STEREOMETRIE metrické vlastnosti TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR Poznámky ve formátu PDF Mgr. Martina Fainová STEREOMETRIE metrické vlastnosti

Odchylka dvou přímek Odchylka  přímek a, b je úhel přímek a´, b´, které procházejí libovolným bodem M a jsou rovnoběžné s původními přímkami. Poznámka: 1) Odchylka dvou rovnoběžných přímek je 0. 2) Odchylku mimoběžek převedeme na odchylku dvou různoběžek.

Cvičení Př. 1: Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku přímek a) AB, EG b) AH, CF c) AH, BE d) AD, GF e) AC, AG 45 90 60 ? 0 3516´ Př. 2: Je dán pravid. čtyřboký jehlan ABCDV, jehož stěny jsou rovnostr. ∆-ky. Určete odchylku přímek AB, CV. 60 Př. 3: Je dán kvádr ABCDEFGH: |AB|=6 cm, |BC|=3 cm, |AE|=8 cm. Určete odchylku přímek EG, BD. 538´

Odchylka přímky a roviny Odchylka přímky a roviny je rovna úhlu, který svírá přímka se svým pravoúhlým průmětem do této roviny. Odchylka dvou rovin Odchylka dvou rovin je rovna odchylce jejich průsečnic s třetí rovinou, která je k oběma rovinám kolmá.

Cvičení Př. 1: Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku roviny ABC a přímky BH. 3516´ ? Př. 2: Je dán kvádr ABCDEFGH: |AB|=4,5 cm, |BC|=3 cm, |AE|=3,8 cm, bod S je střed horní podsta- vy. Určete odchylku přímky BS a rovin ABF. ? 1846´ Př. 3: Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku rovin ACF a ACH. 7031´ ? Př. 4: Je dán pravid. čtyřboký jehlan ABCDV, |AB|=5 cm, |AV|=7 cm. Početně i graficky určete odchylku roviny boční stěny a roviny podstavy. ? 6731´

Dvě přímky jsou k sobě kolmé právě tehdy, když je jejich odchylka 90°. Kolmost přímek a rovin Dvě přímky jsou k sobě kolmé právě tehdy, když je jejich odchylka 90°. Platí: p  q a q  r  p  r nebo jsou mimoběžné p  q a q  r  p  r nebo jsou mimoběžné Vymodelujte Přímka k je kolmá k rovině  právě tehdy, je-li kolmá ke všem přímkám této roviny. Průsečík kolmice s rovinou je pata kolmice.

Kolmost přímek a rovin Platí: Kritérium kolmosti: Je-li přímka kolmá ke dvěma různoběžkám roviny, pak je kolmá k rovině. p   a q   p   a q  p   p a   p p   a p   Platí: p  q q         Věta 1: Daným bodem lze vést k rovině jedinou kolmici. Věta 2: Daným bodem lze vést k dané přímce jedinou kolmou rovinu.

Kolmost rovin Dvě roviny jsou k sobě kolmé právě tehdy, když jedna z nich obsahuje přímku kolmou k druhé rovině. Rovina je kolmá ke dvěma různoběžným rovinám právě tehdy, je-li kolmá k jejich průsečnici.

Cvičení Př. 1: Body K, L, M, N jsou po řadě středy hran EH, CD, AE, CG krychle ABCDEFGH. Ověřte kolmost : a) ↔ HM, ↔EF b) ↔AL, ↔BK c) ↔FH, ACG ? Př. 2: Vrcholem E krychle ABCDEFGH veďte přímku kolmou k rovině AFH. EC ? Př. 3: Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Najděte rovinu kolmou k rovinám ADV a BCV. ? rovina S1S2V; S1 - střed AD, S2 - střed BC

Vzdálenost bodů A, B je délka úsečky AB. Vzdálenost bodu Vzdálenost bodů A, B je délka úsečky AB. Vzdálenost bodu A od přímky p je rovna vzdálenosti bodů AP, kde P je pata kolmice vedené bodem A k přímce p. Vzdálenost bodu A od roviny  je rovna vzdálenosti bodu A a jeho pravoúhlého průmětu A´ do roviny .

Cvičení Příklad 1: Je dán pravid. čtyřboký hranol ABCDA´B´C´D´, |AB|= 4 cm, |AA´|= 5,5 cm. Vypočtěte vzdá- lenost bodu B od přímky AD AC C´D´ 4 cm AD AC 6,18 cm 2,82 cm 3,45 cm 6,8 cm Příklad 2: Je dána krychle ABCDEFGH s a = 5 cm, S je střed podstavy. Určete vzdálenost a) bodu S od roviny BCG b) bodu E od roviny AFH 2,5 cm 2,89 cm

Vzdálenosti přímek a rovin Vzdálenost dvou  přímek je vzdálenost libovolného bodu jedné přímky od druhé přímky. Vzdálenost dvou mimoběžných přímek je velikost úsečky PQ; P, Q jsou průsečíky mimoběžek s přímkou k oběma kolmou. Vzdálenost dvou  rovin je vzdálenost libovolného bodu jedné roviny od druhé roviny. Vzdálenost přímky od roviny s ní rovnoběžné je vzdálenost libovolného bodu přímky od této roviny.

Cvičení Př. 1: Je dána krychle ABCDEFGH o délce hrany a. Určete vzdálenost a) přímek AB a GH b) rovin ABC a FGH c) přímky EG od roviny ABC ? a a Př. 2: Je dána krychle ABCDEFGH s délkou hrany 6 cm, bod M je bodem hrany EH. Určete vzdálenost mimoběžek ? a) AB a FG b) AC a FM v = |BF| = 6 cm v = |PQ| = 6 cm, Q je průsečík FM a EG