Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Daniel Hanzlík. Obchodní akademie a Střední odborná škola logistická, Opava, příspěvková organizace. Materiál byl vytvořen v rámci projektu OP VK 1.5 – EU peníze středním školám, registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/ VARIACE BEZ OPAKOVÁNÍ I.část 12. září 2012VY_32_INOVACE_110203_Variace_bez_opakovani_I.cast_DUM

Pojem variace bez opakování V kombinatorice se pojem variace bez opakování definuje následovně: k-členná variace z n prvků je každá uspořádaná k-tice (tj. k-tice, v níž záleží na pořadí prvků) vytvořená pouze z těchto n prvků tak, že každý prvek se v ní vyskytuje nejvýše jednou. obr.1

Vzorec pro počet variací pomocí faktoriálu: Poznámka 1: Označení V(k,n) čteme: „variace k-té třídy z n prvků“ Poznámka 2: n-faktoriál se definuje jako: obr.1

2. vzorec pro počet variací Pro k,n N 0 ; k n platí: obr.1

Variace bez opakování Objevuje se otázka: V jakých matematických úlohách lze s variacemi pracovat ? obr.3

Variace bez opakování Na tuto otázku lze odpovědět: Jedná se o široký rozsah matematických úloh – na úpravu výrazů s variacemi, na rovnice s variacemi, na úlohy o přirozených číslech i na úlohy z praktického života. Tato prezentace pojednává v kostce o využití variačního vzorce v šesti kombinatorických úlohách. obr.1

Úloha 1 Napište všechny variace třetí třídy ze 4 prvků: ♥,□,●, ♪ a určete jejich počet. obr.2

Řešení úlohy 1 Při určování počtu všech variací třetí třídy z uvedených 4 prvků si všechny tyto variace zapíšeme: ♥, □, ●, ♪ □, ♥, ●, ♪ ●, ♥, □, ♪ ♪, ♥, □, ● ♥, □, ♪, ● □, ♥, ♪, ● ●, ♥, ♪, □ ♪, ♥, ●, □ ♥, ●, □, ♪ □, ●, ♥, ♪ ●, □, ♥, ♪ ♪, □, ♥, ● ♥, ●, ♪, □ □, ●, ♪, ♥ ●, □, ♪, ♥ ♪, □, ●, ♥ ♥, ♪, □, ● □, ♪, ♥, ● ●, ♪, ♥, □ ♪, ●, ♥, □ ♥, ♪, ●, □ □, ♪, ●, ♥ ●, ♪, □, ♥ ♪, ●, □, ♥ Každý ze 4 znaků je ve variaci uvedený nejvýše jednou. Po sečtení všech uspořádaných čtveřic docházíme k výsledku 24.

Řešení úlohy 1 K vyřešení úlohy 1 lze taky využít oba vzorce pro počet variací: Podle 1. vzorce s využitím faktoriálu: n=4 k=3 Podle 2. vzorce: obr.1

Úloha 2 Pět kamarádů si slíbilo, že si vzájemně předají o Vánocích dárky. Kolik dárků bylo mezi nimi rozdáno? obr.5 obr.4

Řešení úlohy 2 Každý z pěti kamarádů předává dárek dalším čtyřem, tj. dává 4 dárky. Úloha se dá řešit logicky: 5. 4 = 20 dárků S využitím variačního vzorce se úloha řeší následovně: n= 5 (počet prvků = kamarádů), k =2 (ozn. třídy = dvojice kamarádů) obr.1

Úloha 3 Vypočtěte: a rozhodněte, zda řešení je: a) b) c) - 24 d) 0 obr.2

Řešení úlohy 3 S využitím 2. variačního vzorce výraz upravíme a vypočítáme: Správná možnost: b obr.1

Úloha 4 Vypočtěte: a rozhodněte, zda řešení je: a) 81 b) 61 c) 51 d) 31 obr.2

Řešení úlohy 4 S využitím 2. variačního vzorce výraz upravíme a vypočítáme: Správná možnost: c obr.1

Úloha 5 Řešte rovnici: obr.2

Řešení úlohy 5 Levou stranu rovnice si nejprve upravíme podle vzorce: Z Viétových vzorců dostaneme řešení kvadratické rovnice: obr.1

Řešení úlohy 5 O správnosti řešení se přesvědčíme zkouškou: Pro n = - 2 nejsou variace definovány. Kořen nevyhovuje. Řešení rovnice je: obr.1

Úloha 6 Řešte rovnici: obr.2

Řešení úlohy 6 Levou stranu rovnice si nejprve upravíme podle vzorce: Z Viétových vzorců dostaneme řešení kvadratické rovnice: obr.1

Řešení úlohy 6 O správnosti řešení se přesvědčíme zkouškou: Pro n = - 15 nejsou variace definovány. Kořen nevyhovuje. Řešení rovnice je: obr.1

Variace bez opakování Další využití variací bez opakování je možné v kombinatorických úlohách o počtu různých přirozených čísel bez opakování číslic nebo v příkladech na počet prvků, ze kterých se variace tvoří. O tom všem pojednává výukový materiál: VARIACE BEZ OPAKOVÁNÍ – 2.část

Citace zdrojů Použitá literatura 1) HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s. r. o., 2000, s. 197, 200. ISBN

Citace zdrojů Použité obrázky 1) People - Stick Figures - Stick sm Public Domain Clip Art [online]. [cit ]. Dostupné pod licencí Public domain z: 2) People - Stick Figures - Stick sm Public Domain Clip Art [online]. [cit ]. Dostupné pod licencí Public domain z: 3) People - Stick Figures - Stick sm Public Domain Clip Art [online]. [cit ]. Dostupné pod licencí Public domain z: 4) Holiday - Christmas - christmas Carolers 6 - Public Domain Clip Art [online]. [cit ].. Dostupné pod licencí Public domain z: as_Carolers_6.png 5) Holiday - Christmas - christmas Ornaments005 - Public Domain Clip Art [online]. [cit ]. Dostupné pod licencí Public domain z: as_Ornaments005.png Všechny úpravy psaného textu byly prováděny v programu MS PowerPoint 2010.

Konec prezentace. Děkuji Vám za pozornost. Mgr. Daniel Hanzlík