Konstrukce trojúhelníku Trojúhelníková nerovnost. Kdy lze a kdy nelze sestrojit trojúhelník podle věty sss.

Trojúhelník a jeho vlastnosti Zopakujeme si nejdříve základní údaje, které už o trojúhelnících víme. Trojúhelník je rovinný geometrický útvar sestávající ze tří stran, tří vrcholů a tří vnitřních úhlů.

Trojúhelník a jeho vlastnosti Zopakujeme si nejdříve základní vlastnosti, které už o trojúhelnících víme. Budeme-li chtít být ještě přesnější, řekneme, že trojúhelník ABC je průnikem tří polorovin ABC, BCA, CAB. Přitom však musí platit, že body A, B a C jsou různé a neleží v jedné přímce. Budeme-li chtít být ještě přesnější, řekneme, že trojúhelník ABC je průnikem tří polorovin ABC, BCA, CAB. Přitom však musí platit, že body A, B a C jsou různé a neleží v jedné přímce. Budeme-li chtít být ještě přesnější, řekneme, že trojúhelník ABC je průnikem tří polorovin ABC, BCA, CAB. Přitom však musí platit, že body A, B a C jsou různé a neleží v jedné přímce. Budeme-li chtít být ještě přesnější, řekneme, že trojúhelník ABC je průnikem tří polorovin ABC, BCA, CAB. Přitom však musí platit, že body A, B a C jsou různé a neleží v jedné přímce. Budeme-li chtít být ještě přesnější, řekneme, že trojúhelník ABC je průnikem tří polorovin ABC, BCA, CAB. Přitom však musí platit, že body A, B a C jsou různé a neleží v jedné přímce.

Trojúhelník - označování Pozor při značení vrcholů a stran trojúhelníku. Strana a proti vrcholu A, strana b proti vrcholu B, strana c proti vrcholu C. Popis vrcholů začínáme obvykle v levém dolním rohu, ale vždy popisujeme vrcholy ve směru proti pohybu hodinových ručiček.

Konstrukce trojúhelníku Obdobně si zopakujeme standardní postup při konstrukčních úlohách. Z jakých částí se skládá naše činnost prováděná před, během a po konstrukci? 1. Je dobré zjistit, pokud to jde už ze zadání konstrukce, zda trojúhelník lze vůbec sestrojit, abychom zbytečně neztráceli čas. Jak? Např. pomocí trojúhelníkové nerovnosti, velikosti úhlů apod. 2. Načrtnout si obrázek, v němž si vyznačíme zadané údaje. Udělat si náčrt konstruované situace. 3. Rozebrat si postup, podle kterého budeme trojúhelník rýsovat. To znamená určit si, které znalosti nám při konstrukci trojúhelníku pomohou a jak. Např. vlastnosti trojúhelníku a jiných známých geometrických útvarů nebo množiny bodů dané vlastnosti. 4. Zapsat postup konstrukce, stanovený na základě provedeného rozboru. 5. Podle zapsaného postupu uskutečnit konstrukci a narýsovat zadaný trojúhelník. 6. Zapsat počet všech možných řešení zadané úlohy.

Konstrukce trojúhelníku podle věty sss Př.: Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém a = 5 cm, b = 7 cm, c = 8 cm. Všechny kroky kromě prvního, tj. určení, zda lze trojúhelník o zadaných stranách vůbec sestrojit, jsme se už naučili. Tak si je nyní rychle zopakujeme a podíváme se právě na trojúhelníkovou nerovnost. Náčrt: b = 7 cm a = 5 cm c = 8 cm

Postup a konstrukce: 1. AB; AB = c = 8 cm 4. C; C  k  l 2. k; k(B; a = 5 cm) 5. Trojúhelník ABC 3. l; l(A; a = 7 cm) l k C Úloha má jedno řešení. p A B

Vyvození trojúhelníkové nerovnosti Pokusíme se nyní podle předcházejícího „návodu“ narýsovat čtyři následující trojúhelníky a rozebrat situace, které při jejich konstrukcích nastanou. Příklad č. 1: Sestrojte trojúhelník ABC, je-li a = 4 cm, b = 6 cm, c = 8 cm. Konstrukce: Postup: 1. AB; AB = c = 8 cm Úloha má jedno řešení. 2. k; k(B; a = 4 cm) 3. l; l(A; b = 6 cm) 4. C; C  k  l 5. Trojúhelník ABC

Vyvození trojúhelníkové nerovnosti Pokusíme se nyní podle předcházejícího „návodu“ narýsovat čtyři následující trojúhelníky a rozebrat situace, které při jejich konstrukcích nastanou. Příklad č. 2: Sestrojte trojúhelník ABC, je-li a = 4 cm, b = 5 cm, c = 8 cm. Konstrukce: Postup: 1. AB; AB = c = 8 cm Úloha má jedno řešení. 2. k; k(B; a = 4 cm) 3. l; l(A; b = 5 cm) 4. C; C  k  l 5. Trojúhelník ABC

Vyvození trojúhelníkové nerovnosti Pokusíme se nyní podle předcházejícího „návodu“ narýsovat čtyři následující trojúhelníky a rozebrat situace, které při jejich konstrukcích nastanou. Příklad č. 3: Sestrojte trojúhelník ABC, je-li a = 4 cm, b = 4 cm, c = 8 cm. Konstrukce: Postup: 1. AB; AB = c = 8 cm Úloha nemá řešení, protože body ABC leží v jedné přímce. 2. k; k(B; a = 4 cm) 3. l; l(A; b = 4 cm) 4. C; C  k  l 5. Trojúhelník ABC

Vyvození trojúhelníkové nerovnosti Pokusíme se nyní podle předcházejícího „návodu“ narýsovat čtyři následující trojúhelníky a rozebrat situace, které při jejich konstrukcích nastanou. Příklad č. 4: Sestrojte trojúhelník ABC, je-li a = 4 cm, b = 3 cm, c = 8 cm. Konstrukce: Postup: 1. AB; AB = c = 8 cm 2. k; k(B; a = 4 cm) Úloha nemá řešení, protože kružnice k a l se neprotínají, bod C nevzniká. 3. l; l(A; b = 3 cm) 4. C; C  k  l

Trojúhelníková nerovnost Nyní si vše shrneme a pokusíme se sami vyvodit, kdy lze trojúhelník sestrojit. 1.) a=4 cm, b=6 cm, c=8 cm 2.) a=4 cm, b=5 cm, c=8 cm a + b = 10 cm a + b = 9 cm a + b > c a + b > c Trojúhelník jde sestrojit. 3.) a=4 cm, b=4 cm, c=8 cm 4.) a=4 cm, b=3 cm, c=8 cm a + b = 8 cm a + b = 7 cm a + b = c a + b < c Trojúhelník nejde sestrojit.

Trojúhelníková nerovnost Trojúhelník jde sestrojit, je-li součet dvou kratších stran vetší než strana nejdelší. Častěji se setkáme s definicí a matematickým vyjádřením následujícím: V každém trojúhelníku je součet délek libovolných dvou stran větší než délka třetí strany. a + b > c a + c > b b + c > a

Trojúhelníková nerovnost Pokud jsem vás ještě zcela nepřesvědčil o platnosti znění trojúhelníkové nerovnosti, tak si otevřete níže uvedený odkaz a měňte zadané délky stran a, b a c pohybem krajních bodů úseček v horní části rysu. Pozorujte, kdy trojúhelník vzniká a kdy ne. A pak mi řeknete, jestli už trojúhelníkové nerovnosti věříte. http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/cabri/cabrijava.php?FigFileName=kapitoly/trojuhelniky/delkystran.fig&Trace=&Spring=&Step=&Loop=&Width=550&Height=400

Konstrukce trojúhelníku podle věty sss Ještě jednou si platnost trojúhelníkové nerovnosti můžete vyzkoušet u konstrukce trojúhelníku podle věty sss. Můžete myší měnit polohu bodů A, B a poloměry kružnic u konstrukce na níže uvedeném odkazu. Zkoumejte, kdy bude mít úloha 1, 0 nebo 2 řešení. http://www.horackova.cz/cabri/vyklad/631.htm

Pár příkladů k procvičení – příklad č. 1 Určete, zda jde sestrojit trojúhelník ABC, a pokud ano, sestrojte jej: a = 1 dm, b = 35 mm, c = 5,5 cm. Pro ukázku řešení, klikni.

Pár příkladů k procvičení – příklad č. 1 Určete, zda jde sestrojit trojúhelník ABC, a pokud ano, sestrojte jej: a = 1 dm, b = 35 mm, c = 5,5 cm. a = 1 dm = 100 mm Rychlejší by samozřejmě bylo sečíst rovnou dvě nejkratší strany a zjistit, zda jejich součet je větší než strana nejdelší. Rovnou bychom zjistili, že trojúhelník nelze sestrojit, a nemuseli bychom kontrolovat další dvě nerovnosti. b = 35 mm c = 5,5 cm = 55 mm a + b > c … 100 + 35 > 55 … 135 > 55 a + c > b … 100 + 55 > 35 … 155 > 35 b + c > a … 35 + 55 > 100 … 90 > 100 Trojúhelník nejde sestrojit!

Pár příkladů k procvičení – příklad č. 2 Určete, zda jde sestrojit trojúhelník XYZ, a pokud ano, sestrojte jej: x = 75 mm, y = 1,05 dm, z = 3 cm. Pro ukázku řešení, klikni.

Pár příkladů k procvičení – příklad č. 2 Určete, zda jde sestrojit trojúhelník XYZ, a pokud ano, sestrojte jej: x = 75 mm, y = 1,05 dm, z = 3 cm. x = 75 mm y = 1,05 dm = 105 mm z = 3 cm = 30 mm Ověříme, zda součet kratších stran je větší než strana nejdelší. x + z > y … 75 + 30 > 105 … 105 > 105 Trojúhelník nejde sestrojit!

Pár příkladů k procvičení – příklad č. 3 Určete, zda jde sestrojit trojúhelník CDE, a pokud ano, sestrojte jej: c = 45 mm, d = 1 dm, e = 8 cm. Pro ukázku řešení, klikni.

Pár příkladů k procvičení – příklad č. 3 Určete, zda jde sestrojit trojúhelník CDE, a pokud ano, sestrojte jej: c = 45 mm, d = 1 dm, e = 8 cm. c = 45 mm d = 1 dm = 100 mm e = 8 cm = 80 mm Ověříme, zda součet kratších stran je větší než strana nejdelší. c + e > d … 45 + 80 > 100 … 125 > 100 Trojúhelník jde sestrojit!

Pár příkladů k procvičení – příklad č. 3 Určete, zda jde sestrojit trojúhelník CDE, a pokud ano, sestrojte jej: c = 45 mm, d = 1 dm, e = 8 cm. Konstrukce: Postup: Úloha má jedno řešení. 1. CD; CD = e = 8 cm 2. k; k(D; c = 4,5 cm) 3. l; l(C; d = 10 cm) 4. E; E  k  l 5. Trojúhelník CDE

Tak přesnou ruku při rýsování!