Fourierova transformace Filtrování obrazu ve frekvenční doméně Transformace obrazu Fourierova transformace Filtrování obrazu ve frekvenční doméně

Transformace obrazu Šedotónové snímky (1 pásmo) Multispektrální snímky Fourierova transformace Diskrétní kosinová transformace … Multispektrální snímky Základní aritmetické operace součet, rozdíl, násobení a podíl jednotlivých pásem (např. vegetační indexy) Lineární kombinace pásem (hlavní komponenty, …)

Prostorová vs. frekvenční doména Prostorová doména prezentace obrazu pomocí souřadnic x, y (resp. řádek, sloupec) a radiometrickou hodnotou (odrazivost, spektrální zář, DN) Frekvenční doména snímek popsán harmonickými funkcemi (sin a cos) různé amplitudy, frekvence a fáze cílem je najít výslednou spojitou funkci procházející diskrétními hodnotami v rámci každého řádku a sloupce Matematicky je vztah mezi oběma doménami popsán Fourierovou transformací

Aproximace obdélníkového signálu sinusovými složkami Schowengerdt (2007)

Fourierova transformace f(x) je spojitá funkce reálné proměnné x Fourierova transformace f(x) je definována: Inverzní transformace: j … imaginární jednotka u … frekvence

Fourierovo spektrum Fourierova transformace reálné funkce je obecně komplexní funkce proměnné u (frekvence) F(u)=R(u)+jI(u) Při vyjádření exponenciální funkcí F(u)=F(u)ej(u) F(u)= R(u)2+I(u)21/2 … amplituda (Fourierovo spektrum) (u)=tan-1[I(u)/R(u)] … fáze Příklad: f(x)=A

Fourierova transformace funkce dvou proměnných f(x,y) Fourierova transformace f(x,y) je definována: Inverzní transformace: j … imaginární jednotka u,v … frekvence

Fourierovo spektrum funkce f(x,y) Amplituda F(u,v)= R(u,v)2+I(u,v)21/2 Fáze (u,v)=tan-1[I(u,v)/R(u,v)]

Příklad f(m,n)=A Fourierovo spektrum

Fourierovo spektrum - příklady

Diskrétní Fourierova transformace Velikost obrazu M x N pixelů F(0,0)=průměr všech hodnot f(x,y) v obraze Inverzní vztah

Amplitudová a fázová složka obrazu

Amplitudová a fázová složka obrazu

Filtrace obrazu s využitím frekvenční domény Postup Přímá Fourierova transformace f(x,y) -> F(u,v) Aplikace filtru G(u,v)=H(u,v)F(u,v) G(u,v) … výsledný snímek H(u,v) … funkce filtrace F(u,v) … původní snímek Inverzní Fourierova transformace G(u,v) -> g(x,y)

Princip filtrů Nízkofrekvenční filtr Pásmový filtr Nízké frekvence 1 1 u f0 f0 f1 1 Nízké frekvence Střední frekvence Vysoké frekvence Vysokofrekvenční filtr f1

Ideální nízkofrekvenční filtr H(u,v)=1 pro D(u,v)D0 H(u,v)=0 pro D(u,v) D0 D(u,v)=(u2+v2)1/2 INF příklad 1D

Butterworthův nízkofrekvenční filtr Zjemňuje přechod mezi propuštěnými a odfiltrovanými frekvencemi n … stupeň filtru BNF příklad 1D

Vysokofrekvenční filtry Ideální VF H(u,v)=0 pro D(u,v)D0 H(u,v)=1 pro D(u,v) D0 D(u,v)=(u2+v2)1/2 Butterworthův vysokofrekvenční filtr