Konstrukce trojúhelníku Je-li dána výška trojúhelníku v zadání.

Trojúhelník a jeho vlastnosti Zopakujeme si základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích. Trojúhelník je rovinný geometrický útvar sestávající ze tří stran, tří vrcholů a tří vnitřních úhlů.

Trojúhelník - označování Pozor při značení vrcholů a stran trojúhelníku. Strana a proti vrcholu A, strana b proti vrcholu B, strana c proti vrcholu C.

Trojúhelník – součet vnitřních úhlů Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je vždy 180°. 37° 73° 70° ____ 180°

Trojúhelník – výšky trojúhelníku Výška trojúhelníku – kolmá vzdálenost vrcholu a protější (příslušné) strany . Máme tři strany a tři vrcholy – tudíž i tři výšky. Značíme je v závislosti na označení vrcholů a příslušných stran – va, vb, vc. Výšky se protínají v jednom bodě.

Trojúhelník – výšky trojúhelníku K sestrojení výšky nám z pohledu konstrukčního pomáhá kolmice na stranu procházející příslušným vrcholem.

Trojúhelník – těžnice trojúhelníku Těžnice trojúhelníku – vzdálenost vrcholu a středu protější (příslušné) strany. Máme tři strany a tři vrcholy – tudíž i tři těžnice. Značíme je v závislosti na označení vrcholů a příslušných stran – ta, tb, tc. Těžnice se protínají v jednom bodě - těžišti.

Trojúhelník – těžnice trojúhelníku K sestrojení těžnice nám z pohledu konstrukčního pomáhá sestrojení středu strany trojúhelníku, po němž následuje jeho spojení s protějším vrcholem.

A nyní již přikročíme ke konstrukci. Typ č. 1 (strana, výška, úhel): Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém c = 9 cm, vc= 5 cm,  = 40°. Náčrt: vc =40° c

Rozbor: C C C C C C C C p vc vc vc vc vc vc vc vc Jak sestrojíme bod C? Co o něm víme? Víme, že jeho kolmá vzdálenost od strany c je 5 cm (vc = 5 cm). Kde se tedy může nacházet bod splňující danou podmínku? Co je množinou všech bodů, jejichž kolmá vzdálenost od strany c je 5 cm? Je přímka rovnoběžná se stranou c, sestrojená ve vzdálenosti 5 cm. C C C C C C C C p vc vc vc vc vc vc vc vc

Náčrt a rozbor: Začneme jako vždy zadanou stranou, v tomto případě stranou c. Následuje použití zadané výšky – jak jsme na předchozím snímku vyvodili, sestrojíme rovnoběžku ve vzdálenosti dané velikostí výšky vc. Jako poslední použijeme ze zadání úhel . Y q p

Zápis a konstrukce: 1. AB; AB=c= 9 cm 4. C; C  q  BY 2. q; qAB, q,AB=vc= 5 cm 5. Trojúhelník ABC 3. ABY;  ABY==40°, BY Y C q p A B

Výsledný trojúhelník Úloha má jedno řešení. (v polorovině určené úsečkou AB a bodem C) Konstrukci proměříme, zda odpovídá zadání, a trojúhelník vytáhneme silněji. A takto vypadá celá konstrukce.

Pár příkladů k procvičení Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže: 1.) c = 5 cm,  = 60°, vc = 3,5 cm 2.) a = 4 cm,  = 45°, va = 7 cm 3.) b = 6 cm,  = 120°, vb = 3 cm

A nyní další typ konstrukce. Typ č. 2 (2 strany a výška): Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém c = 8 cm, vc = 4 cm, b = 5 cm. Náčrt: vc c

Náčrt a rozbor: Úloha má 2 řešení Začneme jako vždy zadanou stranou, v tomto případě stranou c. Následuje použití zadané výšky – jak jsme na předchozím snímku vyvodili, sestrojíme rovnoběžku ve vzdálenosti dané velikostí výšky vc. Jako poslední použijeme ze zadání stranu b. Úloha má 2 řešení k C´ C q p

Zápis a konstrukce: 4. C, C´; C, C´ q  k 1. AB; AB=c= 8 cm 2. q; qAB, q,AB=vc= 4 cm 5. Trojúhelník ABC; ABC´ 3. k; k(A; b=5 cm) k C´ C q p A B

Výsledný trojúhelník: Úloha má dvě řešení. (v polorovině určené úsečkou AB a bodem C) Konstrukci proměříme, zda odpovídá zadání, a trojúhelníky vytáhneme silněji. A takto vypadá celá konstrukce.

Pár příkladů k procvičení: Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže: 1.) c = 5 cm, a = 4 cm, vc= 3,5 cm 2.) a = 4 cm, c = 9 cm, va= 7 cm 3.) b= 6 cm, a= 4,5 cm, vb= 3 cm

Dobrá rada na závěr: Pamatuj si! Je-li při konstrukci trojúhelníku zadána výška, použijeme ji většinou ve druhém kroku konstrukce k sestrojení rovnoběžky s příslušnou stranou ve vzdálenosti dané velikostí výšky. Například: Je-li dána strana b a výška vb, začneme konstrukci stranou b a pokračujeme rovnoběžkou se stranou b ve vzdálenosti vb.