Úvod do teorie pravděpodobnosti Přednáška 1 Úvod do teorie pravděpodobnosti Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to pravděpodobnost? Kolmogorovův axiomatický systém Věta o úplné pravděpodobnosti, Bayesova věta Statistika, FEI, VŠB-TU Ostrava © Litschmannová, 2014

Úvod do teorie pravděpodobnosti

Počátky teorie pravděpodobnosti – 17. století Jak rozdělit spravedlivě bank mezi hráče, byla-li série hazardních her ukončena předčasně? Blaise Pascal (1623 – 1662) zdroj: http://cs.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal Pierre de Fermat (1601 – 1665) zdroj: kids.britannica.com

Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Pokus – děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně za určitých, stejně nastavených, počátečních podmínek. X Deterministické pokusy Náhodné pokusy Pro určité počáteční podmínky existuje množina možných výsledků, přičemž jeden z nich nastane. Za určitých počátečních podmínek se dostaví vždy stejný výsledek.

Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Hod kostkou

Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Stanovení množství cholesterolu v krvi

Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Měření počtu požadavků za určité období

Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Hod kostkou Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Značíme velkými písmeny (A, B, X, Y, …). Padne šestka.

Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Hod kostkou Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Značíme velkými písmeny (A, B, X, Y, …). Padne sudé číslo.

Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Stanovení množství cholesterolu v krvi Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Značíme velkými písmeny (A, B, X, Y, …). Zjištěná hodnota cholesterolu bude odpovídat normě. Pro laika v oboru nutno specifikovat!!!

Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Měření počtu požadavků za určité období Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Značíme velkými písmeny (A, B, X, Y, …). Během jedné hodiny bude vytvořeno více než 300 funkčních požadavků.

Základní pojmy Náhodný pokus – konečný děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu, o jehož pravdivosti můžeme po ukončení pokusu rozhodnout (značíme A, B, X, Y, …) Elementární jev ω – jednotlivý výsledek náhodného pokusu (nelze jej vyjádřit jako sjednocení dvou různých jevů) Základní prostor Ω – množina všech elementárních jevů Náhodný jev (jinak) – libovolná podmnožina základního prostoru

Typy jevů Padne „7“. Padne „6“. Padne méně než „7“. Jev nemožný Jev náhodný Jev jistý  Ω A … jev praktický nemožný ⟺ 𝑃 𝐴 <0,05 B … jev praktický jistý ⟺ 𝑃 𝐵 >0,95

Vybrané vztahy mezi jevy Ω A doplněk jevu A 𝐴 Ω A B průnik jevů A a B 𝐴∩𝐵 Ω A B sjednocení jevů A a B 𝐴∪𝐵 𝐴 Ω A B jevy disjunktní Ω 𝐵 1 𝐵 2 𝐵 5 𝐵 6 𝐵 3 𝐵 4 𝐵 7 úplná množina vzájemně disjunktních jevů Ω= 𝑖=1 𝑛 𝐵 𝑖 , 𝑘𝑑𝑒 ∀𝑖≠𝑗: 𝐵 𝑖 ∩𝐵 𝑗 =∅

Co je to pravděpodobnost? Číselné vyjádření šance, že při náhodném pokusu daný jev nastane. Jak pravděpodobnost definovat?

Klasická definice pravděpodobnosti (Pierre Simon de Laplace, 1812) Založena na předpokladu, že náhodný pokus může mít n různých, avšak rovnocenných výsledků. Nechť Ω je množina n rovnocených elementárních jevů. Pravděpodobnost jevu A, jenž je složen z m těchto elementárních jevů je: Mějme „férovou“ hrací kostku. Jaká je pravděpodobnost, že padne „6“? Označme: A … padne „6“, pak

Statistická definice pravděpodobnosti (Richard von Mises, počátek 20 Statistická definice pravděpodobnosti (Richard von Mises, počátek 20. století) Počet realizací pokusu příznivých jevu A Počet všech realizací pokusu Jaká je pravděpodobnost padnutí „6“ na hrací kostce, nevíme-li, zda je tato kostka „férová“?

Statistická definice pravděpodobnosti Relativní četnost jevu "padne 6"

Geometrická pravděpodobnost Zobecnění klasické pravděpodobnosti pro případ, kdy počet všech možných výsledků náhodného pokusu je nespočetný. V rovině (případně na přímce nebo v prostoru) je dána určitá oblast Ω a v ní další uzavřená oblast A. Pravděpodobnost jevu A, který spočívá v tom, že náhodně zvolený bod v oblasti Ω leží i v oblasti A je: Jaká je pravděpodobnost, že meteorit dopadl na pevninu?

Tramvaj jezdí v 10 minutových intervalech Tramvaj jezdí v 10 minutových intervalech. Jaká je pravděpodobnost, že Petr, který nezná jízdní řád, bude na tramvaj čekat déle než 3 minuty?  3 10

Tramvaj jezdí v 10 minutových intervalech Tramvaj jezdí v 10 minutových intervalech. Jaká je pravděpodobnost, že Petr, který nezná jízdní řád, bude na tramvaj čekat déle než 3 minuty?  A 3 10 𝑃 𝐴 = 7 10 =0,7

Dva známí se domluví, že se sejdou na určitém místě mezi 15. a 16 Dva známí se domluví, že se sejdou na určitém místě mezi 15. a 16. hodinou, přičemž doba čekání je 20 minut. Jaká je pravděpodobnost, že se při této dohodě setkají? 60 𝑥−𝑦 ≤20 minut A 20  20 60

Jaká je pravděpodobnost, že součet dvou kladných čísel menších než 1 bude nejvýše 1 a zároveň jejich součin bude menší než 2/9 ? 1 x y  2/3 Průsečíky: 1/3 A 1/3 2/3

Jaká je pravděpodobnost, že součet dvou kladných čísel menších než 1 bude nejvýše 1 a zároveň jejich součin bude menší než 2/9 ? 1  2/3 y 1/3 A 1/3 2/3 1 x

Kolmogorovův axiomatický systém (Andrej Nikolajevič Kolmogorov, 1933) Definuje pojem pravděpodobnosti a její vlastnosti, neudává však žádný návod k jejímu stanovení. Pravděpodobnost každého jevu A je reálné číslo mezi 0 a 1 (včetně). Pravděpodobnost, že nějaký jev nastane (pravděpodobnost jevu jistého) je rovna 1. Pravděpodobnost, že nastane některý z navzájem se vylučujících jevů, je rovna součtu jejich pravděpodobností. A to pro každých spočetně mnoho jevů.

V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek) V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. Označme: C … náhodně vybraný útvar je červený ♥ … náhodně vybraný útvar je srdíčko

V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek) V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. a) Určete 𝑃 𝐶 .

V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek) V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. a) Určete 𝑃 𝐶 .

V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek) V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. a) Určete 𝑃 𝐶 . 𝑃 𝐶 = 𝑛 𝐶 𝑛 = 5 20 =0,25

V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek) V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. b) Určete 𝑃 𝐶∩♥ .

V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek) V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. b) Určete 𝑃 𝐶∩♥ . 𝑃 𝐶∩♥ = 2 20 =0,10

V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek) V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. c) Určete 𝑃 𝐶|♥ .

Podmíněná pravděpodobnost tj. pravděpodobnost jevu, za předpokladu, že nastal určitý jiný jev. 𝑃 𝐴|𝐵 = 𝑃 𝐴∩𝐵 𝑃 𝐵 , 𝑃 𝐵 ≠0 P(A|B) čti „pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B“

V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek) V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. c) Určete 𝑃 𝐶|♥ .

V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek) V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. c) Určete 𝑃 𝐶|♥ .

V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek) V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. c) Určete 𝑃 𝐶|♥ . 𝑃 𝐶|♥ = 𝑛 𝐶∩♥ 𝑛 ♥ = 𝑛 𝐶∩♥ 𝑛 𝑛 ♥ 𝑛 = 𝑃 𝐶∩♥ 𝑃 ♥

Podmíněná pravděpodobnost tj. pravděpodobnost jevu, za předpokladu, že nastal určitý jiný jev. 𝑃 𝐴|𝐵 = 𝑃 𝐴∩𝐵 𝑃 𝐵 , 𝑃 𝐵 ≠0 Jestliže výskyt jevu A nezávisí na výskytu jevu B a zároveň výskyt jevu B nezávisí na výskytu jevu A, pak říkáme, že jevy A a B jsou nezávislé. Pak platí: 𝑃 𝐴|𝐵 =𝑃 𝐴 . P(A|B) čti „pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B“

V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek) V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. d) Určete 𝑃 𝐶∪♥ .

V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek) V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. d) Určete 𝑃 𝐶∪♥ .

V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek) V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. d) Určete 𝑃 𝐶∪♥ .

V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek) V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. d) Určete 𝑃 𝐶∪♥ . 𝑃 𝐶∪♥ = 𝑛 𝐶 + 𝑛 ♥ −𝑛 𝐶∩♥ 𝑛 =𝑃 𝐶 +𝑃 ♥ −𝑃 𝐶∩♥

Vybrané vlastnosti pravděpodobnosti Nechť množina Ω obsahuje n elementárních jevů, nechť P je pravděpodobnost na této množině, A a B jevy. Potom platí : 0≤𝑃 𝐴 ≤1 𝑃 Ω =1;𝑃 ∅ =0 𝑃 𝐴 =1−𝑃 𝐴 𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 −𝑃 𝐴∩𝐵 A, B … disjunktní jevy ⇒ 𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃 𝐴|𝐵 .𝑃 𝐵 A, B … nezávislé jevy ⇒𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃 𝐴 .𝑃 𝐵

Pan Ondra Hypoch tak dlouho obtěžoval lékaře, až mu lékař napsal prášky. V příbalovém letáku se Ondra dočetl, že mají dva možné nežádoucí účinky: a) vypadání zubů (15%), b) upadnutí palců na rukou (20%). Zároveň je v letáku napsáno, že nebyla prokázána závislost mezi výskytem jednotlivých typů nežádoucích účinků. S jakou pravděpodobností se bude moci Ondra po ukončení léčby kousnout do palce? (dle: Luboš Pick; přednáška „Dirichletovy šuplíčky“ na semináři OSMA)

Něco je tady špatně! Ale co??? Jaká je pravděpodobnost, že na kostce nepadne ani sudé ani liché číslo? Řešení: A … padne sudé číslo 𝑃 𝐴 =0,5 B … padne liché číslo 𝑃 𝐵 =0,5 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =𝑃 𝐴 ∙𝑃 𝐵 =0,5∙0,5=𝟎,𝟐𝟓 Něco je tady špatně! Ale co??? Opravte chybu!

při první realizaci náh. pokusu byla vytažena bílá kulička C1 Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus – vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že a) v prvním tahu vytáhneme bílou kuličku, Jev Definice jevu B1 při první realizaci náh. pokusu byla vytažena bílá kulička C1 při první realizaci náh. pokusu byla vytažena černá kulička B2 při druhé realizaci náh. pokusu byla vytažena bílá kulička C2 při druhé realizaci náh. pokusu byla vytažena černá kulička 10 ks 5 ks

Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus – vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že b) vytáhli-li jsme v prvním tahu bílou kuličku, ve druhém tahu vytáhneme taky bílou kuličku, 1. tah 10 ks 5 ks 2. tah (byla-li v 1. tahu vytažena bílá kulička) 10 ks 4 ks

Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus – vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že c) ve dvou tazích vytáhneme 2 bílé kuličky,

Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus – vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že c) ve dvou tazích vytáhneme 1 bílou a 1 černou kuličku, nebo

Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus – vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že c) ve druhém tahu vytáhneme bílou kuličku, nebo Pokus probíhající po etapách … možnost záznamu pomocí rozhodovacího (stochastického) stromu

Věta o úplné pravděpodobnosti 𝐵 1 𝐵 2 𝐵 5 𝐵 6 𝐵 3 𝐵 4 𝐵 7 𝐴 𝑃 𝐴 =𝑃 𝑖=1 𝑛 𝐴∩ 𝐵 𝑖 = 𝑖=1 𝑛 𝑃 𝐴∩ 𝐵 𝑖 = 𝑖=1 𝑛 𝑃 𝐴| 𝐵 𝑖 𝑃 𝐵 𝑖

Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy? 70% 30%

Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy? 70% 30% 80% 20%

Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy? 10% 90% 70% 30% 80% 20%

Pravoúhlý Vennův diagram 10% 90% 70% 30% 80% 20%

0,07 0,63 0,24 0,06

Rozhodovací strom Studenti D DV KV CH Pohlaví Délka vlasů

Studenti D DV KV CH Pohlaví Délka vlasů

Bayesův teorém Thomas Bayes (1702 – 1761) zdroj: http://cs.wikipedia.org/wiki/Thomas_Bayes

Apriorní pravděpodobnost Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. A) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? 70 % Apriorní pravděpodobnost

Aposteriorní pravděpodobnost Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. B) Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? 𝑃 𝐶𝐻|𝐷𝑉 =? Aposteriorní pravděpodobnost

Studenti D DV KV CH Daný stav Výsledek testu

Aposteriorní pravděpodobnost Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. B) Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? Aposteriorní pravděpodobnost

Rodina má dvě děti. A) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? Předpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce.

Rodina má dvě děti. A) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? Předpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce.

Rodina má dvě děti. A) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? Předpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce.

Rodina má dvě děti. A) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? Předpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce. 𝑃 𝐷𝐷 = 1 4

Rodina má dvě děti. Jedno z nich je dívka Rodina má dvě děti. Jedno z nich je dívka. B) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? Předpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce.

Rodina má dvě děti. Jedno z nich je dívka Rodina má dvě děti. Jedno z nich je dívka. B) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? Předpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce.

Rodina má dvě děti. Jedno z nich je dívka Rodina má dvě děti. Jedno z nich je dívka. B) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? Předpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce.

Rodina má dvě děti. Jedno z nich je dívka Rodina má dvě děti. Jedno z nich je dívka. B) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? Předpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce. 𝑃 𝐷𝐷 = 1 3

Dle MVČR (kdejsme.cz) a ČSÚ: 𝑃 𝐾| 𝐷 𝑖 = 10 5 347 235 ≈0,000002 Rodina má dvě děti. Jedno z nich se jmenuje Kleopatra. C) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? § 62 odst. 1 zákona o matrikách: „Matriční úřad nezapíše jméno, pokud je mu známo, že toto jméno užívá žijící sourozenec, mají-li sourozenci společné rodiče.“ Dle MVČR (kdejsme.cz) a ČSÚ: 𝑃 𝐾| 𝐷 𝑖 = 10 5 347 235 ≈0,000002 𝑃 𝐷𝐾 𝑖 =𝑃 𝐾 𝐷 𝑖 𝑃 𝐷 𝑖 =0,000002⋅0,5=0,000001 𝑃 𝐷 𝐾 𝑖 =𝑃 𝐾 𝐷 𝑖 𝑃 𝐷 𝑖 =0,999998⋅0,5=0,499999 Označme: K … dítě je pojmenováno Kleopatra 𝐷 𝑖 … i - té dítě je dívka 𝐶𝐻 𝑖 … i – té dítě je chlapec 𝐷𝐾 𝑖 … i – té dítě je dívka a jmenuje se Kleopatra 𝐷 𝑖 ∩𝐾 𝐷 𝐾 𝑖 … i – té dítě je dívka a nejmenuje se Kleopatra 𝐷 𝑖 ∩ 𝐾

Rodina má dvě děti. Jedno z nich se jmenuje Kleopatra Rodina má dvě děti. Jedno z nich se jmenuje Kleopatra. C) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? 0,500000 0,500000 0,000001 𝐷𝐾+𝐷 𝐾 𝐷𝐾+𝐶𝐻 𝐷 𝐾 +𝐷𝐾 𝐷 𝐾 +𝐷 𝐾 𝐷 𝐾 +𝐶𝐻 𝐶𝐻+𝐷 𝐾 𝐶𝐻+𝐶𝐻 𝐶𝐻+𝐷𝐾 0,499999 0,500000 0,000001 0,499999 0,500000

Rodina má dvě děti. Jedno z nich se jmenuje Kleopatra Rodina má dvě děti. Jedno z nich se jmenuje Kleopatra. C) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? 0,500000 0,500000 0,000001 𝐷 𝐾 +𝐷𝐾 𝐷 𝐾 +𝐷 𝐾 𝐷 𝐾 +𝐶𝐻 𝐶𝐻+𝐷 𝐾 𝐶𝐻+𝐶𝐻 𝐷𝐾+𝐷 𝐾 𝐶𝐻+𝐷𝐾 𝐷𝐾+𝐶𝐻 0,499999 0,500000 0,000001 0,499999 0,500000

Rodina má dvě děti. Jedno z nich se jmenuje Kleopatra Rodina má dvě děti. Jedno z nich se jmenuje Kleopatra. C) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? 0,500000 0,500000 0,000001 𝐷 𝐾 +𝐷𝐾 𝐷 𝐾 +𝐷 𝐾 𝐷 𝐾 +𝐶𝐻 𝐶𝐻+𝐷 𝐾 𝐶𝐻+𝐶𝐻 𝐷𝐾+𝐷 𝐾 𝐶𝐻+𝐷𝐾 𝐷𝐾+𝐶𝐻 0,499999 0,500000 0,000001 0,499999 0,500000 𝑃 𝐷∩𝐷|𝐾𝑙 = 𝑃 𝐷𝐾+𝐷 𝐾 +𝑃 𝐷 𝐾 +𝐷𝐾 𝑃 𝐶𝐻+𝐷𝐾 +𝑃 𝐷 𝐾 +𝐷𝐾 +𝑃 𝐷𝐾+𝐷 𝐾 +𝑃 𝐷𝐾+𝐶𝐻

Rodina má dvě děti. Jedno z nich se jmenuje Kleopatra Rodina má dvě děti. Jedno z nich se jmenuje Kleopatra. C) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? 0,500000 0,500000 0,000001 𝐷 𝐾 +𝐷𝐾 𝐷 𝐾 +𝐷 𝐾 𝐷 𝐾 +𝐶𝐻 𝐶𝐻+𝐷 𝐾 𝐶𝐻+𝐶𝐻 𝐷𝐾+𝐷 𝐾 𝐶𝐻+𝐷𝐾 𝐷𝐾+𝐶𝐻 0,499999 0,500000 0,000001 0,499999 0,500000 𝑃 𝐷∩𝐷|𝐾𝑙 = 0,000001 0,000002 =0,5

Rodina má dvě děti. Jedno z nich se jmenuje Marie Rodina má dvě děti. Jedno z nich se jmenuje Marie. D) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? § 62 odst. 1 zákona o matrikách: „Matriční úřad nezapíše jméno, pokud je mu známo, že toto jméno užívá žijící sourozenec, mají-li sourozenci společné rodiče.“ Dle MVČR (kdejsme.cz) a ČSÚ: 𝑃 𝑀|𝐷 = 288 950 5 347 235 ≈0,054037 0,493

A co tenhle? Dokážete najít řešení? Na zemi vypukla zákeřná nemoc. Tato nemoc je velice krutá, zabíjí každého, kdo tuto nemoc dostane. Bez výjimky. Žádné účinné léky na tuto nemoc neexistují. Nicméně tato nemoc zasáhne pouze jednoho člověka z desetitisíce. Martin si dělá starosti o své zdraví, a proto, aniž by měl jakékoliv příznaky, se rozhodne, že zajde k lékaři, aby mu stanovil diagnózu. Lékař mu vysvětlí, že vyšetření na tuto chorobu je úspěšné v 99 % případů. A je už jedno, zda tuto nemoc máte (senzitivita testu), nebo nemáte (specificita testu). Vyšetření má vždy pouze 99% úspěšnost, v 1 % případů lékař určí špatnou diagnózu. Martin podstoupí vyšetření a za chvíli se dozví výsledek. Výsledek je pozitivní, podle vyšetření Martin tuto zákeřnou nemoc skutečná má. Martinovi se zatmělo před očima a už si šel vybírat rakev. Opravdu je to tak nutné? Jaká je pravděpodobnost, že Martin tuto nemoc má? Jak by se tato pravděpodobnost změnila, pokud by opakovaný (nezávislý) test vyšel negativní?

A nyní byste měli dokázat vyřešit i narozeninový problém a Monty Hallův paradox!

Kdyby na tuto přednášku přišli všichni studenti prezenčního studia, kteří mají zapsán předmět Statistika, bylo by v posluchárně 210 studentů. Jaká je pravděpodobnost, že by mezi těmito studenty byli alespoň dva studenti, kteří mají narozeniny ve stejný den?

Soutěžní cena – auto – je umístěna náhodně za jedny ze tří dveří Soutěžní cena – auto – je umístěna náhodně za jedny ze tří dveří. Za každými ze zbývajících dveří je cena útěchy – koza. Úkolem soutěžícího je zvolit si jedny dveře. Poté moderátor otevře jedny ze dvou zbývajících dveří, ale jen ty, za nimiž je koza. Teď má soutěžící možnost buď ponechat svou původní volbu, nebo změnit volbu na zbývající dveře. Soutěžící vyhrává cenu, která je za dveřmi, které si zvolil. Soutěžící nemá žádné předchozí znalosti, které by mu umožnily odhalit co je za dveřmi. Zvýší se šance na výhru auta, pokud soutěžící změní svou původní volbu?

Děkuji za pozornost!