DERIVACE A MONOTÓNNOST, LOKÁLNÍ EXTRÉMY Autor: RNDr. Věra Freiová Gymnázium K. V. Raise, Hlinsko, Adámkova 55
ROLLEOVA VĚTA: Mějme funkci , která má tyto vlastnosti: a) je spojitá v uzavřeném intervalu ‹a,b› b) v každém bodě otevřeného intervalu (a,b) má derivaci c) (a) = (b) Potom existuje v otevřeném intervalu (a,b) aspoň jeden bod c, v němž ´(c) = 0. existence tečny rovnoběžné s osou x
LAGRANGEOVA VĚTA: Mějme funkci , která má tyto vlastnosti: a) je spojitá v uzavřeném intervalu ‹a,b› b) v každém bodě otevřeného intervalu (a,b) má derivaci Potom existuje v otevřeném intervalu (a,b) aspoň jeden bod c, pro který platí: existence tečny se stejnou směrnicí, jako tětiva spojující body A[a, (a)], B[b, (b)] V: Platí-li ´(x) = 0 pro každé x (a,b), potom je konstantní funkce.
Monotónnost funkce a derivace V: Má-li funkce v každém bodě intervalu (a,b) kladnou derivaci, je v tomto intervalu rostoucí. Má-li funkce v každém bodě intervalu (a,b) zápornou derivaci, je v tomto intervalu klesající. Intervaly, ve kterých je funkce rostoucí nebo klesající, se nazývají intervaly monotónnosti.
Lokální extrémy Def: Funkce má v bodě x 0 lokální maximum, existuje- li takové okolí U(x 0 ) bodu x 0, že pro všechna x z U(x 0 ) a D f platí: (x) < (x 0 ). Funkce má v bodě x 0 lokální minimum, existuje-li takové okolí U(x 0 ) bodu x 0, že pro všechna x z U(x 0 ) a D f platí: (x) > (x 0 ). V: Má-li funkce v bodě x 0 lokální extrém a existuje-li v tomto bodě derivace ´(x 0 ), pak platí: ´(x 0 ) = 0.
Zdroje: Hrubý D., Kubát J.: Matematika pro gymnázia (Diferenciální a integrální počet), Prometheus, Praha 2005