EU-8-46 – DERIVACE FUNKCE II Škola: Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0616 Název projektu: Inovace výuky Číslo a název šablony klíčové aktivity: EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Tematická oblast: Volitelný předmět matematika (matematický seminář) EU-8-46 – DERIVACE FUNKCE II (geometrický a fyzikální význam derivace funkce) Anotace Geometrický a fyzikální význam derivace funkce. Autor PaedDr. Milan Rieger Jazyk Čeština Očekávaný výstup Žák chápe geometrický a fyzikální význam derivace funkce, umí řešit úlohy o tečně a normále k dané elementární funkci v bodě dotyku. Klíčová slova Derivace funkce v bodě, směrový úhel přímky, směrnice přímky, tečna a normála k funkci v bodě, dráha, rychlost a zrychlení volného pádu. Druh učebního materiálu Pracovní list / Animace / Obrázky / Testy Druh interaktivity Aktivita / Výklad / Test / Kombinace Cílová skupina Žák Stupeň a typ vzdělávání Střední vzdělávání Typická věková skupina 17 – 19 let Datum vytvoření 17. 12. 2012

a a  < 0°; 180°) a  < 0; ) k 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° OPAKOVÁNÍ – SMĚROVÝ ÚHEL a PŘÍMKY p a  < 0°; 180°) a  < 0; ) DOPLŇTE TABULKU a 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° k

– SMĚRNICE k PŘÍMKY p – SMĚRNICOVÝ TVAR ROVNICE PŘÍMKY p

ÚLOHA Známe směrnici přímky p ( k = tga ). Bodem T vedeme k přímce p kolmici n. Vyjádřete směrnici přímky n (označíme ji např. kn) pomocí směrnice k.

ŘEŠENÍ ÚLOHY

PŘÍKLAD 1 Napište obecnou rovnici přímky p, která prochází bodem T [1; 5] a má směrový úhel a = 30. Potom napište obecnou rovnici přímky n, která prochází bodem T kolmo k přímce p.

GEOMETRICKÝ VÝZNAM DERIVACE FUNKCE f(x) V BODĚ x0 směrnice tečny t směrnice kTL sečny TL Derivace funkce f(x) v bodě x0 udává směrnici tečny t (kt) k funkci f(x) v bodě T[x0; f(x0)]. Rovnice tečny t: y – f(x0) = f'(x0) (x – x0).

PŘÍKLAD 2 Napište rovnici tečny t a normály n (přímka kolmá k tečně t v bodě dotyku T) k funkci f(x) = x2 v bodě T [1; 1]. Nakreslete graf funkce, zobrazte bod dotyku T, tečnu a normálu. Vypočítáme derivaci funkce f(x) = x2 v bodě x0 = 1. Dostaneme směrnici tečny t k funkci f(x) = x2 v bodě x0 = 1. Souřadnice bodu dotyku T[1; 1] (x0 = 1; f(x0) = 1) a směrnici tečny kt = 2 = f '(x0) dosadíme do rovnice tečny t: y – f(x0) = f '(x0) (x – x0). t: y – 1 = 2 . (x – 1)  y – 1 = 2 x – 2  t: 2 x – y – 1 = 0 (obecná rovnice tečny). Vypočítáme směrnici normály kn. Souřadnice bodu dotyku T[1; 1] (x0 = 1; f(x0) = 1) a směrnici normály kn = -0,5 dosadíme do rovnice normály n: y – f(x0) = kn (x – x0). n: y – 1 = (– 0,5) . (x – 1)  y – 1 = – 0,5 x + 0,5  n: x + 2 y – 3 = 0 (obecná rovnice normály).

PŘÍKLAD 2 – graf funkce f(x) = x2 s tečnou a normálou v bodě T[1; 1].

Vidíme, že derivací rychlosti v dle času t je tíhové zrychlení g. PŘÍKLAD 3 – fyzikální význam derivace Volný pád je rovnoměrně zrychlený pohyb se zrychlením g (gravitační zrychlení) a s nulovou počáteční rychlostí, rychlost směřuje svisle dolů. Velikost dráhy s volného pádu v čase t je dána následujícím vzorcem Máme vypočítat derivaci dráhy s volného pádu v čase t0. Vidíme, že derivací dráhy s dle času t je okamžitá rychlost v volného pádu v čase t. s' = v = g . t Máme vypočítat derivaci rychlosti v volného pádu v čase t0. Vidíme, že derivací rychlosti v dle času t je tíhové zrychlení g. v' = g

 AUTOTEST Napište rovnici tečny t a normály n k funkci f(x) v bodě T [x0; f(x0)]. Nakreslete graf funkce, zobrazte bod dotyku T, tečnu a normálu. f(x) = x3 ; T [-1; -1] f(x) = x4 ; T [1; 1] f(x) = 1/x ; T [1; 1] f(x) = 1/x2 ; T [1; 1] f(x) = x2 + 1 ; T [1; 2]

 AUTOTEST – ŘEŠENÍ ÚLOH Úloha 1: f(x) = x3 ; T [-1; -1] Úloha 2: f(x) = x4 ; T [1; 1]

 AUTOTEST – ŘEŠENÍ ÚLOH Úloha 3: f(x) = 1/x ; T [1; 1] Úloha 4: f(x) = 1/x2 ; T [1; 1]

 AUTOTEST – ŘEŠENÍ ÚLOH Úloha 5: f(x) = x2 + 1 ; T [1; 2] Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.