CZECH SALES ACADEMY Trutnov – střední odborná škola s.r.o. EU PENÍZE ŠKOLÁM CZ.1.07/1.5.00/34.0011 VY_32_INOVACE_04_01 Číselné obory Zpracovala: RNDr. Lucie Cabicarová Datum: 18. leden 2013 Vzdělávací oblast: Všeobecně vzdělávací předměty Předmět: Matematika, Seminář z matematiky Ročníky: 1. a 4. ročník – denní forma vzdělávání 3. a 5. ročník – dálková forma vzdělávání VY_32_INOVACE_04_01

Materiál obsahuje přehled základních pojmů a metod řešení úloh: ANOTACE Materiál obsahuje přehled základních pojmů a metod řešení úloh: Číselné výrazy se zlomky, desetinnými čísly, mocninami a odmocninami Slovní úlohy (poměr, trojčlenka, procenta, dělitelnost) Kombinatorika a logické úlohy Čtení z grafu a tabulky Každý způsob výpočtu je doplněn vzorovým příkladem včetně výpočtu. VY_32_INOVACE_04_01

ČÍSELNÉ OBORY Iracionální čísla Přirozená čísla   I N Celá čísla  Z Q R Racionální čísla  Reálná čísla  VY_32_INOVACE_04_01

kombinatorika, faktoriál PŘIROZENÁ ČÍSLA … čísla vyjadřující počet kusů 1; 2; 3; …; 138; …; 12 345; … Typy úloh: kombinatorika, faktoriál dělitelnost VY_32_INOVACE_04_01

mocniny s celočíselným exponentem CELÁ ČÍSLA … čísla přirozená, čísla k nim opačná a nula -987; …; -12; …; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …; 138; … Typy úloh: mocniny s celočíselným exponentem číselná osa VY_32_INOVACE_04_01

mocniny s racionálním exponentem úprava periodického čísla na zlomek RACIONÁLNÍ ČÍSLA … čísla, která můžeme zapsat ve tvaru zlomku -9,87; …; - 31 12 ; …; -2; - 1 4 ; 0; 1; 2, 3 ; …; 13,8; … Typy úloh: mocniny s racionálním exponentem číselné výrazy úprava periodického čísla na zlomek VY_32_INOVACE_04_01

… čísla, která nemůžeme zapsat ve tvaru zlomku IRACIONÁLNÍ ČÍSLA … čísla, která nemůžeme zapsat ve tvaru zlomku - 3 56 ; …; π; 13 ; … Typy úloh: částečné odmocnění číselné výrazy s odmocninami VY_32_INOVACE_04_01

… čísla racionální a iracionální REÁLNÁ ČÍSLA … čísla racionální a iracionální Typy úloh: poměr procenta trojčlenka tabulky grafy intervaly VY_32_INOVACE_04_01

DĚLITELNOST Př. Součet nejmenšího společného násobku a největšího společného dělitele čísel 60 a 80 je roven: 60 = 2.2.3.5 = 22.3.5 80 = 2.2.2.2.5 = 24.5 n = 24.3.5 = 240 D = 22.5 = 20 n + D = 260 n … nejmenší číslo, které lze vydělit zadanými čísly D … největší číslo, kterým lze zadaná čísla vydělit VY_32_INOVACE_04_01

KOMBINATORIKA, FAKTORIÁL Př. 1 Určete neznámé číslo n, jestliže platí: n! = 210.35.52.7.11 n! … n faktoriál … n! = n.(n-1).(n-2). … .3.2.1 Minimálně n! musí být 11! (číslo 11 je prvočíslo) 11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 11.2.5.32.23.7.2.3.5.22.3.2.1 = 11.7.52.34.28.1 chybí 22.3 = 12 n = 12 VY_32_INOVACE_04_01

KOMBINATORIKA, FAKTORIÁL Př. 2 V kódovaném hesle je na prvních dvou místech libovolné dvojciferné číslo od 22 do 44. Na třetí pozici je jedno z písmen K, L, M, N. (Např. 25K, 37L atd.) Určete počet všech takto vytvořených hesel. Dvojciferných čísel je 23 (44 – 22 + 1). Ke každému můžeme přiřadit jedno ze 4 písmen. Máme 4 krát 23 možností – 92 možností. Vytvořených hesel je 92. VY_32_INOVACE_04_01

ČÍSELNÁ OSA Př. Na číselné ose vyznačte všechna celá čísla z, která splňují podmínky: z + 3 0; 5 – z  0 -3 -2 -1 1 1 2 3 4 z + 3  0  z  – 3  – 3; – 2; – 1; … 5 – z  0  5  z (nebo z  5)  4; 3; 2; 1; 0; … z = – 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3; 4 VY_32_INOVACE_04_01

MOCNINY S CELOČÍSELNÝM EXPONENTEM Vypočtěte: (22 – 2-2):4-1 x-z = 𝟏 𝒙 𝒛 (22 – 2-2):4-1 = (4 – 1 4 ): 1 4 = 16 −1 4 . 4 1 = 15 Výsledek výpočtu … 15 VY_32_INOVACE_04_01

ČÍSELNÉ VÝRAZY Př. Neznámé číslo se nejprve zmenší o pětinu své hodnoty, poté ještě o 14. Po vynásobení výsledku třemi získáme původní číslo. Určete neznámé číslo. (x - 1 5 x) – 14 . 3 = x  ( 4 5 x – 14) . 3 = x 12 5 x – 42 = x  12x – 210 = 5x 7x = 210 x = 30 Neznámé číslo je 30. VY_32_INOVACE_04_01

MOCNINY S RACIONÁLNÍM EXPONENTEM Vypočtěte: 9 1 2 − 16 3 4 . 27 2 3 − 64 1 3 . − 5 37 9 − ( 4 16 ) 3 . ( 3 27 ) 2 − 3 64 . − 5 37 = = 3 – 23. (32 – 4) . − 5 37 = = 3 – 8.(9 – 4) . − 5 37 = = (3 – 8.5) . − 5 37 = = (3 – 40) . − 5 37 = = (– 37) . − 5 37 = 5 𝒙 𝒛 𝒏 = ( 𝒏 𝒙 )z Výsledek výpočtu … 5 VY_32_INOVACE_04_01

ÚPRAVA PERIODICKÉHO ČÍSLA NA ZLOMEK Vypočtěte: 2, 3 . 0, 7 a … 2, 3 10a … 23, 3 9a = 21 a = 21 9 = 7 3 b … 0, 7 10b … 7, 7 9b = 7 b = 7 9 – – a.b = 7 3 . 7 9 = 49 27 Výsledek výpočtu … 𝟒𝟗 𝟐𝟕 VY_32_INOVACE_04_01

ČÁSTEČNÉ ODMOCNĚNÍ Př. Vypočtěte: 3 12 + 5 75 – 4 48 3 4.3 + 5 25.3 – 4 16.3 = = 3.2. 3 + 5.5. 3 – 4.4. 3 = =(6 + 25 – 16). 3 = = 15 3 Výsledek výpočtu … 15 𝟑 VY_32_INOVACE_04_01

ČÍSELNÉ VÝRAZY S ODMOCNINAMI Př. Vypočtěte: 14 − 1 3 3 7 . 49 −1 49 3 7 . 3 14 = 7 3 7.7.2 = 3 7 3 7 2 .2 = 3 7 2 Výsledek výpočtu … 𝟑 𝟕 𝟐 VY_32_INOVACE_04_01

POMĚR Př. Měřítko mapy bývá uvedeno ve tvaru 1 : p. (1 cm na mapě představuje p cm ve skutečnosti.) Určete měřítko mapy z obrázku. 1 cm 1,8 km 12 cm … 1,8 km 1 cm … (1,8 : 12) km = 0,15 km 1 cm … 150 m = 15 000 cm Měřítko mapy … 1 : 15 000 VY_32_INOVACE_04_01

TROJČLENKA Př. Podle daňového sazebníku platného pro rok 2010 stál výrobek včetně 20% daně 8 000 Kč. O kolik korun by stál méně, pokud by byl zatížen jen 15% daní? 8 000 Kč … 1,2 ceny x Kč … 1,15 ceny 𝑥 8 000 = 1,15 1,2 x = 1,15 1,2 . 8 000 = 7 667 8 000 – 7 667 = 333 Výrobek by stál o 333 Kč méně. VY_32_INOVACE_04_01

PROCENTA Př. Katka má hotovost 200 000 Kč a banka jí nabízí roční termínovaný vklad s 4% roční úrokovou mírou. Před vyzvednutím částky se z ní odpočítá státem stanovená daň 15 % z úroku. Kolik Kč Katka získá navíc? 8 000 Kč … 100 % 80 Kč … 1 % 1 200 Kč … 15 % 8 000 – 1 200 = 6 800 200 000 Kč … 100 % 2 000 Kč … 1 % 8 000 Kč … 4 % Katka získá 6 800 Kč. VY_32_INOVACE_04_01

Množina Z obsahuje 6 celých čísel: – 7; – 6; – 5; – 4; 4; 5 INTERVALY Př. Jsou dány množiny K = x  R; x  6, L = – 7; 5), M = x  R; x2  16. Kolik celých čísel je prvkem množiny Z = (K  L)  M? -6 6 -7 5 -4 4 K  L = – 7; 6) (K  L)  M = – 7; – 4  4; 6) Množina Z obsahuje 6 celých čísel: – 7; – 6; – 5; – 4; 4; 5 VY_32_INOVACE_04_01

TABULKY Př. 30 studentů psalo dva závěrečné testy A a B. V tabulce jsou uvedeny výsledky testů, v obou testech bylo dosaženo stejné průměrné známky. Určete průměrnou známku z testu a doplňte tabulku. Známky 1 2 3 4 Počet žáků Test A 5 9 7 30 Test B 11 Průměrná známka: 1.5+2.9+3.9+4.7 30 = = 78 30 = 2,6 3 11 x + 2y = 25 x + y = 14 y = 11  x = 3 1.x + 2.y + 3.11 + 4.5 = 78 x + y + 11 + 5 = 30 VY_32_INOVACE_04_01

Z Malíkova dojíždí 36 žáků. GRAFY Př. Na střední odbornou školu v Kulíkově chodí místní pěšky, ale 152 žáků z okolí dojíždí. V diagramu je uvedeno rozložení počtu žáků podle místa bydliště. Kolik žáků dojíždí z Malíkova? 100 - (24 + 13 + 26 + 19) = 18 Malíkov … 18 % 13 + 26 + 19 + 18 = 76 76 % … 152 žáků 1 % … 152 : 76 = 2 18 % … 2 . 18 = 36 Z Malíkova dojíždí 36 žáků. VY_32_INOVACE_04_01

Zdroje: Polák, Josef. Přehled středoškolské matematiky. 8. vyd. Praha: Prometheus, 2003. 608 s. ISBN 80-7196-267-8 Materiál je určen pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. cabicarova@sosptu.cz VY_32_INOVACE_04_01