Rovnice s absolutními hodnotami Řešení rovnic Rovnice s absolutními hodnotami Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Šárka Macháňová. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV).
Opakování ‒ Absolutní hodnota Absolutní hodnotu reálného čísla a, značí se |a|, definujeme takto: Absolutní hodnota nezáporného čísla je číslo samo. Absolutní hodnota záporného čísla je číslo k němu opačné.
Řešení rovnic s neznámou v absolutní hodnotě Nyní se tedy budeme zabývat řešením rovnic, v nichž se neznámá vyskytuje v absolutní hodnotě. Příklady takových rovnic:
Řešení rovnic s neznámou v absolutní hodnotě Pro nás je nyní nejdůležitější si ujasnit, jak budeme pracovat s výrazy s proměnnou v absolutní hodnotě. Podle na prvním snímku uvedené definice absolutní hodnoty víme, že například výraz píšeme pro jako . Výraz pro , pak píšeme jako . Absolutní hodnota kladného výrazu je výraz tentýž. Absolutní hodnota záporného výrazu je výraz k němu opačný.
Řešení rovnic s neznámou v absolutní hodnotě Začneme řešením jednoduché lineární rovnice s neznámou v absolutní hodnotě. Řešme v R rovnici: Intuitivně jistě určíme, že: Řešení tedy je: Podobně pak tedy: Řešme v R rovnici: Intuitivně tedy opět určíme, že: Vzhledem k naší rovnici pak: Řešení tedy je:
Řešení rovnic s neznámou v absolutní hodnotě A ještě jednou: Řešme v R rovnici: Intuitivně jistě určíme, že: Řešení tedy je: A naposled: Řešme v R rovnici: Absolutní hodnota je vždy nezáporná, tedy větší nebo rovna nule. To znamená, že záporné hodnoty nemůže nabýt, a proto uvedená rovnice nemá řešení. Řešení tedy je:
Řešení rovnic s neznámou v absolutní hodnotě Nyní se podíváme na řešení rovnic o stupeň těžších. Výraz v absolutní hodnotě bude dvojčlen. Řešme v R rovnici: Abychom mohli použít definici absolutní hodnoty, musíme vědět, kdy je výraz x – 2 nezáporný a kdy záporný. Množinu R si proto rozdělíme nulovým bodem na dva disjunktní intervaly. V každém z nich pak vyřešíme rovnici samostatně. Nulový bod: Absolutní hodnota záporného výrazu je výraz k němu opačný. Absolutní hodnota nezáporného výrazu je výraz tentýž.
Řešení rovnic s neznámou v absolutní hodnotě Řešme v R rovnici: 1. rovnice: ‒1 patří do intervalu (‒; 2) a je tedy řešením 1. rovnice. Absolutní hodnota záporného výrazu je výraz k němu opačný. Absolutní hodnota nezáporného výrazu je výraz tentýž.
Řešení rovnic s neznámou v absolutní hodnotě Řešme v R rovnici: 2. rovnice: 5 patří do intervalu 2; ) a je tedy řešením 2. rovnice. Výsledek: Absolutní hodnota záporného výrazu je výraz k němu opačný. Absolutní hodnota nezáporného výrazu je výraz tentýž.
Řešení rovnic s neznámou v absolutní hodnotě Řešme v R rovnici: Podstatou řešení je tedy „zbavení se“ absolutní hodnoty, tj. rozepsání rovnice v příslušných intervalech určených nulovými body jako výraz tentýž nebo opačný. Absolutní hodnota záporného výrazu je výraz k němu opačný. Absolutní hodnota nezáporného výrazu je výraz tentýž.
Řešení rovnic s neznámou v absolutní hodnotě Tak ještě jednou: Řešme v R rovnici: Abychom mohli použít definici absolutní hodnoty, musím vědět, kdy je výraz x + 5 nezáporný a kdy záporný. Množinu R si proto rozdělíme nulovým bodem na dva disjunktní intervaly. V každém z nich pak vyřešíme rovnici samostatně. Nulový bod: Absolutní hodnota záporného výrazu je výraz k němu opačný. Absolutní hodnota nezáporného výrazu je výraz tentýž.
Řešení rovnic s neznámou v absolutní hodnotě Řešme v R rovnici: 1. rovnice: ‒9 patří do intervalu (‒; ‒5) a je tedy řešením 1. rovnice. 1. rovnice: ‒1 patří do intervalu ‒5; ) a je tedy řešením 2. rovnice.
Řešení rovnic s neznámou v absolutní hodnotě Postup se nemění ani při větším počtu absolutních hodnot. Jen je více nulových bodů a více intervalů, ve kterých je třeba zkoumat znaménka jednotlivých výrazů v absolutních hodnotách. Řešme v R rovnici: Nulové body budou dva: Intervaly tři: Jednotlivé výrazy v příslušných intervalech si můžeme pro lepší přehlednost zapsat do tabulky. Určíte je pomocí dosazení libovolného reálného čísla z příslušného intervalu. I1=(-; 0) I2=0; 5) I3=5; ) |x| -x x |x-5| -(x-5)=5-x x-5
0; 5) a je tedy řešením 2. rovnice. Řešení rovnic s neznámou v absolutní hodnotě Řešme v R rovnici: I1=(-; 0) I2=0; 5) I3=5; ) |x| -x x |x-5| -(x-5)=5-x x-5 Na základě v tabulce určených intervalů se stavíme jednotlivé rovnice a vyřešíme je. 1. rovnice: 2. rovnice: 3. rovnice: 4 patří do intervalu 0; 5) a je tedy řešením 2. rovnice. Výsledek:
Řešení rovnic s neznámou v absolutní hodnotě Řešme v R rovnici: Nulové body budou dva: Intervaly tři: Jednotlivé výrazy v příslušných intervalech si můžeme pro lepší přehlednost zapsat do tabulky. Určíte je pomocí dosazení libovolného reálného čísla z příslušného intervalu. I1=(-; 1) I2=1; 2) I3=2; ) |x-1| -(x-1)=1-x x-1 |x-2| -(x-2)=2-x x-2
Řešení rovnic s neznámou v absolutní hodnotě Řešme v R rovnici: I1=(-; 1) I2=1; 2) I3=2; ) |x-1| -(x-1)=1-x x-1 |x-2| -(x-2)=2-x x-2 Na základě v tabulce určených intervalů se stavíme jednotlivé rovnice a vyřešíme je. 1. rovnice: 2. rovnice: 3. rovnice: Platí pro všechna x z definičního oboru. Výsledek:
Příklady k procvičení Vyřeš v R rovnici:
Příklady k procvičení Vyřeš v R rovnici: I1=(-; -2) I2=-2; 2) Nulové body: Intervaly: I1=(-; -2) I2=-2; 2) I3=2; ) |x+2| -(x+2)=-x-2 x+2 |x-2| -(x-2)=2-x x-2
Příklady k procvičení Vyřeš v R rovnici:
Příklady k procvičení Vyřeš v R rovnici: I1=(-; -2) I2=-2; 3) Nulové body: Intervaly: I1=(-; -2) I2=-2; 3) I3=3; ) |x+2| -(x+2)=-x-2 x+2 |x-3| -(x-3)=3-x x-3
Použité obrázky: Všechny uveřejněné odkazy [cit. 2010-06-10]. Dostupné pod licencí Public domain na WWW: <http://www.clker.com/clipart-white-board.html>