkladu na účtu každý den apod.). Potřeba matematického aparátu pro práci s podobnými údaji je více než zřejmá. Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (gdermog@seznam.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Posloupnosti Definice 8. Zobrazení z množiny přirozených čísel do množiny A f : N → A nazýváme posloupností. Pokud je A číselná množina, nazýváme podle ní posloupnost celou, racionální, reálnou nebo komplexní. Místo f(n) obvykle píšeme an. Celou posloupnost zapisujeme obvykle nebo zkráceně Tento zápis značí, že indexy n postupně probíhají všechna přirozená čísla (od jedničky do nekonečna). Místo n lze samozřejmě použít i li- bovolné jiné písmeno. Lze samozřejmě zavést i konečnou posloupnost jako zobrazení

Posloupnosti Například přiřadíme-li každému přirozenému číslu jeho převrácenou hodnotu, získáme posloupnost Definice 9. Říkáme, že posloupnost an je konstantní,pokud pro všechna přirozená n platí an = an+1. Definice 10. Říkáme, že posloupnost an je rostoucí, ostře rostoucí, klesající, ostře klesající, pokud pro všechna přirozená n platí an ≤ an+1, resp. an < an+1, an ≥ an+1, an > an+1. Všechny tyto typy posloupností se souhrnně nazývají monotónní. V literatuře se uvádějí i názvy neklesající, rostoucí, nerostoucí, klesající.

Monotónní posloupnosti Posloupnosti lze zaznamenat i do grafu. Na vodorovnou osu obvykle vy- nášíme přirozená čísla (N), na osu svislou pak prvky množiny A (hodnoty). V následujícím grafu jsou zaneseny příklady monotónních posloupností: 5 10 15 20 2.0 1.0 Ostře klesající Ostře rostoucí

Monotónní posloupnosti Posloupnosti lze zaznamenat i do grafu. Na vodorovnou osu obvykle vy- nášíme přirozená čísla (N), na osu svislou pak prvky množiny A (hodnoty). V následujícím grafu jsou zaneseny příklady monotónních posloupností: 5 10 15 20 2.0 1.0 Klesající Konstantní Rostoucí

Monotónní posloupnosti Příklad Zjistěte, zda posloupnost je monotónní a pokud ano, jakého typu. Je nutno zjistit, jaký vztah mezi sebou mají členy an a an+1 pro libovolné přirozené n. Porov- náme tedy dva sousední členy (pro libovolné n): Jednoduchým výpočtem jsme zjistili, že pro libovolné n platí an < an+1, což znamená, že posloupnost je ostře rostoucí:

Monotónní posloupnosti Zjistěte, zda následující posloupnosti jsou monotónní a pokud ano, jakého typu: Příklad

Omezené posloupnosti Posloupnost nazýváme omezenou, jestliže Definice 11. tedy, pokud lze všechny její členy uzavřít mezi nějaké dvě konstanty. Posloupnost toto nesplňující naz. neomezená. Posloupnosti splňující jen jednu z nerovností naz. omezené zdola resp. shora. 5 10 15 20 0.0 1.0 -1.0

Omezené posloupnosti Zjistěte, zda je následující posloupnost omezená: Příklad Zjistěte, zda je následující posloupnost omezená: Je nutno zjistit, zda je možné libovolný člen an uzavřít mezi –K a K. Zkoumáme horní a dolní „uzávěru“ zvlášť : Nelze! Rovnici lze splnit pouze pro konečný počet přirozených čísel. Posloupnost proto není omezená. Platí pro libovolné kladné K a přirozené n. Zde není problém. Lze zvolit takové kladné K, aby nerovnice byla splněna pro každé n?

Omezené posloupnosti Zjistěte, zda následující posloupnosti jsou omezené: Příklad

Operace s posloupnostmi Buďte an, bn číselné posloupnosti. Potom součet, rozdíl, náso- bek a podíl an a bn nazveme posloupnosti utvořené následovně: Definice 12. Jsou-li posloupnosti an, bn rostoucí (klesající), pak i jejich součet je ros- toucí (klesající). Dokažte předchozí tvrzení. Rozmyslete si, zda podobné tvrzení platí i pro rozdíl, součin a podíl posloupností. DÚ

Rekurentně zadané posloupnosti Určit posloupnost znamená určit její libovolný člen an. To lze udělat v zá- sadě dvěmi způsoby. Buďto člen explicitně předepsat (an=n2-2n+1), nebo zkonstruovat n-tý člen za pomoci již známých předchozích členů. Např.: Ekvivalence zápisů první posloupnosti je zřejmá, ekvivalenci zápi- sů druhé posloupnosti dokážeme matematickou indukcí: Pro první člen ekvivalence platí, předpokládáme-li, že platí pro n-tý člen, prokažme platnost i pro (n+1)-tý člen:

Rekurentně zadané posloupnosti Příklad Kolik nejméně tahů je třeba vykonat pro přerovnání Hanoiských věží s n disky? Označme Mn nejmenší možný počet tahů pro n disků. Zřejmě M1 = 1. To není zajímavé, prozkoumejme případ, kdy n > 1. Abychom mohli přemístit největší disk na další kolík, je třeba nejprve přemístit n – 1 disků na jiný kolík. K tomu potřebujeme Mn-1 tahů. Pak jeden tah spotřebujeme na pohyb největšího disku a následuje dalších Mn-1 tahů, kdy přemísťujeme menší disky zpět na největší. Dohromady tedy 2Mn-1 + 1 tahů. Ale již jsme ukázali, že a tedy platí, že Mn = 2n-1 .

Aritmetická posloupnost Definice 13. Buď (an )n=1∞ číselná posloupnost reálných čísel, pro kterou platí Pak se (an )n=1∞ nazývá aritmetická a číslo d diference této posloupnosti. Všechny členy aritmetické posloupnosti jsou určeny prvním členem a dife- rencí pomocí vztahu an = a1 + (n-1) x d . Známe-li libovolný člen posloupnosti (r-tý), pak každý jiný (s-tý) lze vypočí- tat vztahem as = ar + (s-r) x d .

Aritmetická posloupnost Součet prvních n členů aritmetické posloupnosti lze vypočítat pomocí vzorce Karl Friedrich Gauss 1777-1855 Příklad Určete všechny aritmetické posloupnosti (an )n=1∞ takové, že pro součet prvních n členů platí Sn = 7n2 – 3n. Pro n = 1 je s1 = a1 dle vztahu pro součet prvních n členů a dle zadaného vztahu sn = 4. Tedy a1 = 4. Pro n = 2 je S2 = a1 + a2, dle zadaného vztahu s2 = 22, tj. 4 + a2 = 22 čili a2 = 18. Proto d = a2 – a1 = 14. Hledaná řada je

Geometrická posloupnost Definice 14. Buď (an )n=1∞ číselná posloupnost reálných čísel, pro kterou platí Pak se (an )n=1∞ nazývá geometrická a číslo q kvocient této posloupnosti. Všechny členy geometrické posloupnosti jsou určeny prvním členem a kvocientem pomocí vztahu an+1 = qn x a1 . Součet prvních n členů geom. posloupnosti (q ≠ 1) spočítáme dle vzorce Dokažte mat. indukcí DÚ

Zkrácené psaní součtů a součinů Pro přehlednost a zkrácení zápisu se většinou používají symboly tato velká řecká písmena (sigma, pí) se v daném výrazu čtou jako suma a produkt. S jejich pomocí se zkracují zápisy součtů a součinů následovně: horní mez sčítací index dolní mez horní mez součinový index dolní mez

Zkrácené zápisy součtů a součinů Příklady na zápis sum a produktů

Zkrácené zápisy součtů a součinů Občas bude nutné sčítat od jiného indexu než od 1, proto lze trochu obecněji psát Dále se formálně definuje, že v případě, kdy horní mez sumy/produktu je menší než dolní (p > n), pak

Zkrácené zápisy součtů a součinů V dolní mezi lze udat dodatečné podmínky, například Sčítací resp. součinový index lze posunout, což znamená operaci

Zkrácené zápisy součtů a součinů Dále platí: Prohození pořadí sčítání odpředu dozadu Asociativní zákon Distributivní zákon

Zkrácené zápisy součtů a součinů Dále platí: roznásobení konstanta dovnitř Závorka je zbytečná Asociativní zákon

Zkrácené zápisy součtů a součinů Příklady posunutí sčítacích indexů (a mezí): Poslední krok dokaže matematickou indukcí DÚ

Zkrácené zápisy součtů a součinů Příklad Určete pro libovolné n hodnotu součtu Jak na toto snadno přijít? Dosaďme k = 0 Dosaďme k = -2

Zkrácené zápisy součtů a součinů Příklad Určete pro libovolné n hodnotu součtu Určete pro libovolné n hodnotu součtu

Zkrácené zápisy součtů a součinů Příklad Buď q libovolné reálné, n libovolné přirozené číslo. Ukažte, že platí Odtud po dosazení Z tohoto vzorce je ihned zřejmý součet prvních n členů geometrické posloupnosti.

Shrnutí Posloupnost je zobrazení z přirozených čísel do množiny A Posloupnost může být rostoucí, ostře rostoucí, klesající, ostře klesající nebo konstantní – zkráceně monotónní Posloupnost může být omezená nebo neomezená Posloupnosti lze sčítat, odčítat, násobit a dělit po členech Posloupnost lze zadat buď explicitně nebo rekurentně Zvláštní případy posloupností jsou aritmetická a geometrická Součty a součiny lze zkráceně zapisovat pomocí symbolů Σ a π