Pojistné systémy 4. hodina

Tabulky k pojistné matematice x – věk osoby při vstupu do pojištění qx – pravděpodobnost, že se xletá osoba nedožije dalšího roku (roční míra úmrtnosti) lx – počet osob ve věku x (tabulka žijících) dx – počet osob zemřelých ve věku x px – pravděpodobnost, že se xletá osoba dožije dalšího roku (roční míra dožití)

Vztahy mezi jednotlivými ukazateli qx + px = 1 lx > lx+1 > lx+2>... lx – dx = lx+1 lx x qx = dx lx x px = lx+1

Další ukazatelé npx – pravděpodobnost, že se xletá osoba dožije dalších n let – dosáhne věku x + n npx = lx+n / lx npx = px x px+1 x ... x px+n-1 nqx – pravděpodobnost, že se xletá osoba nedožije dalších n let – nedosáhne věku x + n nqx = 1 – npx nqx = (lx – lx+n) / lx

n/qx – pravděpodobnost, že xletá osoba zemře právě ve věku x + n n/qx = dx+n / lx Pozor, to že nezemře ve věku x + n neznamená, že se věku x + n dožije!

Ukazatel ex – střední věk života ex znamená, kolik let života má průměrně před sebou xletá osoba. ex = (lx + lx+1 + ...+ lω) / lx - 0,5 ω – nejzazší věk pro dožití (v tomto věku nejpozději zemře každý)

Příklady Jaká je pravděpodobnost, že se 50letá osoba dožije věku 54 let? Jaká je pravděpodobnost, že 70letá osoba zemře ve věku 75 let? Jaká je pravděpodobnost, že se 35letá osoba nedožije 45 let?

Komutační čísla Ukázkový příklad Jakou rezervu si musí pojišťovna vytvořit, aby byla schopna všem 20letým osobám vyplatit ve věku 50 let 300 000 Kč? Úroková míra činí 4 % p. a.

Řešení Ko = Kn / (1+i)n Ko – výše potřebné rezervy n – 30 (počet let, o které je třeba rezervu diskontovat) i – 0,04 Kn – 300 000 x l50 = 300 000 x 93 783 Ko = 8 674 514 892 Kč

Jaká musí být výše pojistného? Pro výpočet tohoto příkladu je potřeba rozdělit zjištěnou částku mezi všechny občany ve věku 20 let. Ko / l20 = 8 674 514 892 / 99 117 = 87 517,9 Kč

Co je tedy komutační číslo? Diskontovaný počet osob dožívajících se věku x. Dx = lx x vx vx = 1 / (1+i)x Dx – první komutační číslo

Zkrácení předešlého příkladu K0 = 300 000 x D50 / D20 D20 = 45 235,7 D50 = 13 196,45 K0 = 87 517,93 Kč

Druhé komutační číslo Cx Cx = dx x vx+1 Diskontovaný počet zemřelých ve věku x.

Další komutační čísla Nx – součet Dx až do konce tabulky Sx – součet Nx až do konce tabulky Mx – součet Cx až do konce tabulky Rx – součet Mx až do konce tabulky

Symbolika π – jednorázové netto pojistné (JNP) K – výplata pojistného plnění x – věk klienta při podpisu smlouvy x + n – věk klienta pro výplatu pojistného plnění

Výpočet pojistného π = K x Dx+n / Dx

Příklad na životní pojištění Jak vysokým JNP si 25letá osoba zajistí výplatu pojistného plnění 300 000 Kč, při dožití věku 50 let? x – 25 n – 25 K – 300 000

Řešení π = 300 000 x 12 388,1 / 37 045 π = 100 320 Kč

Příklad Jak vysoké JNP zaplatí 30letá osoba, aby si zajistila výplatu částky 100 000 Kč ve svých 50 letech?

ŽP na dožití s několika výplatami π = K1 x Dx+n1/Dx + ... + Ky x Dx+ny/Dx

Příklad Jaké JNP zaplatí 20letá osoba, aby si zajistila výplatu 20 000 Kč ve věku 30 let, 30 000 Kč ve věku 40 let a 50 000 Kč ve věku 50 let? Porovnejte s minulým typem, kdyby žádala o vyplacení částky 100 000 Kč ve věku 50 let.

Řešení π = 20 000 x 30 064,5 / 45 638,7 + 30 000 x 19 617,5 / 45 638,7 + 50 000 x 12 388,1 / 45 638,7 π = 39 638 Kč