EU-8-59 – DERIVACE FUNKCE XV Škola: Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0616 Název projektu: Inovace výuky Číslo a název šablony klíčové aktivity: EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Tematická oblast: Volitelný předmět matematika (matematický seminář) EU-8-59 – DERIVACE FUNKCE XV (konvexnost a konkávnost funkce, inflexní body) Anotace Animace a obrázky názorně ukazují problematiku inflexních bodů funkce a souvislost s konvexitou a konkavitou funkce v okolí bodu „podezřelého z inflexe“. Zjišťování inflexních bodů funkce pomocí změny znaménka druhé derivace funkce v okolí bodu „podezřelého z inflexe“. Autor PaedDr. Milan Rieger Jazyk Čeština Očekávaný výstup Žák chápe význam inflexních bodů funkce a tečny v inflexním bodě funkce jako důležitou a zpřesňující informaci a chování funkce v okolí inflexního bodu. Uvedené výpočty budou součástí vyšetřování průběhu funkce. Klíčová slova Druhá derivace funkce, konvexnost (konkávnost) funkce v okolí bodu, inflexní bod. Druh učebního materiálu Pracovní list / Animace / Obrázky / Testy Druh interaktivity Aktivita / Výklad / Test / Kombinace Cílová skupina Žák Stupeň a typ vzdělávání Střední vzdělávání Typická věková skupina 17 – 19 let Datum vytvoření 21. 12. 2013

+ – INFLEXNÍ BOD – animace 1 znaménko 2. derivace FUNKCE V BODĚ T MĚNÍ PODSTATNĚ SVŮJ PRŮBĚH vlevo od bodu x0 graf funkce leží „nad tečnou“ funkce je ryze konvexní f //(x) > 0 vpravo od bodu x0 graf funkce leží „pod tečnou“ funkce je ryze konkávní f //(x) < 0

– + INFLEXNÍ BOD – animace 2 znaménko 2. derivace FUNKCE V BODĚ T MĚNÍ PODSTATNĚ SVŮJ PRŮBĚH vlevo od bodu x0 graf funkce leží „pod tečnou“ funkce je ryze konkávní f //(x) < 0 vpravo od bodu x0 graf funkce leží „nad tečnou“ funkce je ryze konvexní f //(x) > 0

Ve kterých bodech může mít funkce inflexní bod? Funkce může mít inflexní bod v bodě x0 v případě, že je druhá derivace funkce v bodě x0 rovna nule. Body, ve kterých je druhá derivace funkce rovna nule jsou body „podezřelé z inflexe“.

ÚLOHY K PROCVIČENÍ Určete body podezřelé z inflexe. p1) f: y = x3 p2) f: y = x4 p3) f: y = x3 – 3 x2 – 9 p4) f: y = – x3 + 12 x2 + 9 p5) f: y = x4 – 6 x2 + 3 x – 4 p6) f: y = x4 – 12 x2 – 5 x + 1 p7) f: y = – x4 + 4 x3 + 5 x – 11 p8) f: y = x5 – 10 x4 + 11 x + 12 p9) f: y = 2 x5 – 5 x4 – 7 x – 8 p10) f: y = x6 – 10 x4 + 7 x – 2 p11) f: y = x8 – 2 x4 p12) f: y = x8 – 4 x6

Je-li f // (x0) = 0, potom má funkce f v bodě x0 inflexní bod. VĚTA (nutná, nikoliv však postačující podmínka existence inflexního bodu): Má-li funkce f v bodě x0 inflexní bod a existuje-li v tomto bodě druhá derivace f // (x0), potom platí f // (x0) = 0. PROBLÉM K ŘEŠENÍ – formulujte větu obrácenou a rozhodněte, zda tato věta platí. Obrácená VĚTA: Je-li f // (x0) = 0, potom má funkce f v bodě x0 inflexní bod. Vzpomeňte si na mocninnou funkci se sudým přirozeným mocnitelem (např. f(x) = x6) a hned se můžete k platnosti či neplatnosti této věty kvalifikovaně vyjádřit. f(x) = x6  f/(x) = 6x5  f//(x) = 30x4  funkce f má druhou derivaci rovnou nule v bodě x0 = 0 (to je bod „podezřelý z inflexe“), funkce f však v bodě x0 = 0 inflexní bod nemá, protože je funkce f vlevo i vpravo od tohoto bodu ryze konvexní (nemění se znaménko druhé derivace vlevo ani vpravo od bodu x0).

VĚTA: Má-li funkce f druhou derivaci v každém bodě d–okolí bodu x0 a má-li druhá derivace funkce f// (x) v intervalech (x0 – d; x0) a (x0; x0 + d) různá znaménka, potom je bod x0 inflexním bodem funkce. ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 1 Určete inflexní bod dané funkce f. Potom najděte rovnici tečny k funkci f v bodě inflexe a načrtněte tečnu, bod inflexe a graf funkce v okolí inflexního bodu. funkce f má v bodě x0 = - 0,5 inflexní bod, protože vlevo od bodu x0 je znaménko druhé derivace záporné a vpravo od bodu x0 je druhá derivace kladná

ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 2 Určete inflexní body dané funkce f. Potom najděte rovnici tečen k funkci f v bodech inflexe a načrtněte tečny, body inflexe a graf funkce v okolí inflexních bodů.

Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.