Testování hypotéz Jana Zvárová

Testování hypotéz Testování hypotéz je statistickým nástrojem, pomocí něhož lze na základě naměřených dat objektivně ověřit pravdivost nebo nepravdivost nějakého tvrzení o populaci, z níž naměřená data (tj. výběr) pocházejí.

Krok 1: Formulace nulové a alternativní hypotézy - při sestavování nulové a alternativní hypotézy pro účely statistické analýzy vycházíme z medicínské hypotézy – tu vyslovuje lékař - statistik poté tuto medicínskou hypotézu převádí na dvě statistické hypotézy - nulovou a alternativní hypotézu

Nulová a alternativní hypotéza Nulová hypotéza (H0) Tvrzení o populaci, z níž pocházejí analyzovaná data. Alternativní hypotéza (H1) Situace, která nastane v případě neplatnosti nulové hypotézy. G Nulovou a alternativní hypotézu vyslovujeme před shromažďováním dat.

Obecný postup při testování hypotéz Formulujeme nulovou hypotézu H0 a alternativu H1. Zvolíme hladinu významnosti α. Získáme data. Vybereme vhodný statistický test. Spočteme hodnotu testové statistiky. Najdeme v tabulkách příslušnou kritickou hodnotu. Provedeme statistické rozhodování následujícím způsobem: Je-li hodnota testového kritéria větší než kritická hodnota, zamítneme nulovou hypotézu H0 ve prospěch alternativy H1 na hladině významnosti α.

Obecné schéma statistického rozhodování Skutečnost Rozhodnutí H platí neplatí zamítnout chyba 1. druhu α správně nezamítnout chyba 2. druhu β

Pravidla statistického rozhodování hladina testu α : pravděpodobnost chyby 1. druhu, tj. zamítnutí platné nulové hypotézy kritický obor : výsledky pokusu, při nichž se zamítá nulová hypotéza síla testu (1-β): pravděpodobnost zamítnutí nulové hypotézy, jestliže nulová hypotéza neplatí kritický obor i hladina testu se volí před pokusem, nezávisle na jeho výsledku

Dosažená hladina významnosti Alternativní postup při rozhodnutí o platnosti či neplatnosti hypotézy: Určíme pravděpodobnost p, s jakou bychom mohli obdržet pozorovaná data nebo data stejně nebo více odporující nulové hypotéze za předpokladu, že je nulová hypotéza pravdivá, tato hodnota se nazývá dosažená hladina významnosti. ! Čím menší p, tím méně důvěryhodné je H0. Pro účely statistické analýzy volíme hladinu významnosti a a zamítneme H0, je-li:

Chí-kvadrát testy

Chí-kvadrát test dobré shody H0: P(Ai) = pi, i=1,2,...k (Ai tvoří úplný systém vzájemně neslučitelných jevů) H1: Ostatní případy

Test hypotézy o symetrii hrací kostky H0: P(Ai) = 1/6, i=1,2,...6 (Ai je náhodný jev, ze na hrací kostce padne číslo i) H1: Ostatní případy Zvolíme hladinu významnosti α=5%

Test hypotézy o symetrii hrací kostky Provedeme náhodný výběr o rozsahu n=60 : pozorované četnosti očekáváné četnosti 12 10 8 10 7 10 13 10 9 10 11 10

Test hypotézy o symetrii hrací kostky (pozorovaná četnost – očekávaná četnost)2 c2 = S ~c2 (df) očekávaná četnost Kritická hodnota pro 5 stupňů volnosti 11,07 Nezjistili jsme, že by kostka byla asymetrická na 5% hladině.

Čtyřpolní tabulka ... pozorované (absolutní) četnosti v jednotlivých skupinách

H0: PAP nesouvisí s výskytem HLA-DR4 Příklad Chceme ověřit, zda progresivní polyartritida (PAP) souvisí s výskytem antigenu HLA-DR4. Domníváme se, že ano (to je naše medicínská hypotéza). Sestavíme tedy nulovou a alternativní hypotézu (nezapomeňte, že nulovou hypotézu volíme opačně, než je dokazované tvrzení). Tedy: H0: PAP nesouvisí s výskytem HLA-DR4 H1: PAP souvisí s výskytem HLA-DR4

Krok 2: Volba hladiny významnosti - hladina významnosti souvisí s chybou I. druhu, které se při rozhodnutí můžeme dopustit (vyjadřuje pravděpodobnost, že zamítneme nulovou hypotézu, která je ve skutečnosti správná). - hladina významnosti (α) je předepsaná hodnota, kterou pravděpodobnost chyby I. druhu nesmí překročit Obvykle α = 0,05 (zamítáme na 5% hladině - významný výsledek, *), nebo α = 0,01 (zamítáme na hladině 1% - velmi významný výsledek, **), nebo α = 0,001 (zamítáme na hladině 0,1% - velmi vysoce významný výsledek, ***).

Krok 3: Sběr dat - tato fáze je velmi důležitá a měla by být konzultována se statistikem - sebraný vzorek dat musí být objektivní, reprezentativní a dostatečně velký Příklad - pokračování: Nasbíraná data – pozorované četnosti ve čtyřpolní tabulce

Krok 4: Volba vhodného testu Rozhodnutí o platnosti nebo neplatnosti hypotézy činíme na základě vhodného statistického testu. Každý statistický test je charakterizován testovou statistikou - funkcí, která ze sesbíraných dat "vytvoří" jediné číslo. Příklad:

Krok 5: Výpočet hodnoty testové statistiky Sesbíraná data je třeba zpracovat a dosadit do předpisu testové statistiky.

Výpočet očekávaných hodnot: Příklad – pokračování: Výpočet očekávaných hodnot: Výskyt antigenu je rozdělen v poměru 96 : 308 v celém souboru. V případě platnosti hypotézy nezávislosti obou znaků očekáváme, že ve stejném poměru bude rozdělen i výskyt antigenu u osob s PAP a bez PAP. Tedy pro osoby s PAP, u kterých je současně antigen přítomen, tedy políčko (1,1): Očekávaný počet = 96/308 . 74 = 23

Naměřené a očekávané hodnoty Antigen HLA-DR4 Výskyt PAP Ano Ne Celkem 46 28 74 23 51 50 184 234 73 161 96 212 308 Bíle jsou vyznačeny četnosti očekávané v případě, že platí hypotéza nezávislosti. Po dosazení:

? Krok 5: Určení kritické hodnoty Jak tuto hodnotu určit? Po dosazení zjištěných hodnot do testové statistiky zamítáme hypotézu, pokud výsledná hodnota přesáhne jistou mez, nazývanou kritická hodnota. ? Jak tuto hodnotu určit? Kritickou hodnotou testu je takové číslo, které testová statistika T překročí v případě, že nulová hypotéza je pravdivá, s pravděpodobností nejvýše a. Kritické hodnoty jsou tabelovány.

Příklad (dokončení) Testová statistika: Testová statistika: Rozhodnutí: H0 zamítáme na 5% hladině významnosti Zjistili jsme významnou souvislost mezi výskytem antigenu HLA-DR4 a PAP na 5% hladině významnosti.

Statistická a klinická významnost Statistická významnost Je-li statistický test zamítnut (významný) na předepsané hladině α (hladina významnosti). Klinická významnost Je-li efekt významný z hlediska klinické praxe (např. překročení prahové hodnoty). Pojmy statistické a klinické významnosti bývají často ztotožňovány. Toto ztotožnění je však třeba provádět opatrně, neboť bývá nepřesné. G

Kontingenční tabulky

Kontingenční tabulky - kontingenční tabulky slouží ke studování vztahů mezi dvěma znaky Kontingenční tabulka r x s: Znak 2 Znak 1 Kategorie 1 ... Kategorie s n 11 1 · r rs - kontingenční tabulka typu 2x2 se nazývá čtyřpolní tabulka

Test hypotézy o shodnosti struktur - test shodnosti pravděpodobnostní struktury nějakého znaku za různých podmínek Příklad: H0: Věková struktura pacientů ve dvou nemocnicích je stejná H1: Věková struktura pacientů se liší

Příklad Studie percentuálních zastoupení krevních skupin ve třech krajích severního Skotska. Je ve všech krajích stejné percentuelní zastoupení krevních skupin?

Testová statistika: Testové kriterium: Rozhodnutí: Příklad - pokračování: H0: Pravděpodobnosti skupin jsou v jednotlivých krajích stejné. H1: Pravděpodobnosti skupin se v jednotlivých krajích liší. Testová statistika: Testové kriterium: Rozhodnutí: Závěr: Nezjistili jsme rozdíl v pravděpodobnostech skupin na 5% hladině významnosti.

Test hypotézy o nezávislosti Hypotéza: H0: sledované znaky jsou nezávislé H1: sledované znaky jsou závislé Testová statistika:

Test hypotézy o symetrii V tabulce typu c x c Hypotéza: H0: pij=pji pro všechny dvojice i, j H1: Ostatní případy Testová statistika: Testové kritérium:

Test hypotézy o symetrii Př.: Sledujeme barvu očí otce a syna. Je pravděpodobnost, že otec má barvu i a syn barvu j, stejná jako pravděpodobnost, že otec má barvu j a syn barvu i ?

Test hypotézy o symetrii - řešení Hypotéza: H0: pravděpodobnosti jsou stejné H1: pravděpodobnosti nejsou stejné Řešení: H0 tedy zamítáme na hladině 5%.

Test symetrie pro čtyřpolní tabulku Mc Nemarův test Test symetrie pro čtyřpolní tabulku Příklad: Máme náhodný výběr 18 pacientů, kteří byli léčeni dvěma různými antihypertenzívy A a B. Každý pacient dostával po dobu 1 měsíce lék A a po odeznění jeho případných účinků dostával po dobu 1 měsíce lék B.

Mc Nemarův test

Mc Nemarův test H0: Procenta úspěšnosti jsou u obou léků shodná H1: Procenta úspěšnosti se u obou léků liší Zvolme 5% hladinu významnosti. Testová statistika je = (b-c)2/(b+c) Kritickou hodnotu hledáme pro 1 stupeň volnosti.

Mc Nemarův test = (b-c)2/(b+c)= (3-9)2/(3+9)= 36/12=3. = 3,84. Neprokázali jsme tedy významný rozdíl mezi léky na 5% hladině.

Kritické hodnoty 2 rozdělení Df a 0,05 0,01 0,001 16 26,3 32,00 3,26 17 27,59 33,41 40,80 18 28,87 34,81 42,32 19 30,15 36,20 43,83 20 31,41 37,57 45,33 25 37,66 44,32 52,64 30 43,77 50,89 59,72 35 49,81 57,36 66,64 40 55,76 63,69 73,43 50 67,50 76,15 86,69 60 79,10 88,41 99,65 70 90,55 100,46 112,37 80 101,90 124,90 90 113,17 124,16 137,28 100 124,38 135,86 149,53 1 3,84 6,63 10,82 2 5,99 9,21 13,82 3 7,81 11,34 16,26 4 9,49 13,28 18,47 5 11,0 7 15,9 20,52 6 12,59 16,81 22,46 14,07 18,48 24,33 8 15,51 20,09 26,13 9 16,92 21,67 27,88 10 18,31 23,21 29,59 11 19,68 24,72 31,27 12 21,03 26,22 32,92 13 22,36 27,69 34,54 14 23,68 29,14 36,13 15 25,00 30,58 37,71

Hustota rozdělení 2