Rozdělení spojitých veličin Úvod Rovnoměrné spojité rozdělení Normální rozdělení (Gaussovo, Gauss-Laplaceovo) Normální normované rozdělení Logaritmicko - normální rozdělení Exponenciální rozdělení rozdělení (Pearsonovo) Studentovo t - rozdělení Fischerovo - Snedecorovo rozdělení

Rozdělení spojitých veličin - úvod Budeme zkoumat rozdělení četností (pravděpodobnosti výskytu různých hodnot) u biologických i jiných veličin, např.: tělesná výška dospělých mužů váha novorozených dětí hodnoty cholesterolu pacientů z cévní poradny IQ školních dětí počet slov na potištěných stránkách životnost žárovek Tyto veličiny budeme považovat za spojité a rozdělení pravděpodobnosti výskytu jejich hodnot nazývat NORMÁLNÍ krajní hodnoty (nízké a vysoké) se vyskytují jen zřídka prostřední hodnoty jsou směrem ke střední hodnotě četnější malá četnost – malá pravděpodobnost výskytu velká četnost – vysoká pravděpodobnost výskytu

PRAVDĚPODOBNOSTNÍ FUNKCE NORMÁLNÍHO ROZDĚLENÍ Zobrazení rozdělení četností NORMÁLNÍHO ROZDĚLENÍ vidíme z obrázku: Znázorňuje histogram četností měření obvodu hrudi 5738 skotských vojáků (autorem je Belgičan Adolph Quételet). O první uveřejnění spisku o této křivce se zasloužil v roce 1733 francouzský matematik Abraham de Moivre.

Normální rozdělení Normální rozdělení je myšlenkovým modelem a početní pomůckou. Nejedná se o jedinou křivku, ale jednu z mnoha. Normální křivka je jednoznačně určena dvěma parametry: střední hodnotou rozptylem resp. směrodatnou odchylkou Střední hodnota je v tomto případě aritmetický průměr, medián i modus - určuje střed křivky na ose x Rozptyl určuje plochost nebo naopak špičatost křivky (čím je rozptyl větší, tím je křivka plošší )

PRAVDĚPODOBNOSTNÍ FUNKCE SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIČINY ROZDĚLENÍ NÁHODNÉ VELIČINY neboli ROZLOŽENÍ NÁHODNÉ VELIČINY je znázorněno PRAVDĚPODOBNOSTNÍ FUNKCÍ nebo FREKVENČNÍ FUNKCÍ, které také říkáme HUSTOTA PRAVDĚPODOBNOSTI NV Př. Hmotnost narozených dětí 5000 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500

PRAVDĚPODOBNOSTNÍ FUNKCE SPOJITÉ NV Spojitou NV měříme s omezenou přesností: přesnost omezená měřicími přístroji nebo našimi schopnostmi a zobrazujeme ji Histogramem četností (sloupcovým grafem) Frekvenční funkcí neboli Hustotou pravděpodobnosti

FREKVENČNÍ funkce neboli HUSTOTA PRAVDĚPODOBNOSTI Pokud u spojité náhodné veličiny X vynášíme na osu y pravděpodobnost, dostaneme FREKVENČNÍ FUNKCI neboli HUSTOTU PRAVDĚPODOBNOSTI.

DISTRIBUČNÍ FUNKCE SPOJITÉ NV Pokud u spojité náhodné veličiny vynášíme na osu y KUMULATIVNÍ pravděpodobnost, dostaneme DISTRIBUČNÍ FUNKCI.

DISTRIBUČNÍ FUNKCE SPOJITÉ NV Distribuční funkce spojité NV má tvar esovité křivky je nezáporná neklesající nejvýše = 1 Pro zvolenou hodnotu p nalezneme na vodorovné ose x hodnotu kvantilu x(p).

Rovnoměrné spojité rozdělení U různých programových produktů (tabulkové procesory, programovací jazyky, statistické a simulační programy) je dostupný tzv. generátor náhodných čísel. Je to funkce, jejímž voláním lze získat hodnoty náhodné veličiny, které mají rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti. Běžně se setkáváme s tím, že tato funkce generuje hodnoty spojité veličiny U z intervalu [0,1). Některé programové produkty dovolují i generování hodnot diskrétní náhodné veličiny s rovnoměrným rozdělením, jinak tyto hodnoty můžeme získat vhodnou transformací (zaokrouhlením) spojité veličiny X. Je nutno mít na paměti, že tzv. generátory náhodných čísel jsou deterministické algoritmy, tzn., že jednou vygenerovanou řadu hodnot jsme schopni při stejném počátečním zadání přesně zopakovat. Vygenerované hodnoty tedy nejsou, přísně vzato, náhodné. Proto se někdy takto vygenerovaným hodnotám říká pseudonáhodná čísla.

Rovnoměrné spojité rozdělení - Frekvenční funkce Spojitá náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení, jestliže hustota pravděpodobnosti je na intervalu hodnot (a,b) konstantní a mimo tento interval nulová. Plocha pod „frekvenční křivkou“ (úsečkou) = 1 pro a < x < b f(x) = 0 jinak

Rovnoměrné spojité rozdělení - Distribuční funkce Distribuční funkce rovnoměrně rozdělené náhodné veličiny X je F(x) = 0 pro x ≤ a pro a < x < b F(x) = 1 pro x ≥ b

Rovnoměrné spojité rozdělení - střední hodnota a rozptyl Matematicky je střední hodnota NV s distribuční funkcí F(x) definovaná pomocí integrálu je to vlastně součet všech možných hodnot vynásobený jejich pravděpodobností Rozptyl vypočteme dosazením do vzorce: var(X)=E(X2) - [E(X)]2

Rovnoměrné spojité rozdělení – odvození vzorce pro rozptyl Analogicky: Zapsáno v jiném tvaru: var(X) = E(X2) - [E(X)]2

Rovnoměrné spojité rozdělení – odvození vzorce pro rozptyl

Normální rozdělení (Gaussovo, Gauss-Laplaceovo) Obecné normální rozdělení má ve statistice dominantní postavení. Mnohé náhodné veličiny v přírodních vědách i ekonomice mají toto rozdělení nebo lze jejich rozdělení Normálním rozdělením dobře aproximovat. Proč? V BIOSTATISTICE je rozdělení hodnot dáno především BIOLOGICKOU VARIABILITOU SLEDOVANÉ VELIČINY – měřenou proměnnou ovlivňuje současně velký počet nepatrných vzájemně nezávislých náhodných vlivů. Projevuje se to kolísáním kolem střední hodnoty tak, že na obě strany jsou výsledky stále méně časté a extrémní hodnoty se objevují jen ojediněle.

Normální rozdělení (Gaussovo, Gauss-Laplaceovo) Normální rozdělení N(μ; σ2) je popsáno matematickou funkcí: Frekvenční funkce je symetrická zvonovitá funkce jejíž špičatost závisí nepřímo na velikosti rozptylu Normální rozdělení je stejně jako ostatní rozdělení myšlenkovým modelem, nikoli exaktním přírodním zákonem. I zde platí, že se může vyskytnout nejméně pravděpodobná hodnota.

Normální rozdělení (Gaussovo, Gauss-Laplaceovo) Normální rozdělení platí pro (téměř) všechny výběry Např. zkoumáme váhu stovky (tisíce, statisíce) havranů. Všichni jsou černí, ale jejich váhy se budou lišit nejen u jednotlivců, ale u různých výběrů. Pokud jejich váhy jsou rozděleny „normálně“, součet vah výběrů je také rozdělen normálně. Normálně bude však rozdělena i veličina, která vznikne součtem vlastnosti výběrů, i kdyby původní veličina normální rozdělení neměla. Normální křivku matematicky popsal poprvé v roce 1733 Abraham de Moivre, francouzský matematik, který utekl do Londýna. Na základě binomického rozdělení uskutečnil myšlenkový skok od sloupečků k hladké křivce. Jenže křivka i rovnice upadly v zapomnění.

Normální rozdělení (Gaussovo, Gauss-Laplaceovo) Znovuobjevena byla jako GAUSSOVA – LAPLACEOVA KŘIVKA CHYB. Proč chyb? Na přelomu 18. a 19. století získávali astronomové při svých měřením ve vesmíru kvůli nedokonalosti přístrojů stále odlišné hodnoty. Astronomové – mezi nimi Gauss a Laplace - hledali cestu, jak ze spousty různých výsledků najít pravděpodobně správnou hodnotu. Nejprve chtěli vypočítat aritmetický průměr, ale pak oba došli k závěru, že velmi odlišné hodnoty vyloučí a budou se zabývat jen těmi „podobnějšími“. Nejčetnější hodnoty byly prostřední a odpovídal jim i aritmetický průměr. Pro práci s odchylkami (např. +2 a -2, +5 a -5) zvolil každý jinou cestu: Laplace absolutní hodnoty, Gauss chyby umocnil na druhou – tento postup se pak uplatnil při výpočtu rozptylu a směrodatné odchylky. Pro biometrii – vědu o měření člověka – objevil normální rozdělení belgický vědec Adolphe-Lambert Quételet, jeden ze zakladatelů Královské statistické společnosti v Londýně.

Normální rozdělení (Gaussovo, Gauss-Laplaceovo) Quételet zavedl pojem „homme moyen“ – tvrdil, že příroda se snaží vytvořit ideální typ člověka, ale že různě chybuje. Měl odpůrce i stoupence, např. Francis Galton zavedl do biologie kvantitativní metody a měrné stupnice pro všechny možné tělesné znaky. Dalším obdivovatelem normální křivky byl Karl Pearson, otec moderní matematické statistiky. Stanovil, že i v přírodě jsou nenormálně rozdělené veličiny. Pokusil se vypracovat specifická schémata rozdělení pro tyto případy a po pečlivém rozboru skutečností zjistil, že se obvykle jedná o „spletence“ dvou nebo více normálních rozdělení. Výsledkem dohadů o normálním rozdělení je centrální limitní věta, která nám říká asi toto: Jestliže je znak určen působením většího počtu navzájem nezávislých vlivů, výsledkem je alespoň přibližně normální rozdělení, ať už je každý z těchto faktorů rozdělen jakkoliv.

Normální rozdělení (Gaussovo, Gauss-Laplaceovo) Platí: - součet či rozdíl normálních veličin je normální - tedy i průměr normálně rozdělených veličin je normální - čím více nezávislých náhodných veličin sčítáme, tím je jejich součet blíž normálnímu rozdělení a to bez ohledu, jaké měly původní veličiny rozdělení Považujeme ho za rozdělení, které vystihuje rozložení SPOJITÝCH KVANTITATIVNÍCH VELIČIN. Můžeme ho popsat pomocí dvou parametrů μ a σ2. Tyto parametry jsou mírou polohy a měřítka a jejich přirozeným odhadem je výběrový průměr a výběrový rozptyl. Matematicky lze dokázat, že pro dostatečně velké n je binomické rozdělení Bi(n; π) „podobné“ normálnímu rozdělení N(nπ; nπ(1-π))

Normální rozdělení (Gaussovo, Gauss-Laplaceovo) Abraham de Moivre 12. 11. 1733 - první uveřejnění spisku o této křivce Adolph Quételet - první příklad obvod hrudi 5738 skotských vojáků

Grafy hustoty pravděpodobnosti Normálního rozložení

Grafy odpovídajících distribučních funkcí Normálního rozložení

Frekvenční funkce a PRAVIDLO TŘÍ SIGMA -3δ -2δ -1δ 0 δ 2δ 3δ - odchylky na obě strany jsou stejně pravděpodobné (symetrie, šikmost = 0) - v úseku –δ a +δ leží 68,26% případů, tj. o něco víc než 2/3 celkové plochy - v úseku –2δ a +2δ leží 95% případů - v úseku –3δ a +3δ leží 99,7% případů Normální křivka se teoreticky rozkládá od -∞ do +∞

Normované normální rozdělení N (0; 1) Normované normální rozdělení značíme někdy místo N(0; 1) symbolem U nebo Z Má střední hodnotu μ = 0 a směrodatnou odchylku σ = 1 Je popsáno matematickou funkcí: která vznikla zjednodušením rovnice dosazením za μ = 0 a σ = 1

Normované normální rozdělení N (0;1) Normování je účelná konvence: vzorec pro přepočet hodnot normovaného rozdělení je: Důvody: pro střední hodnotu = 0 je rozložení symetrické (šikmost = 0) pro směrodatnou odchylku = 1 je špičatost = 0 pro testování hypotéz potřebujeme mít k dispozici kritické hodnoty – převod na Normované rozdělení nám umožní použít statistické tabulky, v nichž jsou tabelovány hodnoty pouze pro μ = 0 a σ2 = 1 Poznámka: statistické programy už umí pracovat i s obecným normálním rozdělením

Příklad O rozdělení IQ obyvatel je známo, že má normální rozdělení se střední hodnotou 100 a směrodatnou odchylkou 10, tj. N(100; 100) Jaká je pravděpodobnost, že vaše kamarádka má IQ > 85 IQ > 125 IQ mezi 90 a 110 IQ = 100 Vypočteme z - skóry pro N(0; 1) 85: 125: 90: 110:

Příklad - řešení IQ > 85 … -1,5 IQ > 125 … 2,5 IQ mezi 90 a 110 0,933: 93,3% 0,006: 0,6% 0,841: 84,1-15,9= 68,2% 0%

LOGARITMICKO - NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ Příklad 1: Koncentrace látek Příklad 2: Hmotnost dospělého muže U normálního rozdělení se chyby sčítají, zajímá nás o kolik se změní sledovaná veličina (aditivní). U logaritmicko-normálního se ptáme kolikrát se změní sledovaná veličina (multiplikativní) – vytváří násobek skutečné veličiny, třeba blízký jedné. Tento násobek můžeme ještě názorněji vyjádřit procentuelně. zvýšení hmotnosti člověka s 50 kg o 5 kg je 10%, tj. násobek 1,1 zvýšení hmotnosti člověka se 100 kg o 5 kg je 5% tj. násobek 1,05 Proto je vhodnější počítat tyto veličiny v logaritmicko normálním rozložení.

LOGARITMICKO - NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ Pokud si nakreslíme histogram s rozdělením váhy v normálních hodnotách, histogram není symetrický, ale zešikmený kladně - v pravé části se bude objevovat více odlehlých hodnot Pokud by průměrná hmotnost dospělého muže byla 80 kg, pak najdeme daleko víc mužů, kteří váží přes 100 kg než mužů, kteří váží méně než 60. Zároveň odchylka 50 kg se ve vyšších hodnotách bude zcela jistě vyskytovat (váha 130 kg), ale v nižších hodnotách (30 kg) se skoro jistě nevyskytne vůbec. Pokud stejné rozdělení zobrazíme jako logaritmy hodnot, rozdělení se bude jevit symetrické. Mají-li tyto logaritmy normální rozložení, mluvíme o logaritmicko-normálním rozdělení. Charakteristikou polohy je geometrický průměr, který vypočteme odlogaritmováním průměru logaritmů. Testy a výpočty intervalů počítáme také z logaritmů naměřených hodnot. Meze intervalů jsou nesymetrické.

LOGARITMICKO - NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ Vyznačuje se kladným zešikmením Příklady: - koncentrace - hmotnost postavy

EXPONENCIÁLNÍ ROZDĚLENÍ Používá se nejčastěji pro analýzu doby přežití v biologii nebo ve fyzice pro modelování rychlosti rozpadu izotopů. Nejjednodušší model pravděpodobnosti přežití je založen na myšlence, že pravděpodobnost úmrtí je v každém okamžiku stejná, tj. pravděpodobnost, že sledovaná osoba zemře v daném okamžiku za předpokladu, že se tohoto okamžiku dožila, je konstantní – nezávisí na čase. Hustota exponenciálního rozdělení je popsána vzorcem: Základní charakteristiky jsou: E(X) = a var(X) = a2

Výběrová rozdělení veličin Mějme náhodnou veličinu o které předpokládáme, že má Normální rozdělení s parametry μ a σ. V praxi často neznáme skutečné hodnoty těchto parametrů a musíme je nahradit jejich odhady. Tato „transformace“ změní rozložení zkoumané veličiny. Proto byla odvozena jiná (výběrová) rozdělení, která slouží jako vzor pro porovnávání s výběrovým rozdělením. V kapitole o Statistických testech budeme hledat způsob, jak určit shodu mezi naší náhodnou veličinou a teoretickým rozdělením, o kterém předpokládáme, že je modelem pro naše data.

Výběrová rozdělení veličin Jinými slovy: Při testování veličiny vypočteme testovací statistiku, o které víme, že za platnosti testované hypotézy, má nějaké výběrové rozdělení, např.: rozdělení (používá se pro popis výběrového rozptylu) Studentovo t - rozdělení (nejčastěji se používá k porovnání průměrů) Fisherovo F rozdělení (použití pro porovnání rozptylů ve dvou souborech nebo při porovnání rozptylů závislých veličin v lineární regresi)

rozdělení (Pearsonovo) Mějme n nezávislých náhodných veličin s normovaným normálním rozdělením N(0; 1): U1, U2, …, Un Potom náhodná veličina X má rozdělení s n-stupni volnosti. Je to rozdělení součtu n druhých mocnin normálně rozdělených veličin. Hodnota n je jediný parametr tohoto rozdělení. Základní charakteristiky: E(X) = n, D(X) = 2n Hustota rozdělení je pro hodnoty x ≤ 0 nulová (viz obrázek dále).

rozdělení (Pearsonovo) S rostoucím n se rozdělení blíží normálnímu rozdělení ―› N(n, 2n) s parametry μ = n σ2=2n

rozdělení (Pearsonovo) Distribuční funkci, stejně jako hustotu rozdělení, nelze vyjádřit jednoduchým výrazem, proto je tabelována, podobně jako kvantily rozdělení chí kvadrát. Tabelované hodnoty najdeme ve statistických tabulkách, kde jsou obvykle v levém sloupci stupně volnosti a v horním řádku najdeme hladinu významnosti α (vysvětlení najdete v kapitole o statistických testech). V Excelu pro určení kvantilů rozdělení můžeme použít funkci CHISQ.INV, jejíž parametry jsou p, tj. levostranná pravděpodobnost a počet stupňů volnosti, takže např. zadáním CHISQ.INV(0,95;10) dostaneme hodnotu 0,95-kvantilu rozdělení pro 10 stupňů volnosti = 18,307 nebo analogickou funkci CHISQ.INV.RT, která se počítá zprava.

rozdělení (Pearsonovo) Distribuční funkci rozdělení najdete v Excelu jako CHISQ.DIST s parametry x a počet stupňů volnosti. Třetím parametrem je určení, zda chcete získat hodnotu distribuční funkce (kumulativní pravděpodobnost) nebo hodnotu hustoty pravděpodobnosti - frekvenční funkce. analogicky funkce CHISQ.DIST.RT vrátí hodnotu distribuční funkce zprava. Třetí parametr nemá. Pokud zvolíme hladinu významnosti α = 0,05, pak funkcí CHISQ.INV.RT(0,05; n), kde n je počet stupňů volnosti, najdeme hodnotu x, pro kterou platí, že pod touto hodnotou leží 95% hodnot. Stejný výsledek dostaneme použitím funkce CHISQ.INV(0,95; n).

rozdělení (Pearsonovo) Používá se nejčastěji pro popis výběrového rozptylu. Tvar rozložení je závislý na počtu sčítanců n, ale toto číslo musíme v případě, že pro výpočet použijeme odhad jednoho nebo více parametrů, zmenšit o příslušný počet odhadovaných parametrů. Příklad: pro výpočet odhadu ROZPTYLU, kdy použijeme odhad průměru, je počet stupňů volnosti (n – 1) místo n (odhadovali jsme 1 parametr). Ve složitějších případech bývá počet odhadovaných parametrů větší a počet stupňů volnosti se tím zmenší.

Studentovo t - rozdělení Také Studentovo t-rozdělení patří mezi rozdělení odvozená od Normálního rozdělení a můžeme ho popsat funkcí: kde veličina U má standardizované normální rozložení a veličina chí-kvadrát rozdělení o n - stupních volnosti Statistické charakteristiky: E(T) = 0, D(T) = S rostoucím n se t-rozdělení blíží normovanému normálnímu rozdělení a pro n > 40 ho můžeme nahradit rozdělením N (0, 1) Název získalo rozdělení podle pseudonymu chemika pivovaru Guiness v Dublinu Williama Sealy Gosseta, jednoho ze zakladatelů aplikací induktivní statistiky v oblasti nesporně významné - v zabezpečení kvality piva. Nejčastěji se používá k porovnání průměrů.

Studentovo t - rozdělení Také Studentovo t-rozdělení patří mezi rozdělení odvozená od Normálního rozdělení a můžeme ho popsat funkcí: kde veličina U má standardizované normální rozložení a veličina chí-kvadrát rozdělení o n - stupních volnosti Statistické charakteristiky: E(T) = 0, D(T) =

Studentovo t - rozdělení S rostoucím n se t-rozdělení blíží normovanému normálnímu rozdělení a pro n > 40 ho můžeme nahradit normovaným rozdělením N (0; 1) Název získalo rozdělení podle pseudonymu chemika pivovaru Guiness v Dublinu Williama Sealy Gosseta, jednoho ze zakladatelů aplikací induktivní statistiky v oblasti nesporně významné - v zabezpečení kvality piva. Nejčastěji se používá k porovnání průměrů. Kvantily t-rozdělení jsou tabelovány nebo je můžeme určit pomocí software.

Studentovo t - rozdělení V Excelu existuje funkce TINV analogická funkci CHIINV. Funkce TINV má parametry α = 1 – p a počet stupňů volnosti a vrací hodnotu p-kvantilu, např. TINV(0,01; 40) = 2,704 Na rozdíl od funkce chí-kvadrát a Normálního rozdělení je pro Studentovo rozdělení definována hladina významnosti α oboustranně: P{|T|≥ t(α)} = α, tj. ve výše uvedeném příkladu je 2,704 hraniční (kritická) hodnota pro 0,5% hodnot vyšších a -2,704 pro 0,5% hodnot nižších. Distribuční funkce TDIST v Excelu obsahuje kromě volby parametrů x a stupňů volnosti také zda se jedná o jednostranné nebo oboustranné rozdělení.

Studentovo t - rozdělení

Studentovo t - rozdělení Tabelování hodnot studentova rozdělení: P{|T| ≥ t(α)} = α Tabelování hodnot Normálního normovaného rozdělení: P{X ≥ u(α)} = α Absolutní hodnota u Studentova rozdělení zdvojnásobí hladinu významnosti pro stejnou hodnotu nezávisle proměnné (testovací statistiky): Z(α) ~ t(2α), např. Z = 2,576 pro α = 0,005 a t = 2,576 pro 2α = 0,01 (pro nekonečně velký počet stupňů volnosti) V Excelu použijeme funkce: NORMSINV (1-α) … pro Normální normované rozdělení TINV (2α; počet stupňů volnosti) … pro Studentovo rozdělení

Fischerovo - Snedecorovo F-rozdělení Mějme dvě nezávislé náhodné veličiny s rozdělením Veličina má Fischerovo - Snedecorovo rozdělení s n a m stupni volnosti. Na pořadí parametrů záleží. Statistické charakteristiky: E(F) = D(F) = Používá se především pro testování rozdílnosti rozptylů a při porovnání rozptylů závislých veličin v lineární regresi

Fischerovo - Snedecorovo F-rozdělení

Fischerovo - Snedecorovo F-rozdělení V Excelu kvantily počítá funkce FINV s parametry 1-p, n, m, např. FINV(0,05; 10; 20) vrátí hodnotu 2,3478, což je 0,95-kvantil Vzhledem k tomu, že náhodná veličina F je podílem veličin X a Y, pro kvantily F-rozdělení platí FINV(0,25;100;20) = 1,31 FINV(0,75;20;100) = 0,76 1/0,76 = 1,31