NORMOVANÉ NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ ZÁKLADNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ NORMOVANÉ NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ

NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ  Aplikuje se tam, kde náhodná veličina  nabývá jakékoliv hodnoty z teoreticky nekonečného intervalu - < x <  (např. výsledky měření délky, hmotnosti, tvrdosti, kyselosti atd.).  Na náhodnou veličinu působí s malou intenzitou řada vzájemně nezávislých náhodných vlivů.  Normální rozdělení N ( m , s2 ) závisí na dvou parametrech, střední hodnotě m a rozptylu s2 .

hustota pravděpodobnosti : f (x) = distribuční funkce : F (x) = Střední hodnota : E (  ) = m rozptyl : D (  ) = s2 .

Příklad: Hustota pravděpodobnosti normálních rozdělení N1(0; 0,25) , s parametry  = 0 a 2 = 0,25 ( = 0,5), N2(0; 1) , s parametry  = 0 a 2 = 1 ( = 1), N3(0; 4) , s parametry  = 0 a 2 = 4 ( = 2). 0,023 0,159 0,309

Příklad: Distribuční funkce normálních rozdělení N1(0; 0,25) , s parametry  = 0 a 2 = 0,25 ( = 0,5), N2(0; 1) , s parametry  = 0 a 2 = 1 ( = 1), N3(0; 4) , s parametry  = 0 a 2 = 4 ( = 2). 0,309 0,159 0,023

V intervalu   - ,  +   leží 68,26 % všech pozorování, mimo tento interval leží 215,87 %, t.j. 31,74 %. V intervalu   - 2,  + 2  leží 95,44 % všech pozorování, mimo tento interval leží 22,28 %, t.j. 4,56 %. V intervalu   - 3,  + 3  leží 99,73 % všech pozorování, mimo tento interval leží 20,135 %, t.j. 0,27 % (2 700 ppm). V intervalu   - 4,  + 4  leží 99,994 % všech pozorování, mimo tento interval leží 20,003 %, t.j. 0,006 % (60 ppm). V intervalu   - 5,  + 5  leží 99,99994 % všech pozorování, mimo tento interval leží 20,00003 %, t.j. 0,00006% (0,6 ppm). V intervalu   - 6,  + 6  leží 99,999999999 % všech pozorování, mimo tento interval leží 20,000000001%, t.j. 0,000000002% (0,002 ppm).

68,27%

95,45%

99,73%

NORMOVANÉ NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ Transformace náhodné veličiny  , rozdělené N(, 2), odstraňuje závislost na parametrech  a 2 . Nová náhodná veličina  má normální rozdělení N(0,1) se střední hodnotou 0 a rozptylem 1 a nabývá hodnot Potom hustota pravděpodobnosti : a distribuční funkce : Střední hodnota : E (h ) = 0 a rozptyl : D ( h ) = 1 .

Tabulka kvantilů rozdělení N(0, 1) Hodnoty kvantilů u náhodné veličiny  , rozdělené N(0, 1), jsou hodnoty u vyhovující rovnici jsou tabelovány pro hodnoty 0,001    0,999. Jelikož platí u1- = - u , jsou uvedeny pouze hodnoty kvantilů pro 0,5    1 . Pro výpočet kvantilů x  náhodné veličiny  rozdělené N(  , 2 ) se použije vztah x =  + u .

PŘÍKLAD : Pro  = 0,925 je u = u0,925 = 1,44 ; pro  = 0,075 je u = u0,075 = u1–0,925 = –u0,925 = –1,44 . Uvažujme náhodnou veličinu  rozdělenou N(, 2) = N(3; 0,25). Potom vzhledem k tomu že s = 0,5 je pro  = 0,925 je x = x0,925 =  + u  = 3 + 1,44  0,5 = 3,72, pro  = 0,075 je x = x0,075 =  + u  = 3 + (-1,44)  0,5 = 2,28. Pod hodnotou 3,72 bude ležet v průměru 92,5% všech pozorování, resp. pod hodnotou 2,28 bude ležet v průměru 7,5% všech pozorování.

POZNÁMKA: V některých aplikacích, zejména v SPC, se označují kvantily normovaného normálního rozdělení up symbolem z . Jsou tabelovány podíly pz pro z  což jsou podíly nad hodnotou  + z  nebo pod hodnotou  – z  pro normální rozdělení N(, 2). Hodnota z představuje vzdálenost od střední hodnoty v jednotkách směrodatné odchylky. Příklad: Pro z = 2, je pz = 0,0228 . Nad hodnotou  + 2 , stejně jako pod hodnotou  –2 leží v průměru podíl 0,0228 jednotek .

Hustota pravděpodobnosti (u) rozdělení N(0, 1) Hustoty pravděpodobnosti normovaného normálního rozdělení N(0,1) jsou tabelovány pro 0  u  3,99 , pro – 3,99  u   0 je  (–u) =  (u) . Pro normální rozdělení N(, 2) je hustota pravděpodobnosti rovna

Zakreslení křivky hustoty pravděpodobnosti rozdělení N(, 2) do histogramu Do histogramu s šířkou třídních intervalů h a celkovým počtem pozorování n ( n = , nj ; j = 1, 2, ... , k ; jsou třídní četnosti) zakreslíme křivku normálního rozdělení relativních četností: případně křivku rozdělení absolutních třídních četností:

PŘÍKLAD : Bylo proměřeno n = 200 průměrů čepů z výrobního procesu. Byl vypočten výběrový průměr = 23,416 mm (odhad ) a směrodatná odchylka s = 0,108 mm (odhad ) . Údaje byly seskupeny do tříd šířky h = 0,05 mm a sestrojen histogram . Do histogramu zakreslíme křivku hustoty pravděpodobnosti odpovídající normálnímu rozdělení N(23,416; 0,1082) Pro bod x = 23,34 mm je u = ( x - ) /  = (23,340 - 23,416) / 0,108 = -0,7037 a (u) = (-0,70) = 0,3123. Potom fh,re(x) = h (u) /  = f0,05;re(23,34) = 0,05 * 0,3123 / 0,108 = 0,1446 a fh,ab(x) = n fh,re(x) = f0,05,ab(23,34) = 200 * 0,1446 = 28,92.

Zakreslení křivky normálního rozdělení N(23,416; 0,1082) do histogramu z n = 200 pozorování seskupených do 12 tříd šířky h = 0,05. 28,92 0,1446

Bodové odhady parametrů  a  Využití normálního rozdělení v praxi předpokládá znalost: – parametru polohy  a – parametru rozptýlení (variability)  . Výstupy z experimentu mohou mít různé formy : 1) Jediný náhodný výběr rozsahu n jednotek : x1, x2, x3, ..., xn . a) výběrový průměr ; b) výběrový medián Me = x(k) , kde k = (n+1)/2 pro n liché a Me = (x(k) + x(k+1))/2 , kde k = n/2 pro n sudé ; c) výběrový rozptyl ; d) výběrová směrodatná odchylka ; e) výběrové rozpětí R = xmax - xmin = x(n) - x(1).

Odhady :   resp.   Me ; 2  s2 ;   s resp.   R / d2 . Konstanty d2 a C4 závislé na rozsahu náhodného výběru n jsou tabelovány (tabulka č. 2. v ČSN ISO 8258).

2) k podskupin stejného rozsahu po n jednotkách. ( n1 = n2 =. = nj = 2) k podskupin stejného rozsahu po n jednotkách ( n1 = n2 = ... = nj = ... = nk = n ) . a) celkový výběrový průměr: ; b) průměrný výběrový medián: ;

Odhady:   resp.   ; 2  ;   resp.   resp.   c) průměrný výběrový rozptyl: ; d) průměrná výběrová směrodatná odchylka: ; e) průměrné výběrové rozpětí: . Odhady:   resp.   ; 2  ;   resp.   resp.   1) Konstanty C4 a d2 závislé na rozsahu podskupiny n viz tabulka č. 2. v ČSN ISO 8258.

3) k podskupin různého rozsahu nj jednotek (j = 1, 2, …, k) Celkový počet pozorování je a) celkový výběrový průměr: ; b) průměrný výběrový medián: ;

Odhady:   resp.   ; 2  ;   resp.   resp.   c) průměrný výběrový rozptyl: ; d) průměrná výběrová směrodatná odchylka: ; e) průměrné výběrové rozpětí: . Odhady:   resp.   ; 2  ;   resp.   resp.   1) Konstanty C4 a d2 závislé na rozsahu podskupiny n viz tabulka č. 2. v ČSN ISO 8258.

Poznámky: 1) Hodnoty C4 a d2 v závislosti na rozsahu výběru jsou uvedeny v tab. 2 v ČSN ISO 8258. 2) V případě, že podskupiny jsou různého rozsahu ( n1  n2  , ... ,  nk ) , je celkový počet pozorování a pak se musí vypočítat vážené hodnoty těchto koeficientů:

PŘÍKLAD Uvažujme k = 6 podskupin stejného rozsahu n = 5 . Výsledky jsou sestaveny do tabulky, ve které jsou vypočteny průměry podskupin a výběrové směrodatné odchylky sj . Výpočty: celkový výběrový průměr : = 1,807 ; průměrný výběrový rozptyl : = 0,0652 ; průměrná směrodatná odchylka: = = 0,255 . Odhady :   1,807 a   (0,0652) = 0,255.

POZNÁMKY : Při analýze výrobního procesu se setkáváme s dalšími charakteristikami: 1) Celkové charakteristiky : a) celkový výběrový průměr = 1,807 (charakterizuje polohu těžiště souboru vzniklého spojením všech podskupin za celé sledované období a tedy těžiště procesu za toto období; je vždy roven průměru výběrových průměrů podskupin ) ; b) celková směrodatná odchylka stot = 0,493 (charakterizuje variabilitu v souboru vzniklém spojením všech podskupin za celé sledované období a tedy celkovou variabilitu procesu za toto období; je obvykle větší než průměrná směrodatná odchylka podskupin, protože zahrnuje vedle variability uvnitř podskupin i variabilitu mezi podskupinami) ; c) průměrná výběrová odchylka = 0,255 (charakterizuje průměrnou variabilitu uvnitř podskupin).

2) Charakteristiky rozdělení výběrových průměrů : a) průměr výběrových průměrů = 1,807 ; b) směrodatná odchylka výběrových průměrů = 0,469 (směrodatná odchylka výběrových průměrů charakterizuje variabilitu mezi výběrovými průměry podskupin a tedy v podstatě i variabilitu mezi podskupinami). 3) Porovnání odhadů směrodatné odchylky procesu s : a) = 0,255 ; b) = 0,242 ; c) = 0,236 .