LOGISTICKÉ SYSTÉMY 6/14

Logistické optimalizační modely Optimalizace dopravních sítí Osnova přednášky Logistické optimalizační modely Optimalizace dopravních sítí Minimalizace dopravních nákladů (především variabilních – cv) Modely nejkratší cesty Optimální obslužnost uzlů v dopravní sítí Optimální obslužnost úseku dopravní sítě Zranitelnost dopravní sítě Fraktální logistické (dopravní) sítě

Modely nejkratší cesty Redukce na výpočet vzdálenosti dvou vrcholů v (ne)orientovaném grafu Elementární algoritmy V incidenční matici (např. Ford Warshallův algoritmus) Metoda SPM Dijkstrův algoritmus Nejkratší cesta jako úloha matematického programování S náklady jen na úsecích (na hranách) S náklady na úsecích a v distribučních centrech

Výpočty v incidenční matici Zadání v incidenční matici A B C D E F X 1 4 3   2

Výpočty v incidenční matici 1. Krok Vzdálenost uzlu A B C D E F Vzdálenost počátečního uzlu je 0, sloupec A se vyškrtne (do uzlu A už víckrát nepojedeme) X 1 4 3   2 2. Krok Minimální vzdálenost je do uzlu B - min((0+1), (0+4), (0+3))=1, sloupec B se vyškrtne, trasa A-B se označí

Výpočty v incidenční matici 3. Krok Vzdálenost uzlu A B C D E F Minimální vzdálenost je do uzlu D - min((0+4), (0+3), (1+1))=2, sloupec D se vyškrtne, trasa B-D se označí X 1 4 3   2 4. Krok Minimální vzdálenost je do uzlu C - min((0+4), (2+1), (2+4))=3, sloupec C se vyškrtne, trasa D-C se označí

Výpočty v incidenční matici 5. Krok Vzdálenost uzlu A B C D E F Minimální vzdálenost je do uzlu E - min((3+1), (2+4))=4, sloupec E se vyškrtne, trasa C-E se označí X 1 4 3   2 6. Krok Minimální vzdálenost je do uzlu F - min((2+4), (4+1))=5, trasa E-F se označí 5 Délka nejkratší cesty je dána minimální vzdáleností do posledního uzlu F, tedy 5. Cesta je tvořena posloupností vrcholů ležících na "označených" buňkách - hranách, tedy A-B-D-C-E-F

Metoda SPM Přímo na grafu – orientovaném, ohodnoceném (minimální) vzdálenosti od počátečního a konečného uzlu současně Opačný postup než u CPM Příklad – viz tabule 

Dijkstrův algoritmus Shrnutí DA (viz Matematika) Přímo na grafu – orientovaném, neorientovaném, ohodnoceném, neohodnoceném U neohodnocených grafů substituujeme „minimální délkou spojení (počtem hran)“ Shrnutí DA (viz Matematika) množiny zpracovaných a nezpracovaných uzlů zpracováváme uzel s nejkratší délkou relaxujeme všechny jeho výstupní hrany opakujeme dokud nejsou všechny uzly zpracované

Dijkstrův algoritmus Praktická ukázka: http://www.youtube.com/watch?v=ec_d4iXmeu8 Dále též Primův-Jarníkův algoritmus

Nejkratší cesta jako úloha matematického programování Libovolná cesta v grafu jako úloha bivalentního programování xij …. bivalentní proměnná reprezentující hranu grafu, úsek dopravní sítě mezi dvěma vrcholy xij=0 ..úsek není součástí hledané cesty xij=1 ..úsek je součástí hledané cesty xi….. bivalentní proměnná reprezentující vrchol grafu, dopravní středisko, distribuční centrum (DC) xi=0 ...DC není umístěno na hledané cestě xi=1…DC je umístěno na hledané cestě

Nejkratší cesta jako úloha matematického programování dij …. veškeré přepravní náklady (motion costs) na přepravu zboží mezi DC i a j bez ohledu na poměr cf, cv, velikost vi resp. V lze chápat též jako vzdálenosti di …. veškeré skladovací náklady (holding costs) ve středisku Dci dopraveného a expedovaného množství zboží Poznámka: Pro minimální délku spojení – „nejjednodušší“ cestu dij = 1, di = 0 pro všechny i a j

Nejkratší cesta jako úloha matematického programování Omezující podmínky pro model souvislého neorientovaného hranově ohodnoceného grafu: Omezující podmínky pro model souvislého orientovaného hranově ohodnoceného grafu:

Nejkratší cesta jako úloha matematického programování Omezující podmínky pro model souvislého orientovaného hranově i uzlově ohodnoceného grafu:

Nejkratší cesta jako úloha matematického programování Optimalizační model pro nalezení nejkratší cesty v dopravní síti mezi vrcholy (DC) A a B

Nejkratší cesta jako úloha matematického programování Při požadavku na transport přes DCz a úsekem (p,r): Takto formulovanou úlohu lze řešit simplexovým algoritmem (bivalentnost řešení je zaručena) – důkaz viz tabule Poznámka: odtud lze odvodit úlohu TSP jako model MP

Nejkratší cesta jako úloha matematického programování Analýza citlivosti - vzhledem k přepravním nákladům - vzhledem ke skladovacím nákladům Příklad – viz tabule