Řešení lineárních rovnic s neznámou ve jmenovateli 2. část Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Radomír Macháň. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Při řešení rovnic se používají ekvivalentní úpravy. Opakování Při řešení rovnic se používají ekvivalentní úpravy. Ekvivalentní = rovnocenný, stejný, se stejným účinkem, se stejnou platností Ekvivalentní úprava = úprava, při které rovnice původní i upravená rovnice mají stejné kořeny (řešení). Jinými slovy: Změní se matematický zápis rovnice, nikoli však rovnost stran a řešení. Rovnost dvou stran rovnice můžeme přirovnat k rovnováze na váhách.

Opakování − Ekvivalentní úpravy 1. ekvivalentní úprava rovnic Můžeme zaměnit levou a pravou stranu rovnice a rovnost se nezmění. 2. ekvivalentní úprava rovnic K oběma stranám rovnice můžeme přičíst stejné číslo (výraz) a rovnost se nezmění. 3. ekvivalentní úprava rovnic Od obou stran rovnice můžeme odečíst stejné číslo (výraz) a rovnost se nezmění. 4. ekvivalentní úprava rovnic Obě strany rovnice můžeme vynásobit stejným číslem (výrazem) různým od nuly a rovnost se nezmění. 5. ekvivalentní úprava rovnic Obě strany rovnice můžeme vydělit stejným číslem (výrazem) různým od nuly a rovnost se nezmění.

Opakování − Základní postup při řešení rovnic 1. krok Jsou-li v rovnici závorky, zbav se jich (výpočtem, roznásobením). 2. krok Jsou-li v rovnici zlomky, odstraň je (vynásob rovnici společným jmenovatelem). Průběžně Když můžeš jednotlivé strany rovnice zjednodušit, zjednoduš je (sečti, odečti, vynásob či vyděl, co se dá). 3. krok Členy s neznámou převeď na jednu stranu, ostatní členy na stranu druhou. 4. krok Vypočítej neznámou. 5. krok Urči podmínky řešitelnosti a proveď zkoušku.

Rovnice s neznámou ve jmenovateli A nyní už tedy jdeme na řešení lineárních rovnic s neznámou ve jmenovateli. Poznáš, čím se liší od těch, které jsme do dneška řešili?

Neznámá se vyskytuje ve členech vyjádřených zlomky Rovnice s neznámou ve jmenovateli A nyní už tedy jdeme na řešení lineárních rovnic s neznámou ve jmenovateli. Poznáš, čím se liší od těch, které jsme do dneška řešili? Neznámá se vyskytuje ve členech vyjádřených zlomky i ve jmenovateli těchto zlomků.

Srovnejme si řešení zadané rovnice s doposud řešenými rovnicemi. Rovnice s neznámou ve jmenovateli Vypočítej rovnici: Srovnejme si řešení zadané rovnice s doposud řešenými rovnicemi. Odstraníme zlomky − vynásobíme rovnici nejmenším společným jmenovatelem. . . 3 2

Další postup je již identický s doposud řešenými lineárními rovnicemi. Rovnice s neznámou ve jmenovateli Vypočítej rovnici: Další postup je již identický s doposud řešenými lineárními rovnicemi.

Rovnice s neznámou ve jmenovateli Vypočítej rovnici: Nedílnou součástí řešení rovnic s neznámou ve jmenovateli je i určení podmínek řešitelnosti. Nelze dělit nulou  Na úplný závěr nesmíme zapomenout ani na zkoušku! Tak ještě jednou a nyní už se vším všudy.

Rovnice s neznámou ve jmenovateli Vypočítej rovnici: Srovnejme si řešení zadané rovnice s doposud řešenými rovnicemi. Odstraníme zlomky − vynásobíme rovnici nejmenším společným jmenovatelem. Neznámá ještě nebyla ve jmenovateli. Místo ní tam byla jen čísla.

Srovnejme si řešení zadané rovnice s doposud řešenými rovnicemi. Rovnice s neznámou ve jmenovateli Vypočítej rovnici: Srovnejme si řešení zadané rovnice s doposud řešenými rovnicemi. Odstraníme zlomky − vynásobíme rovnici nejmenším společným jmenovatelem. y = y 2 = 2 3y = y . 3 6 = 2 . 3 n(y; 3y) = y . 3 = 3y n(2; 6) = 2 . 3 = 6

Srovnejme si řešení zadané rovnice s doposud řešenými rovnicemi. Rovnice s neznámou ve jmenovateli Vypočítej rovnici: Srovnejme si řešení zadané rovnice s doposud řešenými rovnicemi. Odstraníme zlomky − vynásobíme rovnici nejmenším společným jmenovatelem. / .y / .3y .3 / .2 / .6 .3 y = y 2 = 2 3y = y . 3 6 = 2 . 3 n(y; 3y) = y . 3 = 3y n(2; 6) = 2 . 3 = 6

Srovnejme si řešení zadané rovnice s doposud řešenými rovnicemi. Rovnice s neznámou ve jmenovateli Vypočítej rovnici: Srovnejme si řešení zadané rovnice s doposud řešenými rovnicemi. Odstraníme zlomky − vynásobíme rovnici nejmenším společným jmenovatelem. / .3y / .6 3

Rovnice s neznámou ve jmenovateli Vypočítej rovnici: Další postup je již identický s doposud řešenými lineárními rovnicemi, tzn. s využitím známých ekvivalentních úprav.

Na úplný závěr nesmíme zapomenout ani na zkoušku! Rovnice s neznámou ve jmenovateli Vypočítej rovnici: Nedílnou součástí řešení rovnic s neznámou ve jmenovateli je i určení podmínek řešitelnosti. Nelze dělit nulou  Na úplný závěr nesmíme zapomenout ani na zkoušku!

Rovnice s neznámou ve jmenovateli Vypočítej rovnici: Zkouška: Nyní se tedy můžeme vrátit na snímek s řešením rovnice a výsledný kořen bez obav podtrhnout a tím potvrdit správnost našich výpočtů.

Tvorbu nejmenšího společného jmenovatele si ukážeme na našem příkladu: Rovnice s neznámou ve jmenovateli Tak ještě jednou! Vypočítej rovnici: Srovnejme si ještě jednou řešení zadané rovnice s doposud řešenými rovnicemi.  Odstraníme zlomky − vynásobíme rovnici nejmenším společným jmenovatelem. Nejmenší společný jmenovatel je vlastně nejmenší společný násobek čísel představujících jednotlivé jmenovatele zlomků. Všechny jmenovatele si nejdříve rozložíme na součin prvočinitelů tak, jak jsme to udělali v tomto příkladu. 2 = 2 4 = 2 . 2 6 = 2 . 3 n(2; 4; 6) = 2 . 2 . 3 = 12 Tvorbu nejmenšího společného jmenovatele si ukážeme na našem příkladu: / .2

Tvorbu nejmenšího společného jmenovatele si ukážeme na našem příkladu: Rovnice s neznámou ve jmenovateli Tak ještě jednou! Vypočítej rovnici: Srovnejme si ještě jednou řešení zadané rovnice s doposud řešenými rovnicemi.  Odstraníme zlomky − vynásobíme rovnici nejmenším společným jmenovatelem. Z každého jmenovatele, ve kterém se vyskytuje, „vezmeme“ dvojku, a to právě jedenkrát. Nejmenší společný jmenovatel je vlastně nejmenší společný násobek čísel představujících jednotlivé jmenovatele zlomků. 2 = 2 4 = 2 . 2 6 = 2 . 3 n(2; 4; 6) = 2 . 2 . 3 = 12 Tvorbu nejmenšího společného jmenovatele si ukážeme na našem příkladu: / .2 .2 .3

Tvorbu nejmenšího společného jmenovatele si ukážeme na našem příkladu: Rovnice s neznámou ve jmenovateli Tak ještě jednou! Vypočítej rovnici: Srovnejme si ještě jednou řešení zadané rovnice s doposud řešenými rovnicemi.  Odstraníme zlomky − vynásobíme rovnici nejmenším společným jmenovatelem. Po „vyčerpání všech prvočinitelů, je nejmenší společný jmenovatel na světě! Nejmenší společný jmenovatel je vlastně nejmenší společný násobek čísel představujících jednotlivé jmenovatele zlomků. 2 = 2 4 = 2 . 2 6 = 2 . 3 n(2; 4; 6) = 2 . 2 . 3 = 12 Tvorbu nejmenšího společného jmenovatele si ukážeme na našem příkladu: / .12 / .2 .2 .3

Tvorbu nejmenšího společného jmenovatele si ukážeme na našem příkladu: Rovnice s neznámou ve jmenovateli Tak ještě jednou! Vypočítej rovnici: A stejným způsobem se „tvoří“ společný jmenovatel i v případě rovnic s neznámou ve jmenovateli. Základem je tedy rozklad na součin pomocí dvou nám již známých možností. Buď vytýkáním před závorku nebo rozkladem pomocí rozkladných vzorců. Srovnejme si ještě jednou řešení zadané rovnice s doposud řešenými rovnicemi.  Odstraníme zlomky − vynásobíme rovnici nejmenším společným jmenovatelem. Nejmenší společný jmenovatel je vlastně nejmenší společný násobek čísel představujících jednotlivé jmenovatele zlomků. 2 = 2 4 = 2 . 2 6 = 2 . 3 n(2; 4; 6) = 2 . 2 . 3 = 12 Tvorbu nejmenšího společného jmenovatele si ukážeme na našem příkladu: / .12

Tak to tedy zkusme v našem příkladu: Rovnice s neznámou ve jmenovateli Vypočítej rovnici: Tak to tedy zkusme v našem příkladu: / .2 .3 .x

Tak to tedy zkusme v našem příkladu: Rovnice s neznámou ve jmenovateli Vypočítej rovnici: Tak to tedy zkusme v našem příkladu: / .2 .3 .x 3 2 Podmínky:

Rovnice s neznámou ve jmenovateli Vypočítej rovnici: Zkouška pro x = 1:

Rovnice s neznámou ve jmenovateli Vypočítej rovnici: Zkouška pro x = - 1:

Rovnice s neznámou ve jmenovateli Vypočítej další rovnici:

Rovnice s neznámou ve jmenovateli Vypočítej další rovnici: / .2 .3 .x Podmínky:

Rovnice s neznámou ve jmenovateli Vypočítej další rovnici: Zkouška:

Příklady k procvičení: Vyřeš rovnici:

Příklady k procvičení: Vyřeš rovnici: Podmínky: Zkouška:

Příklady k procvičení: Vyřeš rovnici:

Příklady k procvičení: Vyřeš rovnici: Podmínky: Zkouška:

Příklady k procvičení: Vyřeš rovnici:

Příklady k procvičení: Vyřeš rovnici: Podmínky: Zkouška:

Použité obrázky: Všechny uveřejněné odkazy [cit. 2010-05-07]. Dostupné pod licencí Public domain na WWW: <http://www.clker.com/clipart-blackboard.html>