Mgr. Andrea Cahelová Gymnázium J. Kainara, Hlučín Matice Mgr. Andrea Cahelová Gymnázium J. Kainara, Hlučín

Definice Tabulka o n sloupcích a m řádcích, přičemž toto značení řádků a sloupců nemusí být vždy stejné. Tato matice má dva řádky a tři sloupce. Prvky matice se značí pomocí indexů, namísto velkého písmene se používá malé písmeno: a11 = 0 nebo a23 = 51. První index udává řádek a druhý index sloupec.

Druhy matic Čtvercová matice je matice, která má stejný počet řádků jako sloupců. Nulová matice je matice, která má na všech pozicích nuly. aij = 0.

Jednotková matice je čtvercová matice, která má na hlavní diagonále jedničky a všude jinde nuly. Hlavní diagonála je jakoby „úhlopříčka“ zleva doprava. Schodovitá matice je matice, která má nulové řádky na konci (nebo nemá žádné nulové řádky) a každý nenulový řádek má na začátku více nul než předchozí řádek.

Symetrická matice je čtvercová matice A, která se splňuje rovnost A = AT. Prvky symetrické podle diagonály jsou stejné. Můžeme tak napsat, že aij = aji. Antisymetrická matice je skoro totéž jako symetrická matice, akorát prvky na druhé straně mají opačné znaménko: A = −AT. Kvůli tomu musí být prvky na hlavní diagonále nulové, protože a = −a = 0.

Diagonální matice je matice, která má nuly všude kromě hlavní diagonály. Přesněji řečeno všude jinde musí být nuly, co je na hlavní diagonále není specifikováno. Matice transponovaná k matici A je matice AT, u které platí aij = aTji, tj. prvek který byl v i-tém řádku a j-tém sloupci bude v transponované matici na j-tém řádku a i-tém sloupci. Zkrátka zaměníte řádky matice za sloupce.

Operace s maticemi Sčítání (odčítání) matic: matice stejného typu (stejný počet sloupců a řádků) Výsledná matice bude mít na stejných pozicích součty čísel na odpovídajících pozicích v předchozích maticích. Sčítáme matice A + B = C, pak platí aij + bij = cij. Sčítání matic je komutativní a asociativní. A + B = B + A , A + (B + C) = (A + B) + C

Násobení matic nenulovým reálným číslem: Vezmete číslo a vynásobíte s ním každý prvek matice. k· A = k· aij. Násobení matic: (matice musí splňovat kritérium, že počet sloupců první matice musí být stejný jako počet řádků druhé matice) Vezmete první řádek první matice a první sloupec druhé matice. Vynásobíte první prvek s prvním prvkem a sečtete s násobkem druhého prvku s druhým prvkem a sečtete atd. Tím získáte v nové matici C prvek c11.

Nebo graficky:

Příklady: Proveďte A + B, B – C, 2A – C, A * B, B * A, B * C - A

Determinant matice Definovaný pouze na čtvercových maticích Číslo Je zapisován buď jako det A nebo |A| Sarrusovo pravidlo pro výpočet determinantu:

Laplaceova metoda pro výpočet determinantu Provádíme rozvoj podle nebo sloupce Rozvoj provedeme buď přes druhý řádek nebo přes třetí sloupec, jelikož se zde nachází nula (případně nejvíce nul). První číslo: 2 + 1, tj. vyškrtneme druhý řádek a první sloupec, tím získáme submatici

Příklad: Vypočítej determinant matice Sarrusovým pravidlem a Laplaceovou metodou

Využití determinantu matice při řešení soustavy rovnic |A| je determinant matice bez pravé strany, tj. bez čísel za rovnítkem |Ak| je determinant matice, která vznikne z matice A nahrazením k-tého sloupce čísly za rovnítkem

Příklad: Řešte soustavy rovnic 2x +3y = 4, x – y = 0 x - y + 2z = 7, 2x - 3y + 5z = 17, 3x – 2y – z = 12 x + 2y + 2z = 7, 2x + 3y = 7, x + 5y + z = 2

Inverzní matice Úpravou matice a připojené jednotkové matice získáme matici jednotkovou a inverzní. Značíme A-1 Platí: A * A-1 = A-1 * A = E (jednotková matice) Gauss - Jordanovou eliminační metodou

Výpočet inverzní matice Gauss - Jordanova eliminační metoda Postup: Vedle sebe napíšeme matici, kterou chceme invertovat a jednotkovou matici Matici upravujeme na jednotkovou matici standardními způsoby: záměna řádků vynásobení řádku skalárem (nejčastěji přirozeným číslem) přičtení násobku jednoho řádku k jinému Každý úkon prováděný na upravované matici musíme provést i na jednotkové matici. Zkoušku provedeme vynásobením matice s její inverzí.

Příklad: Ověřte zda jsou matice k sobě inverzní

Hodnost matice Hodnost matice je počet lineárně nezávislých řádků matice, zpravidla se označuje h Hodnost matice najdeme úpravami matice tak, že se snažíme vytvořit nulový řádek, který se v matici nezapisuje Nulová matice má hodnost h = 0 Hodnost matice se určuje u libovolné matice

Příklad: Určete hodnost matice

Využití inverzní matice – šifrování zprávy Vezmeme čtvercovou matici druhého řádu - šifrovací

Zpráva se zapíše po sloupcích do matice. Matice se vynásobí zleva maticí šifrovací. Zprávu sepíšeme po sloupcích a můžeme poslat. Příjemce si najde inverzní matici k šifrovací

Pomocí inverzní matice dešifrujeme zprávu: Poznámka: Zkuste šifrování pomocí matice třetího řádu.

Využití matic - násobení Hospodyně si vedla záznamy svých nákupů a vytvořila si tuto tabulku: Potraviny se dají koupit v různých cenách Určete cenu nákupu, nakoupíme-li v Tescu Mléko - 1 l Sýr - 100 g Máslo - 250 g Nákup č. 1 2 3 1 Nákup č. 2 Nákup č. 3 Kč - Tesco Kč - Lidl Mléko - 1 l 13,50 10 Sýr - 100 g 11,50 9 Máslo - 250 g 22 18

Využití matic Čtyři města A, B, C, D jsou spojena autobusovými linkami. Přímé spojení je dáno tabulkou: Nakreslete plán spojení A B C D 1 2