Výrazy s proměnnou Jana Hajíčková 2.ročník, M-Z/ZŠ

To, co už známe Číselné výrazy - víme, že jsou sestaveny z: znamének početních operací – +; -; · ; ÷; √ ; /² a závorek – ( ); [ ]; { } př.: {[(2+3)·5]-15}·3 Jak se číselné výrazy počítají - víme, že nejdříve : ● počítáme výrazy v závorkách (postupujeme od vnitřních závorek) ● umocňujeme a odmocňujeme ● násobíme a dělíme ● sčítáme a odčítáme → {[(2+3)·5]-15}·3 = {[5·5]-15}·3 = {25-15}·3 = 10·3 = 30

Jednoduché příklady na zopakování (7+2)∙3 (12-6)∙2 (7-3)∙12 12 : 4 -10 19 - 7∙2 5∙(3-5)+14 10 - 6∙3 (6-3) ∙ (2-7) 8 : (2,5+1,5) 8 - 5∙2 (2+3) : 5 = 9∙3 = 27 = 6∙2 = 12 = 4∙12 = 48 = 3 - 10 = -7 = 19 - 14 = 5 = 5∙(-2)+14 = 4 = 10 - 18 = -8 = 3∙(-5) = -15 = 8 : 4 = 2 = 8 - 10 = -2 = 5 : 5 = 1

Pan Krbec – průvodce na Hradě Kulíkov Pan Krbec dělá průvodce na hradě Kulíkov. Za prohlídku tohoto hradu zaplatí každý dospělý návštěvník 70 Kč a každé dítě do 12 let 50 Kč. Prohlídky se uskutečňují několikrát za den, avšak v každé skupině je jiný počet dospělých a dětských návštěvníků. Aby si však pan Krbec mohl ihned zkontrolovat, zda počet peněz, které vybral, odpovídá počtu návštěvníků, potřebuje od nás pomoci. Moc by mu pomohlo, kdybychom mu vytvořili nějaký předpis, či výraz, do kterého by mohl pouze dosadit počet dětí a dospělých v dané skupině a tím by získal sumu peněz, kterou má mít v pokladně.

Dokážeme pomoci panu Krbci? Pan Krbec dělá průvodce na hradě Kulíkov. Za prohlídku tohoto hradu zaplatí každý dospělý návštěvník 70 Kč a každé dítě do 12 let 50 Kč. Prohlídky se uskutečňují několikrát za den, avšak v každé skupině je jiný počet dospělých a dětských návštěvníků. Aby si však pan Krbec mohl ihned zkontrolovat, zda počet peněz, které vybral, odpovídá počtu návštěvníků, potřebuje od nás pomoci. Moc by mu pomohlo, kdybychom mu vytvořili nějaký předpis, či výraz, do kterého by mohl pouze dosadit počet dětí a dospělých v dané skupině a tím by získal sumu peněz, kterou má mít v pokladně. Označíme si: počet dospělých …………………………….a počet korun vybraných za dospělé …………70 ∙ a počet dětí ……………………………………b počet korun vybraných za děti………………50 ∙ b počet vybraných korun celkem……………...70 ∙ a + 50 ∙ b

Hledaný výraz tedy je: 70 ∙ a + 50 ∙ b Ukažme panu Krbci, jak tento výraz bude používat: ● Řekněme, že v první skupině se nacházelo 10 dospělých a 5 dětí. Kolik korun vybral? počet dospělých……………..a = 10 počet dětí.…………………...b = 5 dosadíme→70 ∙ 10 + 50 ∙ 5 = 700 + 250 = 950 Kč ● V druhé skupině se nacházelo 21 dospělých a 11 dětí. Kolik korun vybral tentokrát? počet dospělých …………….a = 21 počet dětí……………………b = 11 dosadíme→70 ∙ 21 + 50 ∙ 11= 1470 + 550 =2020Kč Takto bychom mohli dosazovat i další varianty. Za co jsme vždy dosazovali? za písmena a , b , zbytek výrazu zůstává nezměněn Číselné hodnoty písmen a, b jsme tedy proměňovali, proto se obě písmena nazývají proměnnými.

Výraz, ve kterém je některé číslo nahrazeno písmenem, se nazývá výraz s proměnnou

Určete, které výrazy jsou výrazy s proměnnými a které jsou číselné výrazy. ● x+5 výraz s proměnnou ● 3∙7 -1 číselný výraz ● 2∙a ● 8-v ● (6,6 : 2) - (-6) ● s - 5 ● 2∙π číselný výraz ( π je číslo ) ● (-7)∙t

Vypočtěte číselnou hodnotu výrazu 5∙t – 1 s proměnnou t , kde za t dosazujeme čísla: -2, -1, 0, 1, 2. t 5∙t -1 -2 ? -1 1 2 = 5 ∙ (-2) -1 = -11 = 5 ∙ (-1) -1 = -6 = 5 ∙ 0 -1 = -1 = 5 ∙ 1 -1 = 4 = 5 ∙ 2 -1 = 9

Vypočtěte číselnou hodnotu výrazu 6 ∙ (t + 1) s proměnnou t , kde za t dosazujeme čísla: -2, -1, 0, 1, 2. = 6 ∙ (-2 + 1) = -6 = 6 ∙ (-1 +1) = 0 = 6 ∙ (0 + 1) = 6 = 6 ∙ (1 + 1) = 12 = 6 ∙ (2 + 1) = 18 t 6 ∙ (t + 1) -2 ? -1 1 2

Pokuste se vytvořit výraz s proměnnou x, do něhož můžeme za x dosazovat hodnoty prvního řádku a výsledkem jsou hodnoty druhého řádku . x 2 5 7 ??? 8 10 ● Co se musí stát s 2, aby z ní vznikla 5? zvětšit o 3 ● Co se musí stát s 5, aby z ní vznikla 8? ● Co se musí stát se 7, aby z ní vznikla 10? Hledaný výraz tedy je: x + 3 př.: 2 + 3 = 5

Pokuste se vytvořit výraz s proměnnou x, do něhož můžeme za x dosazovat hodnoty prvního řádku a výsledkem jsou hodnoty druhého řádku . x -1 1 2 7 ??? 3 5 15 Nápověda: Sledujte – hlavně v kladných hodnotách x – kolikrát se tyto hodnoty vejdou do příslušného výsledku. A o kolik se ještě tento výsledek liší od konečného. ● Vejdou se 2krát, liší se o jedničku. → hledaný výraz je: 2∙x + 1 př.: 2 ∙ 7 + 1 = 15; 2 ∙ (-1) + 1 = -1

Kde se v běžném životě můžeme setkat s výrazy s proměnnou. ● Při nákupu v obchodě. Jeden rohlík stojí v obchodě 2 Kč. Dokážeme si spočítat kolik korun zaplatíme za: 5; 12 a za x rohlíků? ● 5 ∙ 2 = 10 Kč ● 12 ∙ 2 = 24 Kč ● x ∙ 2 = (2∙x) Kč ● Při vyvolávání fotografií. O prázdninách jsme nafotografovali celý film o 36 obrázcích. Film si dáme vyvolat a necháme si zhotovit pouze dobré fotografie. Jedna fotografie stojí 5 Kč a vyvolání filmu 12 Kč. Kolik korun zaplatíme za vyvolání filmu a zhotovení 26; 30 a n dobrých fotografií? ● 12 + 26 ∙ 5 = 12 + 130 = 142 Kč ● 12 + 30 ∙ 5 = 12 + 150 = 162 Kč ● 12 + n ∙ 5 = (12 + 5∙n) Kč

Vypočítejte hodnotu výrazu se dvěma proměnnými p a r, jejichž hodnoty jsou: p = 8, r = 5 = ? p – r 2∙p + 3∙r 3∙p + 2∙r 4∙r∙p 2∙p – (r + 4∙p∙r) 8 + 5 = 13 8 – 5 = 3 2∙8 + 3∙5 = 31 3∙8 + 2∙5 = 34 4∙5∙8 = 160 2∙8 – ( 5 + 4∙8∙5) = 16 – 165 = -149

Některé příklady, kde se vyskytují výrazy s proměnnými již velmi dobře známe a umíme s nimi pracovat… Výpočet obsahu obdélníku Zde využíváme vztah a ∙ b, kde a a b vyjadřují rozměry stran obdélníku. Př.: Jaký obsah má obdélník, jestliže jeho délka a je 10 cm a šířka b je 5cm. S = a ∙ b = 10 ∙ 5 = 50 cm2 a b

Je však i více případů, kde běžně pracujeme s výrazy s proměnnými Je však i více případů, kde běžně pracujeme s výrazy s proměnnými. Vzpomenete si na nějaké případy, kde se vyskytují libovolné proměnné, za které dosazujeme příslušné číselné hodnoty? Např.: v geometrii výpočty obsahu, či obvodu čtverce, trojúhelníku… výpočty velikosti úhlů v ∆: 180° = α+β+γ Např.: ve slovních úlohách o pohybu dosazování do vzorce s = v ∙ t ……….

Nyní už umíme dokonale pracovat s výrazy s proměnnou (proměnnými)! 