Výrok a jeho negace

Výrok Za výrok budeme považovat jakékoli tvrzení, u kterého má smysl zabývat se otázkou, zda je či není pravdivé (podle toho pak výrok budeme nazývat pravdivým či nepravdivým). Tato tvrzení budeme zkoumat samostatně, bez souvislosti s případným kontextem. Není nutné okamžitě vědět, zda je dané tvrzení pravdivé či nepravdivé, abychom o něm řekli, že se jedná o výrok. Musí ale být smysluplné zabývat se otázkou pravdivosti tohoto tvrzení, tj. musí existovat cesta, jak se k pravdivosti tvrzení dobrat.

Rozhodněte, zda se jedná o výrok „V roce 1998 získala hokejová reprezentace České republiky zlatou medaili na olympijských hrách v Naganu.“

Rozhodněte, zda se jedná o výrok „Český král a římskoněmecký císař Karel IV. vládl v 18. století.“

Rozhodněte, zda se jedná o výrok „4 < 5“

Rozhodněte, zda se jedná o výrok „Sedni si!“

Rozhodněte, zda se jedná o výrok „Co je dnes k večeři?“

Rozhodněte, zda se jedná o výrok „Ať se máme všichni dobře!“

Rozhodněte, zda se jedná o výrok „Učitelka drží v ruce fix.“

Rozhodněte, zda se jedná o výrok „x > 10“

Pravdivostní hodnota výroku Výrok pravdivý…….P…v(V) = 1 Výrok nepravdivý…N…v(V) = 0

Určete pravdivostní hodnotu výroku Tvrzení: P. hodnota: 1. „Na státní vlajce České republiky je modrý trojúhelník.“ 2. „Slovo rostlina označuje totéž, co slovo živočich.“ 3. „Evropská unie má více než 15 členských zemí.“ 4. „Československá televize začala vysílat v roce 1953.“ 5. „Nejvyšší povolená rychlost vozidel v obci je v ČR stanovena na 90km/h.“ 6. „Demokracie je totalitní zřízení.“ 7. „Posvátnou knihou muslimů je Korán.“ 8. „Číslo 3 patří do množiny reálných čísel.“ 9. „5,12 = 18,1“ 10. „−5 + 3 < 154“ 11. „Přičtení stejného čísla k oběma stranám rovnice je ekvivalentní úpravou.“

Negace výroku V matematické logice často potřebujeme k danému výroku nalézt výrok, který tvrdí přesný opak. K tomu slouží negace. Negací výroku budeme rozumět takový výrok, který popírá pravdivost výroku původního. Negace výroku je tedy jeho „pravý opak“, který vylučuje platnost původního výroku. Pravdivostní ohodnocení negace výroku musí být vždy opačné než pravdivostní ohodnocení původního výroku. Nejjednodušším způsobem, jak z výroku vyrobit jeho negaci, je přidat na začátek daného výroku formulaci: „Není pravda, že…“ Pokud vyrábíme z výroku jeho negaci, říkáme, že výrok negujeme.

Negujte následující výroky 1. „Na státní vlajce České republiky je modrý trojúhelník.“ 2. „Číslo 1 je záporné.“ 3. „Číslo 0,5 patří do množiny celých čísel.“ 4. „V Dobřichovicích je právě teď bezvětří.“ 5. „V Praze na Žižkově včera ve 13:00 pršelo.“

Postřeh Jestliže výrok znegujeme dvakrát za sebou, dostaneme se k původnímu výroku, u kterého jsme s negováním začínali. Popřeme-li totiž negaci výroku, dostáváme výrok původní.

Značení Původní výrok……………………… V Negace původního výroku…… ┐V

Kvantifikované výroky Obecný kvantifikátor Značka: ∀ (od slova all, alle) Čteme: „pro všechna…“, „pro každý…“ Např. ∀𝑥∈ℕ: 𝑥+2>0 Pro každé přirozené číslo 𝑥 platí 𝑥+2>0.

Kvantifikované výroky Existenční kvantifikátor Značka: ∃ (od slova exists) Čteme: „existuje aspoň jedno…“ Např. ∃𝑥∈ℕ: 𝑥+2>0 Existuje aspoň jedno přirozené číslo 𝑥, pro které platí, že 𝑥+2>0.

Kvantifikované výroky Kvantifikátor jednoznačné existence Značka: ∃! Čteme: „existuje právě jedno…“ Např. ∃!𝑥∈ℕ: 𝑥+2=5 Existuje právě jedno přirozené číslo 𝑥, pro které platí, že 𝑥+2=5.

Kvantifikované výroky Negací výroku V: ∀𝑥∈ℕ: 𝑥+2>0 je výrok ┐V: ∃𝑥∈ℕ: 𝑥+2≤0.

Kvantifikované výroky Negací výroku V: ∃𝑥∈ℕ: 𝑥+2>0 je výrok ┐V: ∀𝑥∈ℕ: 𝑥+2≤0.

Kvantifikované výroky Slovní kvantifikování …nejvýše k… x …aspoň (k+1)… …aspoň k… x …nejvýše (k-1)…

Příklad 1 Pomocí kvantifikátorů utvořte z následujících vět pravdivé výroky: a) pro čísla x, y platí x2 + y2 = 0 b) pro číslo x platí x2 + 1 > 0

Příklad 2 Utvořte negace následujících pravdivých výroků: a) Průnik libovolné množiny s množinou prázdnou je prázdná množina. b) Existuje alespoň jeden trojúhelník, který je pravoúhlý. c) Existuje aspoň jedno reálné číslo, jehož absolutní hodnota je rovna 0. d) Druhá mocnina každého reálného čísla je číslo nezáporné.

Příklad 3 Posuďte pravdivost následujících výroků a utvořte jejich negace: a) Úhlopříčky každého čtyřúhelníku jsou navzájem kolmé. b) Každé celé číslo je racionální. c) Existuje trojúhelník, v němž není součet jeho vnitřních úhlů roven 180°. d) Existuje alespoň jedno reálné číslo, jehož součin s nulou je číslo nenulové.

Příklad 4 Následující tvrzení považujte za výroky a negujte je: a) Nic nového pod sluncem. b) Bez práce nejsou koláče. c) Žádný učený z nebe nespadl. d) Kdo jinému jámu kopá, sám do ní spadne.

Příklad 5 Určete, který z níže uvedených výroků je negací výroku: Každá kočka je černá. a) Každá kočka je bílá. b) Každá kočka není černá. c) Alespoň jedna kočka je bílá. d) Aspoň jedna kočka není černá.

Příklad 6 Negujte pravdivé výroky: a) Existuje alespoň jedno reálné číslo x, pro něž √x2 = x. b) Pro všechna reálná čísla x > 1 platí √x2 > x. c) Každé přirozené číslo, které je dělitelné deseti, je dělitelné pěti. d) Žádné přirozené číslo není menší než - 10.

Příklad 7 Negujte nepravdivé výroky: a) Existuje aspoň jedno přirozené číslo, které není sudé ani liché. b) Každé dvě přímky v rovině jsou rovnoběžné. c) Existuje aspoň jeden trojúhelník, ve kterém se všechny jeho výšky neprotínají v jediném bodě. d) Součet žádných dvou celých čísel není roven 0.

Příklad 8 Doplňte jedno ze slov: „alespoň, právě, nejvýše“ tak, aby výrok byl pravdivý. a) Každé prvočíslo má … dva různé dělitele. b) Dvě různé přímky v rovině mohou mít … jeden společný bod. c) Nerovnici x2 > 5 splňují … tři přirozená čísla.

Příklad 9 Doplňte jedno ze slov: „existuje, každý“ tak, aby výrok byl pravdivý. a) …trojúhelník, který je rovnostranný. b) …přirozený násobek čísla 2 je sudé číslo.

Příklad 10 Kvantifikované výroky zapsané symbolicky vyjádřete slovy a rozhodněte o jejich pravdivosti. a) b) c) d)

Příklad 11 Vyslovte negace následujících výroků: a) Alespoň šest přirozených čísel splňuje nerovnost x - 40 < 0. b) Číslo 92 má nejvýše pět dělitelů. d) Existuje takové reálné číslo m, že platí: (m+1)2 = m. e) Každé prvočíslo je liché číslo.