Přednáška 12 Diferenciální rovnice jiri.cihlar@ujep.cz Katedra informatiky a geoinformatiky Fakulta životního prostředí Univerzita Jana Evangelisty Purkyně Matematika II. KIG / 1MAT2 Přednáška 12 Diferenciální rovnice jiri.cihlar@ujep.cz

O čem budeme hovořit: Které rovnice jsou „diferenciální“? Typy diferenciálních rovnic Separace proměnných Variace konstant Brouk na gumě Lineární rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty

Které rovnice jsou „diferenciální“?

S jakými rovnicemi jsme se již setkali? Známe rovnice, kde hledaným objektem je číslo (lineární a kvadratické, iracionální, logaritmické a exponenciální, goniometrické, atd.). Při řešení soustav lineárních rovnic jsme zmiňovali maticovou rovnici, kde neznámou byl vektor - matice typu (n,1). Podobně můžeme sestavovat další typy rovnic pro objekty libovolné algebraické struktury (na objektech musí být definovány relace a operace).

Jak vypadají diferenciální rovnice? Hledaným objektem u diferenciálních rovnic je funkce (v našem případě u tzv. obyčejných diferenciálních rovnic reálná funkce y = f(x) jedné reálné proměnné). Pro diferenciální rovnice je typické, že kromě neznámé y se v rovnici vyskytují i derivace, tedy y´, y´´ , y (3) , y (4) , atd. Diferenciální rovnice má tedy obecný tvar F ( y (n), y (n-1) , … , y´´, y´, y , x ) = 0

Typy diferenciálních rovnic

Řád diferenciální rovnice Řádem diferenciální rovnice budeme nazývat řád nejvyšší derivace neznámé funkce y, která se v rovnici vyskytuje. Příklady: ln x . y (3) + 3 . y´ - sin x = 0 DR třetího řádu ( y´´)2 . sin (y´) + y = 2x DR druhého řádu F ( y´, y , x ) = 0 DR prvního řádu

Lineární diferenciální rovnice Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu má tvar an(x) . y (n) + … + a1(x) . y´+ a0(x) . y = b(x) . Je-li pravá strana rovnice nulová funkce, nazývá se tato rovnice homogenní. Jsou-li koeficienty na levé straně rovnice konstantní funkce (reálná čísla), nazývá se rovnice s konstantními koeficienty.

Příklad diferenciální rovnice Uvažujme systém parabol, které jsou popsány rovnicí s parametrem C y = x 2 – C . x . Jak tyto paraboly popsat diferenciální rovnicí? Paraboly.fig Systém parabol popisuje lineární diferenciální rovnice prvního řádu: x . y´ - y = x 2

Separace proměnných

Jak postupovat při separaci? Některé jednoduché diferenciální rovnice můžeme upravit na tvar rovnosti diferenciálů funkcí proměnné y a proměnné x. Pak stačí provést integraci obou stran rovnosti. Příklad: Řešme rovnici

Obecné a partikulární řešení Integrační konstanta způsobí, že diferenciální rovnici vyhovuje nekonečně mnoho konkrétních funkcí. Často hledáme jen jednu z těchto funkcí, která vyhovuje tzv. počáteční podmínce. Příklad: Nalezněme funkci, která je řešením rovnice x 2. y´- y 2 = 1 a prochází bodem [1;1].

Variace konstant

Jak postupovat při variaci konstant? U některých diferenciálních rovnic je vhodné nejprve vyřešit příslušnou homogenní rovnici, a pak předpokládat řešení, kde „integrační konstanta je funkcí proměnné x“. Příklad: Řešme rovnici Příslušná homogenní rovnice: Její řešení je:

Z konstanty se stane funkce! A nyní řešení nehomogenní rovnice budeme předpokládat ve tvaru: Pak získáme, že: Integrací per partes obdržíme: Závěr: obecné řešení původní rovnice je

Příklad navazující na motivaci Systém parabol y = x 2 – C . x jsme popsali diferenciální rovnicí x . y´ - y = x 2 . Jak postupovat obráceně - tedy jak tuto rovnici vyřešit? Příslušná homogenní rovnice: Její řešení separací: Předpoklad variace: Obecné řešení rovnice:

Brouk na gumě

Zadání úlohy Jeden konec vodorovného gumového vlákna délky d = 1 m je pevný a druhý konec se v čase t = 0 sekund začne pohybovat rychlostí c = 1 m/s . Na pevném konci vlákna sedí brouk, který v čase t = 0 sekund začne lézt po vlákně rychlostí v = 1 dm/s . Doleze někdy brouk na vzdalující se konec vlákna?

Matematická formulace úlohy V čase t je rychlost brouka rovna součtu jeho vlastní rychlosti v a „unášecí rychlosti“ způsobené natahováním vlákna: To je nehomogenní lineární diferenciální rovnice prvního řádu pro neznámou funkci s(t) : Vyřešme ji:

Obecné řešení diferenciální rovnice Příslušná homogenní rovnice je: Separací proměnných získáme: Předpoklad pro variaci: Funkce K(t) má tvar: Obecné řešení tedy je:

Partikulární řešení Integrační konstanta L v obecném řešení musí vyhovovat okrajové podmínce s(0) = 0 . Proč? Odtud vypočítáme: Partikulární řešení, popisující závislost dráhy uražené broukem na čase, tedy je:

Doleze brouk na konec vlákna anebo ne? Musela by být splněna podmínka: To nastane právě tehdy, když: Odtud vypočítáme čas t , v kterém brouk dorazí na konec vlákna: Pro hodnoty ze zadání úlohy můžeme vypočítat: brouk - graf.xls

Lineární rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty

Jak řešit tyto rovnice? Soustředíme se na homogenní rovnice: a2 . y ´´ + a1 . y´+ a0 . y = 0 . Jejich řešení budeme předpokládat ve tvaru Derivováním a dosazením získáme pro neznámou a tzv. charakteristickou rovnici. Její kořeny určují dvě základní řešení y1 a y2 . Obecná řešení homogenní rovnice vytvářejí vektorový prostor dimenze 2 s bází y1 a y2 .

Příklad Řešme diferenciální rovnici: Charakteristická rovnice je: Řešeními jsou tedy funkce: Obecné řešení homogenní rovnice je pak jejich lineární kombinací:

Děkuji za pozornost