POZNÁMKY ve formátu PDF MNOHOÚHELNÍKY Mgr. Martina Fainová POZNÁMKY ve formátu PDF TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR

Mnohoúhelník (n-úhelník) Mnohoúhelník je část roviny ohraničená uzavřenou lomenou čarou A1A2…An-1An A5 lom. čára A1A2…A6 = hranice mnohoúhelníku A1, A2, A3, A4, A5, A6 = vrcholy A4 úsečky A1A2, A2A3,…, A6A1 = strany A6 úsečky, jejíž krajní body nejsou sousední = úhlopříčka A3 A1 ?? počet vrcholů, stran, úhlopříček, konvexnost A2

Mnohoúhelník a) nekonvexní b) konvexní Platí: Každý n-úhelník má  některý vnitřní úhel > 180 b) konvexní  všechny vnitřní úhly jsou konvexní Platí: Každý n-úhelník má 1) n vrcholů 2) n stran 3) n(n-3)/2 úhlopříček 4) součet vnitřních úhlů (n - 2)180

Pravidelný mnohoúhelník Pravidelný mnohoúhelník je konvexní mnohoúh. se všemi shodnými stranami a shodnými vnitř. úhly je tečnový i tětivový (kružnici mu lze vepsat i opsat) opsaná i vepsaná kružnice mají společný střed lze jej rozdělit na n shodných rovnoramenných  úhel v jednom  u středu kružnice opsané má velikost

Konstrukce pravid. n-úhelníka Šestiúhelník: délka jeho hrany je rovna poloměru kružnice opsané Pětiúhelník a desetiúhelník: střed SA - O kružnice l(O, r = |OD|) průsečík kružnice a SC – E |SE| - strana pravid. 10-úhelnika |ED| - strana pravid. 5-úhelnika

Cvičení: Příklad 1: Narýsujte pravidelný 4, 5, 6 a 10-úhelník. Příklad 2: Určete počet úhlopříček v pravidelném 5, 6, 8 a 12-úhelníku. Příklad 3: Který konvexní n-úhelník má dvakrát víc úhlopříček než stran? Příklad 4: Kolik vrcholů má pravidelný n-úhelník, jehož vnitřní úhly mají velikost 144? Příklad 5: Vypočítejte vnitřní úhel, poloměr kružnice vepsané i opsané v pravidelném šestiúhelníku.

Obvod a obsah mnohoúhelníku 1) pravidelný n-úhelník o = na  - poloměr kružnice vepsané 2) nepravidelný n-úhelník o = a1+a2+…+an n-úhelník rozdělit na jednoduché útvary vypočítat obsah dílčích útvarů obsah mnohoúhelníku je součtem dílčích obsahů

Příklad 3: Vypočtěte obsah nepravidelného sedmi-úhelníku na obrázku. Rozměry jsou v cm. Řešení: Sedmiúhelník rozložíme na 4 pravoúhlé ∆ a 3 lichoběžníky: S = 3,9+2,43+1,87+1,65+5,13+4,75+4,83 = 24,56 cm2

Cvičení: Příklad 1: Určete poloměr kružnice opsané pravidelnému pětiúhelníku, je-li délka jeho strany 10 cm. Příklad 2: Určete obvod a obsah pravidelného 12-úhelníka vepsaného do kružnice o poloměru 8 cm. Příklad 3: Vypočítejte obvod pravidelného sedmiúhelníku, je-li dána délka jeho nejkratší úhlopříčky 14,5 cm. Příklad 4: Vypočtěte délku úhlopříčky pravidelného pětiúhelníku opsaného kružnici o poloměru 4 cm.

Cvičení: Příklad 5: Pole je na mapě o měřítku 1:2880 zakresleno čtyřúhelníkem ABCD. Vzdálenosti jsou v mm. Jaké jsou jeho skutečné rozměry a výměra? Příklad 6: Vypočítejte obsah součástek na obrázcích: