Základy infinitezimálního počtu Elementární funkce Iracionální a nealgebraické

Inverzní funkce V minulé kapitole jsme si připomenuli elementární funkce algebraické. Pro definování a sestrojení grafů některých dalších elementárních funkcí (iracionálních a nealgebraických) si musíme připomenout funkci inverzní. Víme již co znamená pojem prostá funkce, Pak řekneme, že funkce f -1 je inverzní funkcí k prosté funkci f právě, když platí: 𝐷 𝑓 −1 = 𝐻 𝑓 𝑓(𝑥) = 𝑦  𝑓 −1 𝑦 =𝑥 Například: Máme dánu funkci f: y=2x-3, její definiční obor i obor hodnot jsou reálná čísla. Pak funkční předpis funkce f -1 určíme upravením předpisu funkce f takto: zaměníme x a y a získáváme : 𝑥=2𝑦−3  𝑥+3=2y  předpis inverzní funkce 𝑓 −1 je: 𝒚= 𝟏 𝟐 𝒙+ 𝟑 𝟐 , 𝐷 𝑓 =𝑅, 𝐻 𝑓 =𝑅 x1; x2Df platí: x1 x2  f(x1)  f(x2)

Inverzní funkce příklad Je dána funkce 𝑓(𝑥) = 3𝑥−2 2𝑥+5 . Najděte k funkci f funkci inverzní. zobraz postup řešení Sestrojte graf funkce f i funkce k ní inverzní. zobraz postup řešení Je dána funkce f(x) = x2 -1, x  0; 5.

Inverzní funkce příklad - řešení Je dána funkce 𝑓(𝑥) = 3𝑥−2 2𝑥+5 . Najděte k funkci f funkci inverzní. Nejdříve určíme definiční obory a obory hodnot obou funkcí. D f =R− −5 2 , H f =R − 3 2 def D f −1 = H f 𝐷 𝑓 −1 =R − 3 2 a 𝐻 𝑓 −1 =R − −5 2 . Pak zaměníme proměnné a upravíme předpis funkce. 𝑥= 3𝑦−2 2𝑦+5 2xy +5x = 3y – 2 y(2x – 3) = -5x - 2 Pak předpis inverzní funkce je: 𝒇 −𝟏 :𝐲= −𝟓𝒙−𝟐 𝟐𝒙−𝟑 , 𝑫 𝒇 =𝑹− 𝟑 𝟐 , 𝑯 𝒇 =𝑹− −𝟓 𝟐 Zpět

Inverzní funkce příklad - řešení Sestrojte graf funkce f i funkce f -1 k funkci f inverzní. 1. daná funkce 2. funkce inverzní 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙−𝟐 𝟐𝒙+𝟓 𝐷 𝑓 =R − −5 2  asymptota x = −5 2 𝐻 𝑓 =R − 3 2  asymptota y = 3 2 Graf dané funkce a funkce k ní inverzní je souměrný podle přímky x = y 𝒇 −𝟏 : 𝒚= −𝟓𝒙−𝟐 𝟐𝒙−𝟑 𝐷 𝑓 −1 =R − 3 2  asymptota x = 3 2 𝐻 𝑓 −1 =R − −5 2  asymptota y = −5 2 Zpět

Inverzní funkce příklad - řešení Je dána funkce f(x) = x2 -1, x  0; 5. Najděte k funkci f funkci inverzní. Určíme definiční obory a obory hodnot funkcí D f = 0; 5 def H f −1 = 𝐷 f 𝐻 𝑓 −1 = 0;5 . H f = −1;24 def D f −1 = 𝐻 f 𝐷 𝑓 −1 = −1;24 . Zaměníme proměnné a upravíme předpis funkce. 𝑥= 𝑦 2 −1 x + 1 = y 2 𝑦= 𝑥+1 Pak předpis inverzní funkce je: 𝒇 −𝟏 :𝐲= 𝒙+𝟏 , 𝑫 𝒇 = −𝟏;𝟐𝟒 , 𝑯 𝒇 = 𝟎;𝟓 Zpět

Inverzní funkce příklad - řešení Sestrojte graf funkce f i funkce f -1 k funkci f inverzní. 1. daná funkce vrchol paraboly V[0;-1] 2. funkce inverzní f(x) = x2 −1 ,Df = 0; 5 část grafu dané funkce, kde x není prvkem definičního oboru x 1 3 f(x) 8 𝑓 −1 :y= 𝑥+1 ,Df =  -1;24  x -1 3 15 f(x) 2 4 Další Zpět

Inverzní funkce cvičení Určete k dané funkci předpis funkce inverzní: vzor – y=(4x-9)^0,5+7 – bez mezer (^0,5 = druhá odmocnina) 𝑦=− 1 2 𝑥+4 𝑦=−𝑥+3 𝑦= 1 2 𝑥 2  𝑥∈ 0; ∞) 𝑦= 𝑥 2 −6𝑥+5  𝑥∈ 3; ∞)

Iracionální funkce Iracionální funkce je každá algebraická funkce, která není racionální. Uvedeme si některé příklady iracionálních funkcí 𝑓 𝑥 = 𝑥 −2, Df = 0;+∞) 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 +1, Df = R 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 −2, Df = (0;+∞) 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 𝑥 +1, Df = R –{0}

Nealgebraické funkce Mezi nealgebraické funkce se kterými jsme se v předchozích ročnících seznámili patří: Exponenciální funkce – funkce daná předpisem 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 ,𝑘𝑑𝑒 𝑎∈ 𝑅 + − 1 x∈𝑅. dále inverzní funkce k funkci exponenciální, funkce logaritmická 𝑓 𝑥 = log 𝑎 𝑥 , 𝑘𝑑𝑒 𝑎∈ 𝑅 + − 1 ,x∈ 𝑅 + a goniometrické funkce – sin x, cos x funkce periodické s periodou 2, Df = R, – tg x, cotg x s periodou , definiční obor tg x je R – {(2k+1) 𝜋 2 },kZ, pro cotg x je Df = R – {k},kZ.

Exponenciální funkce Exponenciální funkce o základu 10 se nazývá dekadická exponenciální funkce. 𝑓 𝑥 = 10 𝑥 V praktickém užití funkcí, zejména ve fyzice a technice, je velmi důležitá přirozená exponenciální funkce. Je to funkce o základu e – Eulerovo číslo. 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 , 𝑘𝑑𝑒 𝑒 = 2,718 Graf exponenciální funkce je tzv. exponenciální křivka (exponenciála). Graf každé exponenciální funkce prochází bodem [0; 1], protože 𝑎 0 =1. Základní vlastnosti exponenciálních funkcí – jsou závislé na hodnotě základu a 0 < a < 1 D f =R, H f = 0; ∞ zdola omezená - a x >0, není shora omezená je klesající (prostá) nemá maximum ani minimum a > 1 D f =R, H f = 0; ∞ zdola omezená - a x >0, není shora omezená je rostoucí (prostá) nemá maximum ani minimum

Logaritmická funkce Logaritmická funkce o základu a je funkce inverzní k funkci exponenciální o stejném základu a. Z definice inverzní funkce vyplývá, že definiční obor logaritmické funkce se rovná oboru hodnot funkce exponenciální a naopak, tedy Df = R+ a Hf = R Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy. Logaritmická funkce o základu 10 se nazývá dekadická logaritmická funkce. 𝑓 𝑥 = log 10 𝑥 = 𝐥𝐨𝐠 𝒙 Logaritmická funkce o základu e je přirozená logaritmická funkce. 𝑓 𝑥 = log 𝑒 𝑥=𝒍𝒏𝒙 Základní vlastnosti logaritmických funkcí – jsou závislé na hodnotě základu a 0 < a < 1 D f = 0; ∞ , H f =R není omezená je klesající (prostá) nemá maximum ani minimum a > 1 D f = 0; ∞ ,H f =R není omezená je rostoucí (prostá) nemá maximum ani minimum

Graf exponenciální a logaritmické funkce Připomeneme si průběhy základních exponenciálních a logaritmických funkcí 𝑓(𝑥)= 1 2 𝑥 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑧𝑛í 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑐𝑒: 𝑓−1 𝑥 = log 1 2 𝑥 𝑓(𝑥)= 2 𝑥 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑧𝑛í 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑐𝑒: 𝑓−1 𝑥 = log 2 𝑥

Exponenciální a logaritmické funkce cvičení Určete všechny hodnoty reálného parametru q tak, aby daná funkce byla: vzor - 5 < q < 10 Rostoucí - 𝑦= 1 𝑞 𝑥 Klesající - 𝑦= 𝑞+1 𝑞 2 −1 𝑥 Určete definiční obory funkcí - vzor - x < -12 𝑦= log 3 𝑥+6 𝑦= log 1 5 𝑥+5 𝑥

Goniometrické funkce sin x, cos x Definujeme goniometrické funkce. Zvolíme si kartézskou soustavu souřadnic Oxy a sestrojíme jednotkovou kružnici. Pak souřadnici ym nazýváme sinus  a souřadnici xm cosinus  a platí ym = sin, xm = cos pro každé  R. Základní vlastnosti funkce sinus D f =R, H f = −1;1 lichá funkce omezená periodická s periodou 2 y M [xm; ym] sin Souřadnice bodu M (průsečík koncového ramene orientovaného úhlu  v obloukové míře) jsou reálná čísla xm a ym.  O cos  x Základní vlastnosti funkce cosinus D f =R, H f = −1;1 sudá funkce omezená periodická s periodou 2

Goniometrické funkce tg x, cotg x Funkci tg x definujeme jako podíl funkcí sinus a cosinus 𝑡𝑔 𝑥= sin 𝑥 cos 𝑥 𝑝𝑟𝑜 𝑘𝑎ž𝑑é 𝑥∈𝑅− 𝑘∈𝑍 2𝑘+1 𝜋 2 Základní vlastnosti funkce tangens D f = x∈R:x≠ 2k+1 π 2 , H f =R lichá funkce není omezená periodická s periodou  y cotg x M Sin x tg x x O cos x x Funkci cotg x definujeme jako podíl funkcí cosinus a sinus 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥= cos 𝑥 sin 𝑥 𝑝𝑟𝑜 𝑘𝑎ž𝑑é 𝑥∈𝑅− 𝑘∈𝑍 𝑘𝜋 Základní vlastnosti funkce cotangens D f = x∈R:x≠kπ , H f =R lichá funkce není omezená periodická s periodou  -2 -  2

Graf goniometrické funkce Průběh goniometrické funkce sestrojujeme převážně v intervalu 0; 2. f(x) = sin(2x) f(x) = sin(2x) + 1 f(x) = cos 𝑥 2 f(x) = cos 𝑥 2 − 𝜋 2 𝜋 2 3𝜋 2  2 f(x) = tg(2x) f(x) = tg(2x) - 2 f(x) = cotg 𝑥 2 f(x) = cotg 𝑥 2 + 𝜋 2

Goniometrické funkce cvičení Určete periodu dané funkce a průsečíky s osou x v intervalu 0; 2. vzor - p=2pí,[2/3pí;0],[4/3pí;0] - bez mezer 𝑦=𝑠𝑖𝑛 1 2 𝑥 𝑦=− 1 2 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑦=𝑡𝑔 2𝑥 𝑦=𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 2 − 𝜋 3

Elementární funkce shrnutí V této kapitole jsme si připomenuli pojmy: Toto jsou základní elementární iracionální a nealgebraické funkce a jejich vlastnosti. V další kapitole se seznámíme s novými pojmy, spojitost funkce a okolí bodu.

Použitá literatura Přehled užité matematiky, Karel Rektorys a spolupracovníci Přehled středoškolské matematiky, Josef Polák Matematika pro gymnázia – Funkce, Doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc. Matematika pro gymnázia – Diferenciální a integrální počet, RNDr. Dag Hrubý, RNDr. Josef Kubát Matematika – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy, RNDr. Jindra Petáková