Obchodní akademie, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Vzdělávací materiál / DUM VY_32_INOVACE_02A5 Booleova algebra Autor Ing. Petr Haman Období vytvoření Prosinec 2013 Ročník / věková kategorie 2. ročník Vyučovací předmět / klíčová slova ICT / Booleova algebra Anotace Prezentace k výkladu Booleovy algebry

Zjednodušení logické funkce: Booleova algebra Ing. Petr Haman

Booleova algebra Využití a princip Zjednodušení logických funkcí Jednodušší zapojení logických obvodů Princip: Postupné nalézání zákonů a pravidel Přepis na jejich jednodušší podobu Snaha o co nejefektivnější zjednodušení Booleova algebra / Ing. Petr Haman

Zákony a pravidla 1. Komutativita 𝑨+𝑩=𝑩+𝑨 𝑨⋅𝑩=𝑩⋅𝑨 Důkazy: A B A + B B + A A ⋅ B B ⋅ A 1 Booleova algebra / Ing. Petr Haman

Zákony a pravidla 2. Asociativita (1) 𝑨+ 𝑩+𝑪 = 𝑨+𝑩 +𝑪 𝑨⋅ 𝑩⋅𝑪 = 𝑨⋅𝑩 ⋅𝑪 Důkazy – viz následující 2 snímky Booleova algebra / Ing. Petr Haman

Zákony a pravidla 2. Asociativita (2) B C B + C A + (B + C) A + B (A + B) + C 1 Booleova algebra / Ing. Petr Haman

Zákony a pravidla 2. Asociativita (3) B C B ⋅ C A ⋅ (B ⋅ C) A ⋅ B (A ⋅ B) ⋅ C 1 Booleova algebra / Ing. Petr Haman

Zákony a pravidla 3. Distributivita (1) 𝑨+ 𝑩⋅𝑪 = 𝑨+𝑩 ⋅ 𝑨+𝑪 𝑨⋅ 𝑩+𝑪 = 𝑨⋅𝑩 + 𝑨⋅𝑪 Důkazy – viz následující 2 snímky Booleova algebra / Ing. Petr Haman

Zákony a pravidla 3. Distributivita (2) C B⋅C A+(B⋅C) A+B A+C (A+B)⋅(A+C) 1 Booleova algebra / Ing. Petr Haman

Zákony a pravidla 3. Distributivita (3) C B+C A⋅(B+C) A⋅B A⋅C (A⋅B)+(A⋅C) 1 Booleova algebra / Ing. Petr Haman

Zákony a pravidla 4. Agresívnost 0, 1 𝑨+𝟏=𝟏 𝑨⋅𝟎=𝟎 Důkazy: A A + 1 1 A ⋅ 0 Booleova algebra / Ing. Petr Haman

Zákony a pravidla 5. Neutrálnost 0, 1 𝑨+𝟎=𝑨 𝑨⋅𝟏=𝑨 Důkazy: 𝟏 A + 𝟎 A A ⋅ 𝟏 1 Booleova algebra / Ing. Petr Haman

Zákony a pravidla 6. Vyloučení třetího 𝑨+ 𝑨 =𝟏 𝑨⋅ 𝑨 =𝟎 Důkazy: A 𝐀 A + 𝐀 1 A ⋅ 𝐀 Booleova algebra / Ing. Petr Haman

Zákony a pravidla 7. Dvojitá negace 𝑨 =𝑨 Důkazy: A 𝐀 1 Booleova algebra / Ing. Petr Haman

Zákony a pravidla 8. Absorpce (1) 𝑨+𝑨=𝑨 𝑨⋅𝑨=𝑨 𝑨+ 𝑨⋅𝑩 =𝑨 𝑨⋅ 𝑨+𝑩 =𝑨 Důkazy – viz následující snímek Booleova algebra / Ing. Petr Haman

Zákony a pravidla 8. Absorpce (2) 1 A B A⋅B A+(A⋅B) A+B A⋅(A+B) 1 Booleova algebra / Ing. Petr Haman

Zákony a pravidla 9. Absorpce negace (1) 𝑨+ 𝑨 ⋅𝑩 =𝑨+𝑩 𝑨⋅ 𝑨 +𝑩 =𝑨⋅𝑩 𝑨 + 𝑨⋅𝑩 = 𝑨 +𝑩 𝑨 ⋅ 𝑨+𝑩 = 𝑨 ⋅𝑩 Důkazy – viz následující 4 snímky Booleova algebra / Ing. Petr Haman

Zákony a pravidla 9. Absorpce negace (2) 𝐀 B 𝐀 ⋅𝐁 A+( 𝐀 ⋅𝐁) A+B 1 Booleova algebra / Ing. Petr Haman

Zákony a pravidla 9. Absorpce negace (3) 𝐀 B 𝐀 +𝐁 A⋅ ( 𝐀 +𝐁) A⋅B 1 Booleova algebra / Ing. Petr Haman

Zákony a pravidla 9. Absorpce negace (4) 𝐀 B 𝐀⋅𝐁 𝐀 +(𝐀⋅𝐁) 𝐀 +B 1 Booleova algebra / Ing. Petr Haman

Zákony a pravidla 9. Absorpce negace (5) 𝐀 B 𝐀+𝐁 𝐀 ⋅ (𝐀+𝐁) 𝐀 ⋅B 1 Booleova algebra / Ing. Petr Haman

Zákony a pravidla 10. De Morgan 𝑨+𝑩 = 𝑨 ⋅ 𝑩 𝑨⋅𝑩 = 𝑨 + 𝑩 Důkazy: A B 𝐀+𝐁 𝐀 ⋅ 𝐁 𝐀⋅𝐁 𝐀 + 𝐁 1 Booleova algebra / Ing. Petr Haman

Použitá literatura Počítačové systémy: Booleova algebra. [online]. [cit. 2013-12-04]. Dostupné z: http://www1.osu.cz/~klimesc/public/files/Pocitacove%20s ystemy/Prednasky/04%20-%20Booleova%20algebra.pdf Blog a web o chemii, elektronice a programování: Booleova algebra. [online]. [cit. 2013-12-10]. Dostupné z: http://z-moravec.net/elektronika/booleova-algebra/ Encyklopedie fyziky: Booleova algebra. [online]. [cit. 2013-12-05]. Dostupné z: http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/1322- booleova-algebra Booleova algebra / Ing. Petr Haman